1、托勒密定理一些圆定理.doc定理图定理的内容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质 定 理 的 提 出一 般 几 何 教 科 书 中 的 “托 勒 密 定 理 ”， 实 出 自 依 巴 谷 (Hipparchus)之 手 ， 托 勒 密 只 是 从 他的 书 中 摘 出 。证 明一 、 （ 以 下 是 推 论 的 证 明 ， 托 勒 密
2、定 理 可 视 作 特 殊 情 况 。 ） 在 任 意 四 边 形 ABCD 中 ， 作 ABE 使 BAE= CAD ABE= ACD 因 为 ABE ACD 所 以 BE/CD=AB/AC,即 BEAC=ABCD (1) 而 BAC= DAE， ， ACB= ADE 所 以 ABC AED 相 似 . BC/ED=AC/AD 即 EDAC=BCAD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=ABCD+ADBC 又 因 为 BE+EDBD （ 仅 在 四 边 形 ABCD 是 某 圆 的 内 接 四 边 形 时 ， 等 号 成 立 ， 即 “托 勒 密 定 理 ”） 所 以 命 题 得
3、 证 复 数 证 明 用 a、 b、 c、 d 分 别 表 示 四 边 形 顶 点 A、 B、 C、 D 的 复 数 ， 则 AB、 CD、 AD、 BC、 AC、 BD 的 长 度 分 别 是 ： (a-b)、 (c-d)、 (a-d)、 (b-c)、 (a-c)、 (b-d)。 首 先 注 意 到 复 数 恒 等 式 ： (a b)(c d) + (a d)(b c) = (a c)(b d) ， 两 边 取 模 ， 运 用 三 角 不 等 式 得 。 等 号 成 立 的 条 件 是 (a-b)(c-d)与 (a-d)(b-c)的 辐 角 相 等 ， 这 与 A、 B、 C、 D 四 点
4、共 圆 等 价 。 四 点 不 限 于 同 一 平 面 。 平 面 上 ， 托 勒 密 不 等 式 是 三 角 不 等 式 的 反 演 形 式 。 二 、 设 ABCD 是 圆 内 接 四 边 形 。 在 弦 BC 上 ， 圆 周 角 BAC = BDC， 而 在 AB 上， ADB = ACB。 在 AC 上 取 一 点 K， 使 得 ABK = CBD； 因 为 ABK + CBK = ABC = CBD + ABD， 所 以 CBK = ABD。 因 此 ABK 与 DBC 相 似 ， 同 理也 有 ABD KBC。 因 此 AK/AB = CD/BD， 且 CK/BC = DA/BD；
5、 因 此 AKBD = ABCD， 且 CKBD = BCDA； 两 式 相 加 ， 得 (AK+CK)BD = ABCD + BCDA； 但 AK+CK = AC， 因 此 ACBD = ABCD + BCDA。 证 毕 。 三 、 托 勒 密 定 理 ： 圆 内 接 四 边 形 中 ， 两 条 对 角 线 的 乘 积 (两 对 角 线 所 包 矩 形 的 面 积 )等 于 两 组对 边 乘 积 之 和 (一 组 对 边 所 包 矩 形 的 面 积 与 另 一 组 对 边 所 包 矩 形 的 面 积 之 和 ) 已 知 ： 圆 内 接四 边 形 ABCD， 求 证 ： ACBD ABCD A
6、DBC 证 明 ： 如 图 1， 过 C 作 CP 交 BD 于 P， 使 1= 2， 又 3= 4， ACD BCP得 AC： BC=AD： BP， ACBP=ADBC 。 又 ACB= DCP， 5= 6， ACB DCP 得 AC： CD=AB： DP， ACDP=ABCD 。 得 AC(BP DP)=ABCD ADBC 即 ACBD=ABCD ADBC 推 论1.任 意 凸 四 边 形 ABCD， 必 有 ACBDABCD+ADBC， 当 且 仅 当 ABCD 四 点 共 圆 时 取等 号 。 2.托 勒 密 定 理 的 逆 定 理 同 样 成 立 ： 一 个 凸 四 边 形 两 对
7、对 边 乘 积 的 和 等 于 两 条 对 角 线 的 乘 积， 则 这 个 凸 四 边 形 内 接 于 一 圆 、 推 广托 勒 密 不 等 式 ： 四 边 形 的 任 两 组 对 边 乘 积 不 小 于 另 外 一 组 对 边 的 乘 积 ， 取 等 号 当 且 仅 当 共圆 或 共 线 。 简 单 的 证 明 ： 复 数 恒 等 式 ： (a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)， 两 边 取 模 ， 得 不 等 式 ACBD|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=ABCD+BCAD 注 意 ： 1.等 号 成 立 的 条 件 是 (a-b)(c-d)与
