1、四点共圆【知识要点】四点共圆的判定方法：1、若四个点到一定点的距离相等，则这四个点在同一个圆上（即这四点共圆）。2、若一个四边形的一组对角的和等于 180 度，则这个四边形的四个顶点共圆。3、若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆。4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。5、若 、 两线段相交于 点，且 ，则 、 、 、 四点共圆。ABCDPPDCBAABCD6、若 、 两线段延长后相交于 点，且 ，则 、 、 、 四点共圆。7、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆。【典例精讲
2、】例 1、锐角 的三条高 、 、 交于 ，在 、 、 、 、 、 、 七个点中能组成EFHEFH四点共圆的组数是（ ）A、 组 B、 组 C、 组 D、 组4567 EFHDAB C例 2、如图， 、 、 、 四点在同一圆上， 的延长线与 的延长线交于 点，且 。ABCDADC（1）证明： ；/（2）延长 到 ，延长 到 ，使得 ，证明： 、 、 、 四点共圆.FGEFGF ECA BDF G例 3、如图，在梯形 中， ，点 ， 分别在边 ， 上，设 与 相交于点 ，若ABCD/EFABCDEAFG， ， ， 四点共圆，求证： BCFEGD GFEA DCB例 4、已知点 ， ，直线 过点 与
3、 轴交于点 ，若 、 、 、 四点共圆，则)02(A)53(BlBy)0(c，COA的值为（ ）cA、 B、 C、 D、无法求出5817例 5、在 圆 内 接 等 腰 三 角 形 的 底 边 上 任 取 二 点 、 ， 延 长 、 分 别 交 圆 于 、ABCDEAEF， 求 证 ： .GGEFD EDAB CF G例 6、如图， ， 分别是 ， 边上的点，且不与顶点重合，已知 ， ， ， 为DEABCmAEnCADB方程 的两根.0142mnx（1）证明： ， ， ， 四点共圆；C（2）若 ， ， ，求 ， ， ， 四点所在圆的半径9A46DE CA BED例 7、如图， 为圆 的直径， 为
4、垂直于 的一条弦，垂足为 ，弦 与 交于点 ABOCDABEBMCF（1）证明： 、 、 、 四点共圆；（2）证明： EFM22FC FDCA OBEM例 8、如图，在平行四边形 中， 为钝角，且 ， ABCDBCAEF（1）求证： 、 、 、 四点共圆；EF（2）设线段 与（1）中的圆交于 、 求证： MNND NM FE CA DB例 9、如图所示， 为 的内心，求证： 的外心 与 、 、 四点共圆.IABCBICOABC OIAB C例 10、 、 、 三点共线， 点在直线外， ， ， 分别为 ， ， 的外心求证：ABCO12O3ABCA， ， ， 四点共圆.O123 O3 O2O1A
5、COB例 11、如图，在 中， ， 分别是 ， 的角平分线， 是 与 的交点，若 ， ，ABCDEABDED， 四点共圆， ，则 的内切圆半径为多少？OE3O A BCE DO例 12、如图，点 是 外接圆 弧 的中点，点 、 在边 上，使得 ， 。证FABCDEACABDEC明： 、 、 、 四点共圆.BED FEDCA B例 13、如图， ， ， ， ACHBEAKBMH（1）求证： 、 、 、 四点共圆；MK（2）若 ， 求线段 的长KE3 K MEHCA B例 14、在 的边 ， ， 上分别取 ， ， 使得 ， ，又点 是ABCCADEFBCFO的外心DF（1）证明： ， ， ， 四点
6、共圆；EFO（2）证明： 在 的平分线上 ODFAC BE例 15、如图， 为 外接圆的切线， 的延长线交直线 于点 ， 、 分别为弦 与弦CDABABCDEFAB上的点，且 ， 、 、 、 四点共圆AFE E（1）证明： 是 外接圆的直径；（2）若 ，求过 、 、 、 的圆的面积与 外接圆面积的比值AB FD C ABE例 16、如图，锐角 的内心为 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，点 为内切圆 与边 的ABCDABFDC切点 （1）求证： ， ， ， 四点共圆；（2）若 ，求 的度数FE50CE FEDAB C例 17、如图，在正 中，点 ， 分别在边 、 上，且 ， ， ，ABCDEC
7、ABC31AE31D相交于点 ，求证：（1） ， ， ， 四点共圆；（2） BEPPP P ED CAB【强化训练】1、 如图， 是 的直径，弦 ， 的延长线相交于点 ， 垂直 的延长线于点 ABOBDCAEFBAF求证：（1） ；（2） ， ， ， 四点共圆EE FEA BDC2、如图，已知 是 的切线， 为切点， 是 的割线，与 交于 ， 两点，圆心 在APOPACOBO的内部，点 是 的中点 （1）证明 ， ， ， 四点共圆；（2）求 的大CMBCPMAPM小 MBPOA C3、如图，已知 为半圆 的直径， 、 分别为半圆的切线，切点分别为 、 ， 的延长线交ABOBECDCD于 ， 的
8、延长线交 于 ， 为垂足 （1）求证： 、 、 、 四点共圆；EFCAF（2）求证： D FCAOBE4、如图，已知 中的两条角平分线 和 相交于 ， ， 在 上，ABCADCEH60BFC且 FE（1）证明： ， ， ， 四点共圆； （2）证明： 平分 BDHECEDF FDEHBAC5、如图，已知 是 的直径， 是 的切线，割线 、 分别交 于 、 ，连接 、BAOADODFOCEACE求证： CF CEBOADF6、如图， 与 相交于 、 两点，圆心 在 上， 的弦 切 于点 ， 及其延长线OPABPOCPC交 于 ， 两点，过点 作 ，交 的延长线于点 （1）求证： 、 、 、 四点共
9、DECEFFBEF圆；（2）若 ， ，求出由四点 、 、 、 所确定圆的直径2C DAFBEC OP7、如图所示，已知 切圆 于 ，割线 交圆 于 、 ， 于 ， 与 的延长线相PAOPBCOABPDPAO交于点 ，连接 并延长交圆 于点 ，连接 ECFA（1）求证： ， ， ， 四点共圆；（2）当 ， 时，求圆 的半径BD1232tanEF FDEB AOPC8、如图， 是直角三角形， 以 为直径的圆 交 于点 点 是 边的中点，连ABC90ABCOACEDBC交圆 于点 （1）求证： ， ， ， 四点共圆；（ 2）求证： .ODMODE AM2 MDEOAB C9、如图所示，在 中， ，点
10、 为三角形外的一点，以 为圆心， 为半径的圆与边RtABC90OOC相切，切点为 ，圆 与边 相交于 点，直径 与边 交于 点，连接 求证：ABEODEFBCGADG/ GD FOB CAE10、如图，在 中， 是直角， 是线段 上一点，以 为直径的半圆交 于 ，连接AGFBAGBAD交半圆于点 ，延长 交 于 DCE（1）求证 、 、 、 四点共圆； （2）若 ， 求 的值E23EF ECBDA GF11、如图所示， 是 的直径， 为 延长线上的一点， 是 的割线，过点 作 的垂线，ABOGABGCDOA交 的延长线于点 ，交 AD 的延长线于点 ，过 作 的切线，切点为 CEFH求证：（1） ， ， ， 四点共圆；（2） DFFEH2 F HECBOAGD
