1、建筑力学行动导向教学案例教案提纲课程名称 建筑力学 课程性质 必修课（） 、选修课（ ）项目名称 模块七 压杆稳定性授课方式 理论课（ ） 、实验课（ ） 、实训课（ ）教学时数 6 课时 授课时间教学目的 （1）会用欧拉公式计算压杆的临界力和临界应力。（2）能用折减系数法对压杆进行稳定计算。教学内容（1）理解压杆失稳和临界力的概念； （2）掌握压杆的临界力计算； （3）能用折减系数法计算压杆的稳定问题。教学重点 压杆的临界力计算；折减系数法计算压杆的稳定问题。教学难点 欧拉公式的推导消耗材料 A4 纸张 3 张操作工具 直尺、铅笔、橡皮；计算器成果要求 进行压杆的稳定性计算（学生任选综合训练
2、项目其一）一、信息获取（教师主讲）1. 压杆的临界力计算 2 折减系数法计算压杆的稳定问题 二、制定计划（分组讨论）1.失稳破坏的特点；2.压杆失稳的原因 3.稳定性计算 4.提高稳定性的措施。三、做出决定（教师主持全班讨论）1. 分组介绍压杆实验设计方案2. 提问、讨论、教师点评：介绍失稳破坏的特点；压杆失稳的原因；稳定性计算；提高稳定性的措施。四、实施操作（分组实验）1. 根据讨论结果确定压杆稳定性实验方案；2.先利用两种方法分别验算压杆稳定性；3. 利用万能试验机进行压杆试验（三种柔度： ； ； ） ）sPP五、检验校正（教师主持分组发言）1. 列举知识和能力缺陷、列出理论与实际差别、列
3、举提高压杆稳定性措施。2. 写出实验改进措施；3. 写出小组协作体会与个人心得。教学过程六、总结评价1.小组自评（本组学生自我模糊评定）2. 结构功能评定（全班学生讨论后议定）3. 小组间互评并写出对方优缺点（全班学生讨论后议定）4. 任务完成等级评定（教师依据一定标准进行评定）5. 团队协作水平评定（教师、组长评定）模块七 压杆稳定性 7.1 压杆稳定的概念为了说明问题，取如图 7-2 (a)所示的等直细长杆，在其两端施加轴向压力 F，使杆在直线状态下处于平衡，此时，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆发生微小的弯曲，然后撤去干扰力，则当杆承受的轴向压力数值不同时，其结果也截然不同。当杆承受的轴
4、向压力数值 F 小于某一数值 时，在撤去干扰力以后，杆能自动恢复到原有的直线平衡状cr态而保持平衡，如图 7-2 (a)、(b)所示，这种原有的直线平衡状态称为稳定的平衡；当杆承受的轴向压力数值 F 逐渐增大到某一数值 时，即使撤去干扰力，杆仍然处于微弯形cr状，不能自动恢复到原有的直线平衡状态，如图 7-2 (c)、(d)所示，则原有的直线平衡状态为 不稳定的平衡。如果力 F 继续增大，则杆继续弯曲，产生显著的变形，甚至发生突然破坏。上述现象表明，在轴向压力 F 由小逐渐增大的过程中，压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性或者压杆失稳。显然压杆是否失稳取决于轴向压力的
5、数值，压杆由直线状态的稳定的平衡过渡到不稳定的平衡时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界力，用表示 当压杆所受的轴cr向 图 7-2压力 F 小于 时，杆件就能够保持稳定的平衡，这种性能称为压杆具有稳定性；而cr当压杆所受的轴向压力 F 等于或者大于 时，杆件就不能保持稳定的平衡而失稳。cr压杆经常被应用于各种工程实际中，例如脚手架立杆和基坑支护的支撑杆，均承受压力，此时必须考虑其稳定性，以免引起压杆失稳破坏。7.2 临界力和临界应力7.2.1 细长压杆临界力计算公式欧拉公式从上面的讨论可知，压杆在临界力作用下，其直线状态的平衡将由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，此时，即使撤去侧向干扰力，