8、 (a-d)(b-c)的 辐 角 相 等 ， 这 与 A、 B、 C、 D 四 点 共 圆 等价 。 2.四 点 不 限 于 同 一 平 面 。 欧 拉 定 理 ： 在 一 条 线 段 上 AD 上 ， 顺 次 标 有 B、 C 两 点 ， 则 ADBC+ABCD=ACBD塞瓦定理简 介塞 瓦 （ Giovanni Ceva， 1648 1734） 意 大 利 水 利 工 程 师 ， 数 学 家 。 塞 瓦 定 理 载 于 塞 瓦 于1678 年 发 表 的 直 线 论 一 书 ， 也 有 书 中 说 塞 瓦 定 理 是 塞 瓦 重 新 发 现 。 具 体 内 容塞 瓦 定 理 在 ABC 内
9、 任 取 一 点 O， 直 线 AO、 BO、 CO 分 别 交 对 边 于 D、 E、 F， 则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 证 法 简 介 （ ） 本 题 可 利 用 梅 涅 劳 斯 定 理 证 明 ： ADC 被 直 线 BOE 所 截 ， (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 而 由 ABD 被 直 线 COF 所 截 ， (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1 :即 得 ： (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 （ ） 也 可 以 利 用 面 积 关 系 证 明 BD/DC=S ABD/S ACD=S BOD/S COD
10、=(S ABD-S BOD)/(S ACD-S COD)=S AOB/S AOC 同 理 CE/EA=S BOC/ S AOB AF/FB=S AOC/S BOC 得 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利 用 塞 瓦 定 理 证 明 三 角 形 三 条 高 线 必 交 于 一 点 : 设 三 边 AB、 BC、 AC 的 垂 足 分 别 为 D、 E、 F， 根 据 塞 瓦 定 理 逆 定 理 ， 因 为 (AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*ctgA） /(CD*ctgB） *(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(BF*ctgA)=1， 所 以
11、 三 条 高 CD、 AE、 BF 交 于 一 点 。 可 用 塞 瓦 定 理 证 明 的 其 他 定 理 ; 三 角 形 三 条 中 线 交 于 一 点 （ 重 心 ） :如 图 5 D , E 分 别 为 BC , AC 中 点 所 以 BD=DC AE=EC 所 以 BD/DC=1 CE/EA=1 且 因 为 AF=BF 所 以 AF/FB 必 等 于 1 所 以 AF=FB 所 以 三 角 形 三 条 中 线 交 于 一 点 此 外 ， 可 用 定 比 分 点 来 定 义 塞 瓦 定 理 ： 在 ABC 的 三 边 BC、 CA、 AB 或 其 延 长 线 上 分 别 取 L、 M、
12、N 三 点 ， 又 分 比 是 =BL/LC、 =CM/MA、 =AN/NB。 于 是 AL、 BM、 CN 三 线 交 于 一 点 的 充 要 条 件 是 =1。 （ 注 意与 梅 涅 劳 斯 定 理 相 区 分 ， 那 里 是 =-1） 塞 瓦 定 理 推 论1.设 E 是 ABD 内 任 意 一 点 ， AE、 BE、 DE 分 别 交 对 边 于 C、 G、 F， 则 (BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 因 为 (BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1， （ 塞 瓦 定 理 ） 所 以 (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（ K 为 未 知 参
