1、专题一抽象函数奇偶性的判定及应用探究一：抽象函数的单调性和奇偶性问题抽象函数的具体模型)()(yfxyf )()(yfxyf类型一：抽象函数证明函数的奇偶性问题 ， 满足 ，如何证明 为奇函数？xR()f()()fxyfy()fx ， 满足 ，如何证明 为偶函数？()f()()ff ()f类型二：抽象函数证明函数的单调性问题 若 且 、 证明其单调性,Rx()()fyfxy()()fxfy 若 、 证明其单调性,()()ff()(ff探究二：函数性质（单调性、奇偶性）定义经典试题一、判断单调性和奇偶性1. 判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性 质，画出函数的示意 图 ，以形助数，问题迅速
2、获解。例 1如果奇函数 在区间 上是增函数且有最小值为 5，那fx()37，么 在区间 上是fx()7，A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为55C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为分析：画出满足题意的示意图，易知选 B。例 2偶函数 在 上是减函数，问 在 上是增函数还是减函数，并fx()0)， fx()， 0证明你的结论。分析：如图所示，易知 在 上是增函数，证明如下：f()， 0任取 xx12120因为 在 上是减函数，所以 。f()， fxf()()12又 是偶函数，所以 ，xfx(112，从而 ，故 在 上是增函数。ff()12)， 02. 判断奇偶性根据已知条件，
3、通过恰当的赋值 代换， 寻求 与 的关系。fx()f)例 3若函数 与 的图象关于原点对称，判断：函数yfx()0y是什么函数。yfx()解：设 图象上任意一点为 P（ ） 与 的图象关于原点对f xy0， fx()yfx()称， 关于原点的对称点 在 的图象上，Pxy()0， ()，f00()又 yfxfxf()(00即对于函数定义域上的任意 x 都有 ，所以 是偶函数。fx)(yfx()二、证明单调性和奇偶性y 5 O -7 -3 7 x -5 y O x 1.证明单调性例 4已知 对一切 ，满足 ，且当 时，fx()y， ffxyfy()()()0， x0，求证：（1） 时， （2） 在
4、 R 上为减函数。f()1；证明： 对一切 有 。xyR， fxyfy()()且 ，令 ，得 ，f()00现设 ，则 ， ， 而xfx()1ffx()()01，ff()(10f设 且 ， 则xR12， x1212fx()，ff()()fx()1， 即 为减函数。x12fx()2.证明奇偶性例 5已知 的定义域为 R，且对任意实数 x，y 满足 ，求证：f() fxyfy()()是偶函数。fx()分析：在 中，令 ，fxyfy()()xy1得 110令 ，得xyfff()()()0于是 故 是偶函数。fxx()fx三、求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关 键是利用函数的奇偶性和它在
5、定 义域内的增减性，去掉“ ”符号，转化为 代数不等式组求解，但要特 别注意函数定义域的作用。f例 6已知 是定义在（ ）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足x()，试确定 的取值范围。fafa(242a解： 是偶函数，且在（0，1）上是增函数， 在 上是减函数，x) fx()10，由 得 。42a35a（1）当 时， ，不等式不成立。fff()()(4022）当 时， 32fafafa()()4102432解 之 得 ，（3）当 时， 5fafa()()2fa()2240145解 之 得 ，综上所述，所求 的取值范围是 。a()()325， ，四、不等式1.解不等式 这类不等式一般需要
6、将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“ ”，转化为代数不等式求解。f例 7已知函数 对任意 有 ，当 时，fx()yR， fxyfxy()()20， ，求不等式 的解集。fx()235fa23解：设 且 则 ，x12、 x12x10fx()21即 ，f()0xfxf ff()()()22111故 为增函数，fx()又 ff)()()321123453112)()(2aff即 ，因此不等式 的解集为 。f()2a|132. 讨论不等式的解求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。例 8，. 已知 是定义在 上的奇函数，若 ，且 时，恒有)(xf1, ,b0b