6、压杆仍然将保持在微弯状态下的平衡。当然，如果压力超过这个临界力，弯曲变形将明显增大。所以，使压杆在微弯状态下保持平衡的最小的轴向压力，即为压杆的临界压力。下面介绍不同约束条件下压杆的临界力计算公式。一、两端铰支细长杆的临界力计算公式欧拉公式设两端铰支长度为 z 的细长杆，在轴向压力 的作Fcr用下保持微弯平衡状态，如图 7-3 所示。杆在小变形时其挠曲线近似微分方程为：图 7-1图 7-1 图 7-2在图 7-3 所示的坐标系中，坐标 z 处横截面上的弯矩为：将式(b 代入式(a)，得进一步推导(过程从略)，可得临界力为：上式即为两端铰支细长杆的临界压力计算公式，称为欧拉公式。从欧拉公式可以看
7、出，细长压杆的临界力 与压杆的弯曲刚度成正比，而与杆长Fcr的平方成反比。l二、其他约束情况下细长压杆的临界力杆端为其他约束的细长压杆，其临界力计算公式可参考前面的方法导出，也可以采用类比的方法得到。经验表明，具有相同挠曲线形状的压杆，其临界力计算公式也相同。于是，可将两端铰支约束压杆的挠曲线形状取为基本情况，而将其他杆端约束条件下压杆的挠曲线形状与之进行对比，从而得到相应杆端约束条件下压杆临界力的计算公式。为此，可将欧拉公式写成统一的形式：表 7-1 压杆长度系数【例 7.2-1】如图 7-4 所示，一端固定另一端自由的细长压杆，其杆长 2m，截面l形状为矩形， 20mm、h=45mm，材料
8、的弹性模量 E=200GPa。试计算该压杆的临界力。若b把截面改为 =30mm，而保持长度不变，则该压杆的临界力又为多大?h解 (1)计算截面的惯性矩由前述可知，该压杆必在弯曲刚度最小的 xy 平面内失稳，故公式(4-53)的惯性矩应以最小惯性矩代入，即图 7-3（公式 7-1）（公式 7-2）(2)计算临界力查表 4-12 得 2，因此临界力为：u(3)当截面改为 =30mm 时压杆的惯性矩为：hb代入欧拉公式，可得：从以上两种情况分析，其横截面面积相等，支承条件也相同，但是，计算得到的临界力后者大于前者。可见在材料用量相同的条件下，选择恰当的截面形式可以提高细长压杆的临界力。7.2.2 欧
9、拉公式的适用范围一、临界应力和柔度前面导出了计算压杆临界力的欧拉公式，当压杆在临界力 作用下处于直线状态的Fcr平衡时，其横截面上的压应力等于临界力 除以横截面面积 A，称为临界应力，用cr表示，即cr上式为计算压杆临界应力的欧拉公式，式中 称为压杆的柔度(或称长细比)。柔度是一个无量纲的量，其大小与压杆的长度系数 、杆长 及惯性半径 有关。由于压杆的 uli长度系数 决定于压杆的支承情况，惯性半径 决定于截面的形状与尺寸，所以，从物理ui意义上看，柔度 综合地反映了压杆的长度、截面的形状与尺寸以及支承情况对临界力的影响。从式(7-3)还可以看出，如果压杆的柔度值越大，则其临界应力越小，压杆就
10、越容易失稳。二、欧拉公式的适用范围欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程导出的，而应用此微分方程时，材料必须服从虎克定理。因此，欧拉公式的适用范围应当是压杆的临界应力 不超过材料的比例极限cr，即：P有图 7-4（公式 7-3）若设 为压杆的临界应力达到材料的比例极限 时的柔度值，则：P P故欧拉公式的适用范围为上式表明，当压杆的柔度不小于 时，才可以应用欧拉公式计算临界力或临界应力。P这类压杆称为大柔度杆或细长杆，欧拉公式只适用于大柔度杆。从式(4-55)可知， 的P值取决于材料性质，不同的材料都有自己的 E 值和 值，所以，不同材料制成的压杆，P其 也不同。例如 Q235 钢， = 200MPa
11、， E=200GPa，由式(7-4)即可求得，PP=100。【例 7.2-2】Q235 钢制成的矩形截面杆,两端约束以及所承受的载荷如图示（a）为正视图（b）为俯视图） ，在 AB 两处为销钉连接。若已知 L2300mm，b40mm，h60mm。材料的弹性模量 E205GPa。试求此杆的临界载荷。解：图 7-57.3 中长杆的临界力计算经验公式、临界应力总图7.3.1 中长杆的临界力计算经验公式上面指出，欧拉公式只适用于大柔度杆，即临界应力不超过材料的比例极限(处于弹性稳定状态)。当临界应力超过比例极限时，材料处于弹塑性阶段，此类压杆的稳定属于弹塑性稳定(非弹性稳定)问题，此时，欧拉公式不再适