13、数 ） 且 (BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（ K 为 未 知 参 数 ） 又 由 梅 涅 劳 斯 定 理 得 ： (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1 所 以 (BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 2.塞 瓦 定 理 角 元 形 式 AD,BE,CF 交 于 一 点 的 充 分 必 要 条 件 是 ： (sin BAD/sin DAC)*(sin ACF/sin FCB)*(sin CBE/sin EBA)=1 由 正 弦 定 理 及 三 角 形 面 积 公 式 易 证 3.如 图 ， 对 于 圆 周 上 顺 次 6 点 A,B,C,D,E,F，
14、 直 线 AD,BE,CF 交 于 一 点 的 充 分 必 要 条 件是 ： (AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1 由 塞 瓦 定 理 的 角 元 形 式 ， 正 弦 定 理 及 圆 弦 长 与 所 对 圆 周 角 关 系 易 证 。 4.还 能 利 用 塞 瓦 定 理 证 三 角 形 三 条 高 交 于 一 点 设 三 边 AB、 BC、 AC 的 垂 足 分 别 为 D、 E、 F， 根 据 塞 瓦 定 理 逆 定 理 ， 因 为 (AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*ctgA） /(CD*ctgB） *(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctg
15、C)/(AE*ctgB)=1， 所 以 三 条 高 CD、 AE、 BF 交 于 一 点 。梅涅劳斯定理 梅涅劳斯定理证明梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与ABC 的三边 AB、BC、CA 或其延长线交于 F、D 、E 点，那么(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 或：设 X、Y 、Z 分别在ABC 的 BC、CA、AB 所在直线上，则 X、Y 、Z 共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)= 证 明 一 ：过 点 A 作 AG BC 交 DF 的 延 长 线 于 G, 则 AF/FB=A
16、G/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。 三 式 相 乘 得 ： (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=(AG/BD)(BD/DC)(DC/AG)=1 证 明 二 ：过 点 C 作 CP DF 交 AB 于 P， 则 BD/DC=FB/PF， CE/EA=PF/AF 所 以 有 AF/FBBD/DCCE/EA=AF/FBFB/PFPF/AF=1 它 的 逆 定 理 也 成 立 ： 若 有 三 点 F、 D、 E 分 别 在 ABC 的 边 AB、 BC、 CA 或 其 延 长 线上 ， 且 满 足 (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1， 则 F、 D、
17、 E 三 点 共 线 。 利 用 这 个 逆 定 理 ， 可 以判 断 三 点 共 线 。 梅 涅 劳 斯 (Menelaus)定 理证 明 三 ：过 ABC 三 点 向 三 边 引 垂 线 AABBCC， 所 以 AD： DB=AA： BB， BE： EC=BB： CC， CF： FA=CC： AA 所 以 (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1 证 明 四 ：连 接 BF。 （ AD： DB） （ BE： EC） （ CF:FA) =（ S ADF： S BDF） （ S BEF： S CEF） （ S BCF： S BAF） =（ S ADF： S BDF） （ S BDF： S
18、 CDF） （ S CDF： S ADF） =1 此 外 ， 用 定 比 分 点 定 义 该 定 理 可 使 其 容 易 理 解 和 记 忆 ： 在 ABC 的 三 边 BC、 CA、 AB 或 其 延 长 线 上 分 别 取 L、 M、 N 三 点 ， 又 分 比 是 =BL/LC、 =CM/MA、 =AN/NB。 于 是 L、 M、 N 三 点 共 线 的 充 要 条 件 是 =1。 第 一 角 元 形 式 的 梅 涅 劳 斯 定 理 如 图 ： 若 E， F， D 三 点 共 线 ， 则 (sin ACF/sin FCB)(sin BAD/sin DAC)(sin CBA/sin ABE
