1、量子力学中微扰理论的简单论述摘要：在量子力学中，由于体系的哈密顿函数算符往往比较复杂，薛定谔方程能够严格求解的情况寥寥可数。因此，引入各种近似方法以求解薛定谔方程的问题就什么重要。常用的近似方法有微扰法、变分法、半经典近似和绝热近似等，不同的近似方法有不同的实用范围，在下文中将讨论分立谱的微扰理论。对于体系的不含时的哈密顿函数的分立谱的的微扰理论可以分为非简并定态微扰理论和简并定态微扰理论。关键词：近似方法；非简并定态微扰理论；简并定态微扰理论目 录1 非简并定态微扰论 .11.1 理论简述 .11.2 一级微扰 .31.3 二级修正 .51.4 非简并定态微扰的讨论 .61.5 海曼 费曼定
2、理 .72 简并定态微扰论 .82.1 理论简述： .82.2 简并定态微扰论的讨论 .103 结束语 .11致谢 .11参考文献 .12- 1 -0 引言微扰理论是量子力学的重要的理论。对于中等复杂度的哈密顿量，很难找到其薛定谔方程的精确解。我们所知道的就只有几个量子模型有精确解，像氢原子、量子谐振子、与箱归一化粒子。这些量子模型都太过理想化，无法适当地描述大多数的量子系统。应用微扰理论，可以将这些理想的量子模型的精确解，用来生成一系列更复杂的量子系统的解答。量子力学的微扰理论引用一些数学的微扰理论的近似方法。当遇到比较复杂的量子系统时，这些方法试着将复杂的量子系统简单化或理想化，变成为有精
3、确解的量子系统，再应用理想化的量子系统的精确解，来解析复杂的量子系统。基本的方法是，从一个简单的量子系统开始，这简单的系统必须有精确解，在这简单系统的哈密顿量里，加上一个很弱的微扰，变成了较复杂系统的哈密顿量。假若这微扰不是很大，复杂系统的许多物理性质（例如，能级，量子态，波函数）可以表达为简单系统的物理性质加上一些修正。这样，从研究比较简单的量子系统所得到的知识，可以进而研究比较复杂的量子系统。微扰理论可以分为两类，不含时微扰理论与含时微扰理论。不含时微扰理论的微扰哈密顿量不含时间；而含时微扰理论的微扰哈密顿量含时间。1 非简并定态微扰论1.1 理论简述近似方法的精神是从已知的较简单的问题准
4、确解出发，近似地求较复杂的一些问题的解，当然，还希望了解这些求解方法的近似程度，估算出近似解和准确解之间的最大偏离。下面我们将讨论体系在受到外界与时间无关的微小扰动时，它的能级和波函数所发生的变化。 1假设体系的哈密顿量 不显含 ，定态的薛定谔方程HtE满足下述条件： - 2 -（1） 可分解为 和 两部分 厄米，而且 远小于 ：H00H0H=0上式表示， 与 的差别很小， 可视为加与 上的微扰。由于0不显含 ，因此，无论 或是 均不显含 。Ht0Ht（2） 的本征值和已经求出，即在 的本征方程0 00()n()En中，能级 及波函数 都是已知的。微扰论的任务就是从 的本征(0)nE()n 0
5、H值和本征函数出发，近似求出经过微扰 后， 的本征值和本征函数。H（3） 的能级无简并，严格来说，是要求通过微扰论来计算它的修正的0H那个能级无简并。例如，要通过微扰论计算 对 的第 个能级 的修正，0n(0)nE就要求无简并，它相应的波函数 只有一个。其他能级既可以是简并的，也(0)n可以不是简并的。 2（4） 的能级组成分立谱，或者严格点说，至少必须要求通过微扰来计0H算它的修正的那个能级 处于分立谱内， 是束缚态。(0)nE(0)nE在满足上述条件下，可利用定态非简并微扰论从已知的 的本征值和本0H征函数近似求出 的本征值和本征函数。为表征微扰的近似程度，通常可引进一个小的参数 ，将 写
6、成 ，将的微小程度通过 反映出来。体系经H 微扰后的薛定谔方程是： 0()nnE将能级 和波函数 按 展开：nE(0)(1)(2)nnE()()()- 3 -， ， ， ，分别表示能级 和波函数 的一级，二级(1)nE(2)(1)n(2) nEn修正。将上两式代入薛定谔方程中得： 0()H(0)(1)(2)nn)1)2nE ()()()然后比较上式两端的 的同次幂，可得出各级近似下的方程式： 00()n(0)En： =1H()1H(1)n(0)： 20()n(2)nE(2)n0零级近似显然是无微扰时的定态薛定谔方程式，同样还可以列出准确到， 等各级的近似方程式。 3341.2 一级微扰求一级微