12、用。对这类压杆各国大都采用经验公式（7-4）（7-5）5.0AIiy32byil32bl403216.9P1izzhzilhl608.110P2232.1405460.82750crEFANK计算临界力或者临界应力，经验公式是在试验和实践资料的基础上，经过分析、归纳而得到的。各国采用的经验公式多以本国的试验为依据，因此计算不尽相同。我国比较常用的经验公式有直线公式和抛物线公式等，本书只介绍 直线公式，其表达式为式中 a 和 b 一一与材料有关的常数，其单位为 MPa。一些常用材料的 a、b 值可见表 7-2。表 7-2 几种常用材料的 a、b 值材 料 aMPa bMPa PsQ235 钢 2
13、35MPas 304 1.12 100 62硅钢 353MPas510MPab577 3.74 100 60铬钼钢 980 5.29 55 O硬 铝 372 2.14 50 O铸 铁 331.9 1.453松 木 39.2 O199 59 O应当指出，经验公式(7-6)也有其适用范围，它要求临界应力不超过材料的受压极限应力。这是因为当临界应力达到材料的受压极限应力时，压杆已因为强度不足而破坏。因此，对于由塑性材料制成的压杆，其临界应力不允许超过材料的屈服应力 ，即：s或 令 得： 式中 临界应力等于材料的屈服点应力时压杆的柔度值。与 一样，它也是一个与s P材料的性质有关的常数。因此，直线经验
14、公式的适用范围为：计算时，一般把柔度值介于 与 之间的压杆sP称为中长杆或中柔度杆，而把柔度小于 的压杆称s为短粗杆或小柔度杆。对于柔度小于 的短粗杆或P小柔度杆，其破坏则是因为材料的抗压强度不足而造（7-6）（7-7）成的，如果将这类压杆也按照稳定问题进行处理，则对塑性材料制成的压杆来说，可取临界应力 。scr7.3.2 临界应力总图综上所述，压杆按照其柔度的不同，可以分为三类，并分别由不同的计算公式计算其临界应力。当 时，压杆为细长杆(大柔度杆)，其临界应力用欧拉公式(7-3)来计算；P当 时，压杆为中长杆(中柔度杆)，其临界应力用经验公式(7-6)来计算；s 时，压杆为短粗杆(小柔度杆)
15、，其临界应力等于杆受压时的极限应力。如果把压杆的s临界应 图 7-6 力根据其柔度不同而分别计算的情况，用一个简图来表示，该图形就称为压杆的临界应力总图。图 7-6 即为某塑性材料的临界应力总图。【例 7.3-1】图 7-7 所示为两端铰支的圆形截面受压杆，用 Q235 钢制成，材料的弹性模量 E=200GPa，屈服点应力 =235MPa，直径 d=40mm，试分别计算下面三种情况下压杆s的临界力：(1)杆长 1.2m；(2)杆长 0.8m；(3)杆长 0.5m。 lll解 (1)计算杆长 1.2m 时的临界力。两端铰支时 1u惯性半径柔度所以是大柔度杆，应用欧拉公式计算临界力(2)计算杆长
16、0.8m 时的临界力 l因为 ，所以该杆为中长杆，应用直线经验公式来计算临界力。sP查表 7-2，Q235 钢 a=304MPa，b=1.12MPa(3)计算杆长 0.5m 时的临界力l图 4-133压杆为短粗杆(小柔度杆)，其临界力为7.4 压杆的稳定计算7.4.1 压杆稳定实用计算公式当压杆中的应力达到(或超过)其临界应力时，压杆会丧失稳定。所以，正常工作的压杆，其横截面上的应力应小于临界应力。在工程中，为了保证压杆具有足够的稳定性，还必须考虑一定的安全储备，这就要求横截面上的应力，不能超过压杆的临界应力的许用值，即：cr为临界应力的许用值，其值为cr式中 稳定安全系数。nst稳定安全系数
17、一般都大于强度计算时的安全系数，这是因为在确定稳定安全系数时，除了应遵循确定安全系数的一般原则以外，还必须考虑实际压杆并非理想的轴向压杆这一情况。例如，在制造过程中，杆件不可避免地存在微小的弯曲(即存在初曲率)；另外，外力的作用线也不可能绝对准确地与杆件的轴线相重合(即存在初偏心)等等，这些因素都应在稳定安全系数中加以考虑。为了计算上的方便，将临界应力的许用值，写成如下形式：从上式可知， 值为式中 强度计算时的许用应力； 折减系数，其值小于 l。将式(c)代人式(a)，可得上式即为压杆需要满足的稳定条件。由于折减系数 可按 的值直接从表 7-3 中查到，因此，按式(7-8)的稳定条件进行压杆的