19、)=1 即 图 中 的 蓝 角 正 弦 值 之 积 等 于 红 角 正 弦 值 之 积 该 形 式 的 梅 涅 劳 斯 定 理 也 很 实 用 第 二 角 元 形 式 的 梅 涅 劳 斯 定 理 在 平 面 上 任 取 一 点 O， 且 EDF 共 线 ， 则 （ sin AOF/sin FOB)(sin BOD/sin DOC)(sin COA/sin AOE)=1。 (O 不 与 点 A、 B、 C 重 合 ) 记 忆ABC 为 三 个 顶 点 ， DEF 为 三 个 分 点 (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1 （ 顶 到 分 /分 到 顶 ） *（ 顶 到 分 /分 到 顶
20、） *（ 顶 到 分 /分 到 顶 ） =1 空 间 感 好 的 人 可 以 这 么 记 ： （ 上 1/下 1） *（ 整 /右 ） *（ 下 2/上 2） =1 实 际 应 用为 了 说 明 问 题 ， 并 给 大 家 一 个 深 刻 印 象 ， 我 们 假 定 图 中 的 A、 B、 C、 D、 E、 F 是 六 个旅 游 景 点 ， 各 景 点 之 间 有 公 路 相 连 。 我 们 乘 直 升 机 飞 到 这 些 景 点 的 上 空 ， 然 后 选 择 其 中 的 任 意一 个 景 点 降 落 。 我 们 换 乘 汽 车 沿 公 路 去 每 一 个 景 点 游 玩 ， 最 后 回 到
21、 出 发 点 ， 直 升 机 就 停 在 那 里等 待 我 们 回 去 。 我 们 不 必 考 虑 怎 样 走 路 程 最 短 ， 只 要 求 必 须 “游 历 ”了 所 有 的 景 点 。 只 “路 过 ”而 不 停 留 观赏 的 景 点 ， 不 能 算 是 “游 历 ”。 例 如 直 升 机 降 落 在 A 点 ， 我 们 从 A 点 出 发 ， “游 历 ”了 其 它 五 个 字 母 所 代 表 的 景 点 后 ， 最终 还 要 回 到 出 发 点 A。 另 外 还 有 一 个 要 求 ， 就 是 同 一 直 线 上 的 三 个 景 点 ， 必 须 连 续 游 过 之 后 ， 才 能 变
22、 更 到 其 它 直线 上 的 景 点 。 从 A 点 出 发 的 旅 游 方 案 共 有 四 种 ， 下 面 逐 一 说 明 ： 方 案 从 A 经 过 B（ 不 停 留 ） 到 F（ 停 留 ） ， 再 返 回 B（ 停 留 ） ， 再 到 D（ 停 留） ， 之 后 经 过 B（ 不 停 留 ） 到 C（ 停 留 ） ， 再 到 E（ 停 留 ） ， 最 后 从 E 经 过 C（ 不 停 留 ） 回到 出 发 点 A。 按 照 这 个 方 案 ， 可 以 写 出 关 系 式 ： （ AF： FB） *（ BD： DC） *（ CE： EA） =1。 现 在 ， 您 知 道 应 该 怎 样
23、 写 “梅 涅 劳 斯 定 理 ”的 公 式 了 吧 。 从 A 点 出 发 的 旅 游 方 案 还 有 ： 方 案 可 以 简 记 为 ： A B F D E C A， 由 此 可 写 出 以 下 公 式 ： （ AB： BF） *（ FD： DE） *（ EC： CA） =1。 从 A 出 发 还 可 以 向 “C”方 向 走 ， 于 是 有 ： 方 案 A C E D F B A， 由 此 可 写 出 公 式 ： （ AC： CE） *（ ED： DF） *（ FB： BA） =1。 从 A 出 发 还 有 最 后 一 个 方 案 ： 方 案 A E C D B F A， 由 此 写 出
24、 公 式 ： （ AE： EC） *（ CD： DB） *（ BF： FA） =1。 我 们 的 直 升 机 还 可 以 选 择 在 B、 C、 D、 E、 F 任 一 点 降 落 ， 因 此 就 有 了 图 中 的 另 外 一 些公 式 。 值 得 注 意 的 是 ， 有 些 公 式 中 包 含 了 四 项 因 式 ， 而 不 是 “梅 涅 劳 斯 定 理 ”中 的 三 项 。 当 直 升机 降 落 在 B 点 时 ， 就 会 有 四 项 因 式 。 而 在 C 点 和 F 点 ， 既 会 有 三 项 的 公 式 ， 也 会 有 四 项 的 公式 。 公 式 为 四 项 时 ， 有 的 景
