1、 1抽象函数的单调性和奇偶性抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型：一、判断单调性和奇偶性1. 判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性 质，画出函数的示意 图 ，以形助数， 问题迅速获解。例1如果奇函数 在区间 上是增函数且有最小值为5，那fx()37，么 在区间 上是fx()7，A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为 5C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为5分析：画出满足题意
2、的示意图，易知选B。例2偶函数 在 上是减函数，问 在 上fx()0)， fx()， 0是增函数还是减函数，并证明你的结论。分析：如图所示，易知 在 上是增函数，证明如下：fx()， 0任取 x12120因为 在 上是减函数，所以f()， 。fx12又 是偶函数，所以()，fxffxf()(1122，从而 ，故 在 上是增函数。()， 02. 判断奇偶性根据已知条件，通过恰当的赋值 代换， 寻求 与 的关系。fx()f)例3若函数 与 的图象关于原点对称，判断：函数yfx()0y是什么函数。yfx()解：设 图象上任意一点为P（ ）f()xy0，y 5 O -7 -3 3 7 x -5 y O
3、 x 2与 的图象关于原点对称，yfx()fx()关于原点的对称点 在 的图象上，P0， ()y0， fx()yfx00()又 f()x00即对于函数定义域上的任意x都有 ，所以 是偶函数。fxf()yfx()二、证明单调性和奇偶性1.证明单调性例 4已知函数 f(x)= ,且 f(x),g(x)定义域都是 R,且 g(x)0, g(1) =2,g(x) 是1)(xg增函数. g(m) g(n)= g(m+n)(m、nR) 求证： f(x)是R上的增函数解:设x 1x2g(x)是R 上的增函数, 且g(x)0g(x1) g(x2) 0g(x1)+1 g(x2)+1 0 0)(2xg1)(x-
4、0)(2)(1f(x1)- f(x2)= - =1- -(1- )(1xg1)(2)(1xg1(2xg= - 0)(2)(1f(x1) f(x2)f(x)是R 上的增函数3例5已知 对一切 ，满足 ，且当 时，fx()y， ffxyfy()()()0， x0，求证：（1） 时， （2） 在R上为减函数。f()1；证明： 对一切 有 。xyR， fxyfy()()且 ，令 ，得 ，f()00现设 ，则 ， ，xfx()1而 ff()fxf()1，0设 且 ，xR12， x12则 f()，xx)221fffx()()1，x)12即 为减函数。f(2.证明奇偶性例6已知 的定义域为R，且对任意实数x
5、，y满足 ，求证：f() fxyfy()()是偶函数。fx()分析：在 中，令 ，fxyfy()()xy1得 110令 ，得xyfff()()()0于是 fxx()故 是偶函数。x4三、求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关 键是利用函数的奇偶性和它在定 义域内的增减性，去掉“ ”符号，转 化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。f例7已知 是定义在（ ）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足x()，试确定 的取值范围。fafa(242a解： 是偶函数，且在（0，1）上是增函数，x()在 上是减函数，f，由 得 。214a35a（1）当 时，不等式不成立。faff(
6、)()(202（2）当 时，3ffafa()()4120432解 之 得 ，（3）当 时，25aff()()42faa()220145解 之 得 ，综上所述，所求 的取值范围是 。a()()325， ，例8已知 是定义在 上的减函数，若 对fx()(， 1fmxfxsin(cos)2 21恒成立，求实数 的取值范围。xRm5解： mxx222231sincoics对 恒成立xRmx2231incos对 恒成立mxx2223154sincos(in)对 恒成立，xRm2315420为 所 求 。四、不等式1.解不等式这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符
7、号“ ”，转化为代数不等式求解。f例9已知函数 对任意 有 ，当 时，x()yR， fxyfxy()()20， ，求不等式 的解集。fx()2f35a23解：设 且x12、 x12则 20，fx()1即 ，2fxfxfff()()()21211故 为增函数，x()又 ffff)()()321123456faf()()1321，即因此不等式 的解集为 。fa()23a|132. 讨论不等式的解求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。例10已知函数 是定义在 上的减函数，且对一切实数x，不等式fx()(，恒成立，求k的值。fk(sinsin2分析：由单调性，脱去函数记号，得xkx222
8、214isnsi()i()由题意知(1)(2)两式对一切 恒成立，则有Rkxk222114941(sin)miax五、比较函数值大小利用函数的奇偶性、对称性等性 质将自变量转化到函数的 单调区间内，然后利用其 单调性使问题获解。例11已知函数 是定义域为R的偶函数， 时， 是增函数，若 ，fx()x0fx()x10，且 ，则 的大小关系是_。x20|12ff)()12，分析： 且 ，x0， |x121又 时， 是增函数，x0fx()f(21是偶函数，x)7fxf()(11故 )2六、综合问题求解解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“ ”前的“ 负号
9、”，三是利用函数单调性去掉函数符号“ ”。f f例12.设函数 定义在R上，当 时， ，且对任意 ，有yfx()x0fx()1mn，当 时 。fmnn()mfn(（1）证明 ；f()01（2）证明： 在R上是增函数；x（3）设 ，Ayffyf()|()(， 21，若 ，求BxfabcabcRa| ， ， ， ， ， 0AB满足的条件。abc， ，解：（1）令 得 ，mn0ff()()0或 。f()0f()1若 ，当 时，有 ，这与当 时，fmf()()0mn矛盾，fmfn()。01（2）设 ，则 ，由已知得 ，因为 ，x2x10fx()21x10，若 时， ，由f()11f1， ()f()0xfffxfR()()()122110在 上 为 增 函 数 。（3）由 得fxfyf()()2y2()8由 得 （2）faxbyc()1axbyc0从（1）、（2）中消去 得 ，因为()axcb2 20AB，()()42cc即 ab2