7、a.（1）判断 在 上是增函数还是减函数，并证明你的结论；0)(baf )(xf,（2）解不等式 6)5(2xf五、比较函数值大小 利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。例 9，已知函数 是定义域为 R 的偶函数， 时， 是增函数，若 ，fx()x0fx()x10，且 ，则 的大小关系是_。x20|x12fxf()()12，分析： 且 ， 0， |00121xx又 时， 是增函数，xfx()是偶函数 f(21f()fxf()(11故 1. 对于定义在 上的函数 ，给出三个命题：xf)()12R（1）若 ，则 是偶函数；（2）若 ，则 不是偶函
8、数；-)(xf )2(-ff)(xf（3）若 ，则 一定不是奇函数.其中正确命题的序号为_)(ff2. 下列命题中，说法正确的是_（1）若定义在 上的函数 满足 ，则函数 是 上的单调增函数；R)(xf)1(2ff)(xfR（2）若定义在 上的函数 满足 ，则函数 不是 上的单调减函数；（3）若定义在 上的函数 在区间 上是单调增函数，在区间 上也是单)(xf0,0调增函数，则函数 是 上的单调增函数；R（4）若定义在 上的函数 在区间 上是单调增函数，在区间 上也是单)(xf, ,调增函数，则函数 是 上的单调增函数；变式：若定义在 上的函数对任意的 都有 成立，RRx21, 2)()(12
9、1xffxf且当 时， （1）求证： 是奇函数；（ 2）求证： 是 上的增函0x.2)(xf )(f R数；函数 f(x)，满足 都有 f(x1+x2)= f(x1)+ f(x2)-3, （1）判断函数 f(x)-3 的奇yR21,2.521.510.5 0.511.522.51.41.210.80.60.40.20.20.40.60.81偶性并予以证明 若 f(x) 最大值为 M，最小值为 m，求 M+m分析;恰当赋值，用定义可证 奇偶性，应用奇偶性可求 M+m解析；令 则 f(0+0)= f(0)+ f(0)-3 得 ，令 则 f(x-x)= f(x)+ f(-x)-,021x30f xx
10、21,3 得 f(x)+ f(-x)=6，令 则 所以 f(x)-3 为3xfg gfxg奇函数。 ， ， 为奇函数图像关于原点对称maxmin， 所以0M0x6M点评: 奇偶性定义是判断抽象函数奇偶性的重要方法，恰当赋值找出 f(x)+ f(-x)=6 是关键2，函数 f(x)，满足 （1）求 的值，判断并证y ),()(, abffafRb)1(,0f明 f(x)的 奇偶性解析；令 则 ，令 则 ,0afff= 得 再 令1211ff 0，所以 f(x) 为奇函数xffxxfb,点评:要判断 f(x)的奇偶性必先求出 ，而把 1 写成 是关键f 13， 定义在 R 上的函数 f(x)满足
11、且在 上只有y),2()(xf7,0，判断 f(x)的 奇偶性并说明理由0)3(1f解析； f(x)在 上只有 令 则, 0)3(1fx所以 ， 所以 f(x)既不是奇052ffff 1ff函数也不是偶函数。点评:判定一个命题不成立，只需举出反例即可。4， 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足条件 ，且函数 是yxfxf23y43xf奇函数，判断 f(x)的奇偶性并说明理由y解析；因为 是奇函数，所以 ，用 替代 得43xf 43xf43xf 43x又 所以 f(x) 23xf 222ff为偶函数5， 定义在 R 上的函数 f(x)满足:y,14f判断 f(x)的奇偶性并说明理由Ryxfxf
12、yxf ,4 y解析；令 得 ，只需求出 ，故再令 得0fy0f 1,0xy，所以2101fff yff所以 f(x) 为偶函数6，已知偶函数 f(x)在区间 上单调递增求满足 的 取值范围, xff2解析；由偶函数性质得 ，又 f(x)在区间 上单调递增|2|xff,0解得02xx 1x点评：运用偶函数性质 可把变量转化为同一单调区间再利用单调性求解，xff本题若分类讨论，则要分四种情况繁琐，显示了运用性质的重要性。7， 函数 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数， 且 f(x) g(x)在 上单调递增，解不等式,0)1(g0,f(x) g(x) 0解析；令 f(x) g(x)， f(-x) g(-x)=- 所以 为奇函数，又 f(-1) xFxFxFFg(-1)=0， ， 在 上单调递增，由奇函数在其对称区间上单调性相同得10,在 上单调递增作出 的简图x,0x所以 f(x) g(x) 0 即 的解是xF,1,