25、点 会 游 览 了 两 次 。 不 知 道 梅 涅 劳 斯 当 年 是 否 也 是 这 样 想 的 ， 只 是 列 出 了 一 两 个 典 型 的 公 式 给 我 们 看 看 。 还 可 以 从 逆 时 针 来 看 ， 从 第 一 个 顶 点 到 逆 时 针 的 第 一 个 交 点 比 上 到 下 一 个 顶 点 的 距 离 ， 以此 类 推 ， 可 得 到 三 个 比 例 ， 它 们 的 乘 积 为 1. 现 在 是 否 可 以 说 ， 我 们 对 梅 涅 劳 斯 定 理 有 了 更 深 刻 的 了 解 呢 。 那 些 复 杂 的 相 除 相 乘 的 关 系式 ， 不 会 再 写 错 或 是
26、 记 不 住 吧 。西姆松定理 西姆松定理图示西姆松定理是一个几何定理。表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。 西 姆 松 定 理 说 明相 关 的 结 果 有 ： （ 1） 称 三 角 形 的 垂 心 为 H。 西 姆 松 线 和 PH 的 交 点 为 线 段 PH 的 中 点 ， 且 这 点 在 九 点 圆上 。 （ 2） 两 点 的 西 姆 松 线 的 交 角 等 于 该 两 点 的 圆 周 角 。 （ 3） 若 两 个 三 角 形 的
27、外 接 圆 相 同 ， 这 外 接 圆 上 的 一 点 P 对 应 两 者 的 西 姆 松 线 的 交 角 ，跟 P 的 位 置 无 关 。 （ 4） 从 一 点 向 三 角 形 的 三 边 所 引 垂 线 的 垂 足 共 线 的 充 要 条 件 是 该 点 落 在 三 角 形 的 外 接圆 上 。 证 明证 明 一 ： ABC 外 接 圆 上 有 点 P， 且 PE AC 于 E， PF AB 于 F， PD BC 于 D，分 别 连 DE、 DF. 易 证 P、 B、 F、 D 及 P、 D、 C、 E 和 A、 B、 P、 C 分 别 共 圆 ， 于 是 FDP= ACP ， （ 都 是
28、 ABP 的 补 角 ） 且 PDE= PCE 而 ACP+ PCE=180 FDP+ PDE=180 即 F、 D、 E 共 线 . 反 之 ， 当 F、 D、 E 共 线 时 ， 由 可 见 A、 B、 P、C 共 圆 . 证 明 二 ： 如 图 ， 若 L、 M、 N 三 点 共 线 ， 连 结 BP， CP， 则 因 PL 垂 直 于 BC， PM 垂直 于 AC， PN 垂 直 于 AB， 有 B、 P、 L、 N 和 M、 P、 L、 C 分 别 四 点 共 圆 ， 有 PBN = PLN = PLM = PCM. 故 A、 B、 P、 C 四 点 共 圆 。 若 A、 B、 P、
29、 C 四 点 共 圆 ， 则 PBN = PCM。 因 PL 垂 直 于 BC， PM 垂 直 于 AC，PN 垂 直 于 AB， 有 B、 P、 L、 N 和 M、 P、 L、 C 四 点 共 圆 ， 有 PBN = PLN = PCM= PLM. 故 L、 M、 N 三 点 共 线 。 相 关 性 质 的 证 明连 AH 延 长 线 交 圆 于 G, 连 PG 交 西 姆 松 线 与 R,BC 于 Q 如 图 连 其 他 相 关 线 段 AH BC,PF BC=AG/PF= 1= 2 A.G.C.P 共 圆 = 2= 3 PE AC,PF BC=P.E.F.C 共 圆 = 3= 4 = 1
30、= 4 PF BC =PR=RQ BH AC,AH BC= 5= 6 A.B.G.C 共 圆 = 6= 7 = 5= 7 AG BC=BC 垂 直 平 分 GH = 8= 2= 4 8+ 9=90, 10+ 4=90= 9= 10 =HQ/DF =PM=MH 第 二 个 问 ， 平 分 点 在 九 点 圆 上 ， 如 图 ： 设 O,G,H 分 别 为 三 角 形 ABC 的 外 心 ， 重 心 和 垂心 。 则 O 是 ,确 定 九 点 圆 的 中 点 三 角 形 XYZ 的 垂 心 ， 而 G 还 是 它 的 重 心 。 那 么 三 角 形 XYZ 的 外 心 O1， 也 在 同 一 直
31、线 上 ， 并 且 HG/GO=GO/GO1=2， 所 以 O1 是 OH 的 中 点 。 三 角 形 ABC 和 三 角 形 XYZ 位 似 ， 那 么 它 们 的 外 接 圆 也 位 似 。 两 个 圆 的 圆 心 都 在 OH 上， 并 且 两 圆 半 径 比 为 1:2 所 以 G 是 三 角 形 ABC 外 接 圆 和 三 角 形 XYZ 外 接 圆 (九 点 圆 )的 “反 “位 似 中 心 (相 似 点 在 位似 中 心 的 两 边 ),H 是 “正 “位 似 中 心 (相 似 点 在 位 似 中 心 的 同 一 边 ). 所 以 H 到 三 角 形 ABC 的 外 接 圆 上 的 连 线 中 点 必 在 三 角 形 DEF 的 外 接 圆 上 .
