1、1广东省百校 2018 届高三第二次联考数学（理科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数 z满足 ()1i，则 z （ ） A 2 B 3 C 2 D 1 2.已知 22|log(),|4xyxByx，则 AB （ ）A 1(0,)3 B 1,3 C ( D (,)33. 下表是我国某城市在 2017 年 1 月份至 10 月份各月最低温与最高温 ()C 的数据一览表.椅子该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（ ）A最低温与最高温为正相关 B每月最高
2、温与最低温的平均值在前 8 个月逐月增加 C月温差（最高温减最低温）的最大值出现在 1 月 D1 月至 4 月的月温差（最高温减最低温）相对于 7 月至 10 月，波动性更大4. 已知命题 :2px是 2log5的必要不充分条件；命题 :q若 3sinx，则cos2in，则下列命题为真命题的上（ ）A pq B ()pq C ()pq D ()pq5. 在 C中，角 ,A的对边分别为 ,abc，若 sin3i,5ABc，且5cos6，则 a（ ）A 2 B 3 C 2 D 4 26.某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的表面积为 （ ）A 8425 B 6425
3、C 625 D 8257. 将曲线 1:sin()6Cyx上各点的横坐标缩短到原来的 12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 2个单位长度，得到曲线 2:Cygx，则 在 ,0上的单调递增区间是（ ）A 5,6 B ,36 C ,03 D ,68. 执行如图所示的程序框图，若输入的 4t，则输出的 i（ ）A 7 B 10 C 3 D 16 9. 设 ,xy满足约束条件20xy，则 2yxz的取值范围是（ ）A 7,12 B 72, C 7,23 D ,1210. 函数 2xef的部分图象大致是（ ）311. 过双曲线21(0,)xyab的右焦点且垂直于 x轴的直线与双曲线交于 ,AB两点
4、， D为虚轴上的一个端点，且 ABD为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（ ）A (1,2) B (,2) C (2,) D (1,2)(,)12. 已知函数 31ln4xxfeg，若 fmgn成立，则 m的最小值为（ ）A 1ln2 B l C 2l D l2 第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.设平面向量 m与向量 n互相垂直，且 2(1,)mn，若 5m，则 n 14.在二项式 61(2)x的展开式中，其 3 项为 0，则 x 15.如图， E是正方体 1ABCD的棱 1CD上的一点，且 1/B平面 1CF，则异面直线 1与 所成
5、角的余弦值为 16.已知点 A是抛物线 2:(0)Cxpy上一点， O为坐标原点，若 ,AB是以点(0,8)M为圆心， O的长为半径的圆与抛物线 C 的两个公共点，且 O为等边三角形，则 p的值是 4三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （一）必考题（60 分）17. 已知正项数列 na满足 2211,nnaa，数列 nb的前 项和 nS满足2nnS.（1）求数列 ， nb的通项公式；（2）求数列 1na 的前 项和 nT.18. 唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画，雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在
6、陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已由 1300 多年的历史，制作工艺蛇粉复杂，它的制作过程中必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程互相独立，某陶瓷厂准备仿制甲乙丙三件不同的唐三彩工艺品，根据该厂全面治污后的技术水平，经过第一次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为 143,25，经过第二次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为 412,53.（1）求第一次烧制后甲乙丙三件中恰有一件工艺品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，甲乙丙三件工艺品成为合格工艺品的件数为 X，求随机变量X的数学期望.19.如图，四边形 ABCD是矩形， 3,2,BCD