18、稳定计算，十分方便。因此，该方法也称为实用计算方法。 应当指出，在稳定计算中，压杆的横截面面积 A 均采用毛截面面积计算，即当压杆在局部有横截面削弱(如钻孔、开口等)时，可予不考虑。因为压杆的稳定性取决于整个杆件（a）（b）（c）（d）（公式 7-8）的弯曲刚度，而局部的截面削弱对整个杆件的整体刚度来说，影响甚微。但是，对截面的削弱处，则应当进行强度验算。表 7-3 折减系数表Q235 钢 16 锰钢 木材 Q235 钢 16 锰钢 木材0102030405060708090lOO1.000O.995 o.981o.958o.927o.888o.842o.789o.731o.669o.6041
19、.000 O.993o.9730.9400.8950.8400.7760.7050.6270.5460.4621.0000.9710.9320.8830.8220.7510.668O.5750.4700.3700.3001101201301401501601701801902000.5360.4460.4010.3490.3060.2720.243O2180.1970.1800.386：0.3250.2790.242 0.213O188O168O1510.136O124O.2480.2080.178 O.53 0.133 0.117 0.104 0.093 0.083 0.0757.4.2 实
20、用计算公式应用应用压杆的稳定条件，可以对以下三个方面的问题进行计算：(1)稳定校核即已知压杆的几何尺寸、所用材料、支承条件以及承受的压力，验算是否满足式(7-8)的稳定件。这类问题，一般应首先计算出压杆的长细比 ，根据 查出相应的折减系数 ，再按照式(7-8)进行校核。(2)计算稳定时的许用荷载即已知压杆的几何尺寸、所用材料及支承条件，按稳定条件计算其能够承受的许用荷载 F 值。这类问题，一般也要首先计算出压杆的长细比 ，根据 查出相应的折减系数 ，再按照下式进行计算。(3)进行截面设计即已知压杆的长度、所用材料、支承条件以及承受的压力 F，按照稳定条件计算压杆所需的截面尺寸。这类问题，一般采
21、用“试算法” 。这是因为在稳定条件(7-8)中，折减系数是根据压杆的长细比 查表得到的，而在压杆的截面尺寸尚未确定之前，压杆的长细比 不能确定， 所以也就不能确定折减系数。因此，只能采用试算法。首先假定一折减系数值 (0 与 1之间)，由稳定条件计算所需要的截面面积 A，然后计算出压杆的长细比 ，根据压杆的长细比 查表得到折减系数 ，再按照式(7-8)验算是否满足稳定条件。如果不满足稳定条件，则应重新假定折减系数值 ，重复上述过程，直到满足稳定条件为止。【例 7.4-1】如图 7-8 所示支架，BD 杆为正方形截面的木杆，其长度 2m，截面边长la=O.1m，木材的许用应力 MPa，试从满足
22、BD 杆的稳定条件考虑，计算该支架能承10受的最大荷载 。Fmax解 (1)计算 BD 杆的长细比(2)求 BD 杆能承受的最大压力根据长细比 查表，得彻 0.470，则 BD 杆能承BDBD受的最大压力为(3)根据外力 F 与 BD 杆所承受压力之间的关系，求出该支架能承受的最大荷载 。Fmax考虑 AC 的平衡，可得从而可求得因此，该支架能承受的最大荷载 为Fmax7.5 提高压杆稳定性的措施要提高压杆的稳定性，关键在于提高压杆的临界力或临界应力。而压杆的临界力和临界应力，与压杆的长度、横截面形状及大小、支承条件以及压杆所用材料等有关。因此，可以从以下几个方面考虑：一、合理选择材料欧拉公式告诉我们，大柔度杆的临界应力，与材料的弹性模量成正比。所以选择弹性模量较高的材料，就可以提高大柔度杆的临界应力，也就提高了其稳定性。但是，对于钢材而言，各种钢的弹性模量大致相同，所以，选用高强度钢并不能明显提高大柔度杆的稳定性。而中、小柔度杆的临界应力则与材料的强度有关，采用高强度钢材，可以提高这类图 7-8