7、扰修正只需要求解 = 。(0H()nE1(H(1)nE(0)由于 厄米， 的本征函数系 系展开0H0(1)n()la0将此式代入 的近似薛定谔方程中的 1为求出展开系数 ，以 左乘上式并对全空间积分，利用 系的正交(1)la(0)k (0)n归一性后，得当 时，得nk- 4 -当 时，得nk那么接下来计算 ，利用 的归一条件，在准确到 数量级后，(1)nan()O又因波函数 归一， 得：(0)n(0)1n将 代入上式得(1)n()la0必为纯虚数，即()为实数。准确到 的一级近似，微扰后体系的波函数是上式表明， 的贡献无非是使波函数增加了一个无关紧要的常数相位因子，(1)na那么，不失普遍性，
8、可取因此，准确到一级近似，体系的能级和波函数是上式表明，准确到一级近似， 在无微扰能量表象中的对角元给出能量的一H级修正，非对角元给出波函数的一级修正。 41.3 二级修正求二级修正需要求解 =(0()nE1(1)nE(0)- 5 -与求一级修正的步骤相似，将二级修正波函数按 展开(0)n将此式代入上式得:以 左乘上式，并对全空间进行积分后得：(0)k当 时，得，考虑到 0，由上式得：nk(1)na当 时，由上式得：nk、至于 ，同样可以由波函数的归一条件算出，由(2)na得或同样，若取 为实数，那么由上式得：(2)na综合上述，准确到二级近似吗，体系的能级和波函数是：- 6 -同理，其他各级
9、近似也可用类似的方法算出。 51.4 非简并定态微扰的讨论（1）由微扰后的能级可知，微扰实用的条件是只有满足该式，才能满足微扰级数的收敛性，保证微扰级数中最后一项小于前一项。这就是 的明确表示，微扰方法能否应用，不仅决定于微H=0扰的大小，而且决定于微扰的大小，而且还决定于无微扰体系两个能级之间的间距。只有当微扰算符 在两个无微扰体系波函数之间的矩阵元 的绝对 knH值远小于五微扰体系相应的两能级间隔 时，才能用微扰论来计算。(0)()nkE这就是为什么必须要求作微扰计算的能级处于分立谱，因为如果能级 是连nE续谱，它和相邻的能级的能级间距趋于零，对于除能 外的其他所有能级， n是不可能都被满
10、足的。 6（2）如何在 中划分 和 十分重要， 和 取得好，上式不仅H00H可以满足，而且可以使级数收敛的很快，避免了繁长的微扰计算。一般，除了要求的 本征值和本征函数必须已知外，还可以从体系的对称性及微扰矩阵0元是否满足一定的选择定则来考虑划分 和 。0- 7 -（3）能量本征函数和本征值的二级修正由相应的一级修正给出，这样我们可以说，微扰论其实也是一种逐步逼近法。（4）关于 的讨论：由 得出，若设我们将 看成一个可变0H化的参数，则显然当 0 时， ，这时体系未受到微扰的影响；当1 时， ，微扰全部加进去了。因此、可以想象体系当从 00 缓慢变化到 1 的过程，也就是体系从无微扰的状态逐步
11、变成有微扰的状态的过程。 71.5 海曼 费曼定理设 是 的函数，因此他的本征方程和归一条件为：H由上式得：上式就是费曼海曼定理，它通过对微扰参数 的积分给出了含微扰的能量和无微扰能量之差。- 8 -2 简并定态微扰论2.1 理论简述：除一维束缚态外，一般情况下均有简并，因此简并微扰比非简并微扰更具有普遍性，可以说，简并微扰是非简并微扰的特例。假定 的第 个能级 有 度简并，即对应于 有 个本征函数0Hn(0)nEf(0)nEf（ =1， 2，3. ） 。与简并微扰不同，现在由于不知道在这 个本()nvf nf征函数中应该取哪一个作为无微扰本征函数。因此，简并微扰要解决的第一个问题就是：如何适当选择零级波函数进行微扰计算。设 的本征方程是：0归一化条件是：的本征方程是：H由于 是完备系，将 按 展开后，得：(0)nv(0)nv将此式代入上式得：以 左乘上式两端，对全空间进行积分后有：(0)*m其中：按微扰的精神，将 的本征值 和在 表象中的本征函数 按的幂级数作HE0Cnv微扰展开：再将这两式代入 后得：