7、EP平面,6PE.（1）证明：平面 平面 PE；（2）求二面角 AB的余弦值.520. 已知椭圆2:1(0)xyCab的长轴长是短轴长的 2倍，且椭圆 C经过点(2,)A.（1）求椭圆 的方程；（2）设不与坐标轴平行的直线 l 交椭圆 C于 ,MN两点， 2，记直线 l在 y轴上的截距为 m，求 的最大值.21.函数 2ln(1)fxx .（1）当 0时，讨论 f的单调性；（2）若函数 fx有两个极值点 12,x，且 12x，证明： 21()ln2fxx .请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系 xOy中，曲线 1C的参数方程为 cos
8、(1iny为参数） ，曲线 2C的参数方程为 2cos(in为参数）（1）将 1C， 2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）以坐标原点为极点，以 x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线 l的极坐标方程为 (cosin)4，若 1C上的点 P对应的参数为 2，点 Q上在 2C，点 M为PQ的中点，求点 M到直线 l距离的最小值.23.已知 23fxax .（1）证明： ；（2）若 3()f，求实数 的取值范围.6数学（理科）参考答案一、选择题1-5: ACBAB 6-10: CBDAD 11、D 12：A二、填空题13. 5 14. 2 15. 15 16. 23三、解答题
9、17.解：（1）因为 221nnaa，所以， 110nnaa，因为 0,n，所以 0，所以 ，所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，所以 na，当 2时， 12nnbS，当 1时 2b也满足，所以 2nb.（2）由（1）可知 1()()nan，所以 11()()2342()n nT .18.解：分别记甲乙丙第一次烧制后合格为事件 123,A,（1）设事件 E表示第一次烧制后恰好有一件合格，则 1241()55250P.（2）因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 2p，所以随机变量 (3,0.4)XB:，所以 12Enp.19.（1）证明；设 交 AC于 F，因为四边形 BD是矩形， 3
10、,2BDEC,7所以 3,CEBA,又 2AD，所以 ,CBEACB:,因为 2,所以 CBE，又 P平面 A.所以 A，而 E，所以平面 PC平面 BE；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得 (3,20),(3,)(0,3),(0,6)ABCP,则 ,6,1BP,设平面 A的法向量 11(,)nxyz，则 11306yxz，取 116,0,3xyz，即 16(,)3设平面 BPC的法向量 22(,)nxyz，则 220360xyz，取 2110,xyz，即 10,设平面 A与平面 所成的二面角为 ，则 12125cos,n由图可知二面角为钝角，所以 cos5.820.解：（1）因为
11、 2ab，所以椭圆的方程为218xyb，把点 (2,)A 的坐标代入椭圆的方程，得 21，所以 21,8ba，椭圆的方程为28xy.（2）设直线 l的方程为 12,(),()ykmMNxy，联立方程组218xyk得 22(8)680k，由 222563()0m，得 221m，所以 121228,kxxk，所以 222222211168418()4()kmkmMNkxxk由22481km，得22(81)34k，令 22()1tt，所以229t，24918mt，即 147，当且仅当 t，即 728t时，上式取等号，9此时 278k， 27(3)8m，满足 2218mk，所以 的最大值为 14.21
12、.解：函数 fx的定义域为 2(,)1xf，（1）令 2gm，开口向上， 为对称轴的抛物线，当 x时， 1()02，即 12时， 0gx，即 0fx在 (1,)上恒成立，当 0m时，由 gxm，得 122,2mm，因为 10g，所以 122x，当 12x时，x，即 fx， 当 1或 2时， 0g，即 0fx，综上，当 0m时， fx在 1212(,)m上递减，在 12(,)和 (,)上递增，当 时，在 (1,)上递增.（2）若函数 fx有两个极值点 12,x且 12x，则必有 102m，且 0，且 f在 12,x上递减，在 1(,)x和2(,)x上递增，则 (ff，因为 12,x是方程 20x
13、m的两根，所以 12,，即 1212,xx，要证 2()lnfx 10又 2212()ln(1)4ln()fxmxx2222 2241)l1()lnx，即证 ()l()(l0xxx对 0恒成立，设 2n1)1n),()2x 则 44(1)l(lxxe 当 02时， 20,),l0x，故 0x，所以 x在 (,)上递增，故 114ln(2ln)2，所以 224()l()0xxx，所以 1f.22.解：（1） C的普通方程为 22(1)xy，它表示以 (0,)为圆心， 为半径的圆，2的普通方程为214xy，它表示中心在原点，焦点在 x轴上的椭圆.（2）由已知得 (0,)P，设 (cos,in)Q，则 1(cos,in)2M，直线 :lxy，点 到直线 l的距离为2sin()6cosin6455d，所以 10 ，即 M到直线 l的距离的最小值为 6510.23.（1）证明：因为 2 23fxaxxa而 2 23(1)xa，所以 f.
