1、椭圆中的最值问题与定点、定值问题解决与椭圆有关的最值问题的常用方法（1 ） 利用定义转化为几何问题处理；（2 ） 利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解；（3 ） 利用函数最值得探求方法，将其转化为区间上的二次 函数的最值来处理，此时应注意椭圆中 x、y 的取值范围；（4 ） 利用三角替代（换元法）转化为 三角函数的最值问题处理。一 、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题 椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径，椭圆上一动点与长轴的两端点重合时，动点与焦点取得最大值 a+c（远日点） 、最小值 a-c（近日点） 。推导：设点 为椭圆 上的任意一点，左焦点为 ，),(0yxP)0( 12bay
2、x )0,(1cF，由 得 ，将其代入2001|cF 20(20ax并化简得 。所以，当点 为长轴的右端点2001)(|yxPxacPF01| ),(0yP重合时， ；当点 为长轴的左端点 重,2aAcmax1| ),(0 ),(1aA合时。 。当焦点为右焦点 时，可类似推出。F)(|in1 2cF1. （ 2015 浙江卷）如图，已知椭圆 上两个 12yx不同的点 A、B 关于直线 对称。my（1 ） 求实数 m 的取值范围；（2 ） 求 面积的最大值（ O 为坐标原点） 。解：（1）由题意知 ，可设直线 AB 的方程为 。0bxmy1联立 ，消 去，得 。bxmy12y 012)1(bxm
3、因为直线 与椭圆 有两个不同的交点， 12yx所以 。-042mb设 ，线段 AB 的中点 ，则 ，),(),(21yxBA),(Myx2421mbx所以 。将线段 AB 的中点 代入直线21 2mbxyM )2,(2b，解得 。-2m2由得 。36或(2)令 ，)2,0(),(1mt则 = ，212124)()(1| xxAB 21324tt且 O 到直线 AB 的距离为 。12td设 的面积为 ，所以 ，AB)(tS 2)1(2|)(2tdABt 当且仅当 时，等号成立。故 面积的最大值为 。21t AOB22.已知椭圆 4x2y 21 及直线 yxm .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实
4、数 m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.解 (1)由Error! 得 5x22mxm 210，因为直线与椭圆有公共点，所以 4m 220(m 21) 0，解得 m .52 52(2)设直线与椭圆交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知：5x 22mxm 21 0，所以 x1x 2 ，x1x2 (m21)，2m5 15所以|AB| x1 x22 y1 y22 2x1 x22 2x1 x22 4x1x2 .5422m2510 8m2所以当 m0 时，|AB |最大，即被 椭圆截得的弦最长，此 时直线方程为 yx.反思与感悟 解析几何中的综合性问题很多，而且可与
5、很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判 别式来确定参数的限制条件 .跟踪训练 2 如图，点 A 是椭圆 C： 1(ab0)的短轴位于 y 轴下方的端点，过点x2a2 y2b2A 且斜率为 1 的直线交椭圆于点 B，若 P 在 y 轴上，且 BPx 轴， 9.AB AP (1)若点 P 的坐标为(0,1) ，求椭圆 C 的标准方程；(2)若点 P 的坐标为(0，t)，求 t 的取值范围.解 直线 AB 的斜率为
6、 1，BAP45，即BAP 是等腰直角三角形，| | | |.AB 2AP 9，AB AP | | |cos 45 | |2cos 459，AB AP 2AP | |3.AP (1)P(0,1)，| |1，| |2，OP OA 即 b2，且 B(3,1).B 在椭圆上， 1，得 a212，9a2 14椭圆 C 的标准方程为 1.x212 y24(2)由点 P 的坐标为(0，t) 及点 A 位于 x 轴下方，得点 A 的坐标为(0，t3)，t3b，即 b3t.显然点 B 的坐标是(3 ，t)，将它代入椭圆方程得： 1，解得 a2 .9a2 t23 t2 33 t23 2ta 2b20， (3t)
7、 20.33 t23 2t 1，即 1 0，33 2t 33 2t 2t3 2t所求 t 的取值范围是 0t .322、 椭圆中的定点和定值问题解决时应用数形结合、分类讨论、几何法等方法。解决此类问题的方法有两种：（1 ）进行一般计算、推理求出结果；（2 ）通过检查特殊位置，探索出“定点” “定值” ，然后再进行一般性证明或计算。2.已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，椭圆 上的点到焦点距离的最大值为CxC3，最小值为 1。（1 ）求椭圆 的标准方程；（2 ）若直线 与椭圆 相交于 A、B 两点（A、B 不是左右顶点） ，且以 AB 为mkxyl:C直径的圆过椭圆 的右顶点。求证：直线
8、过定点，并求出该定点的坐标。l解：（1）根据题意可设椭圆方程 ，)0( 12bayx由已知得 ，解得 ，13ca1ca32所以椭圆的标准方程为 。342yx(2)设 ，联立 得 ，),(),(21yxBA1342yxmk 0)3(48)4(22mkx则由题意得 ，0)3(4316422mkk即 ，且 ，032mk22143)(8kx又 = = ，)(2121kxy 2121)(mx243)(k设椭圆的右顶点为 D 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点)0,(D，即 ， ，1BADk121xy 4)(2112xxy，化简整理得 ，04364)(3)( 222kmkm 06722km解得 ,且均满足 。7,212当 时。 的方程为 ，直线过定点 ，与已知矛盾；km1l)(xky)0,(D当 时， 的方程为 ，直线过定点 。721l72,72所以直线 过定点，定点的坐标为 。l )0,(
