1、集合论集合及其运算,教师：孙继荣电话：87768609Email:,集合论集合及其运算,学习内容： 1.集合的概念和表示方法 2.集合间的关系和特殊集合 3.笛卡儿积,集合论集合及其运算,教学要求： 1.掌握集合的两种表示法，理解集合的包含与相等、幂集等基本概念。 2.熟练掌握集合的交、并、补、差、对称差等运算，并通过文氏图加深理解。会做笛卡儿积的运算。 3.熟练掌握集合的基本运算，并能用以证明集合恒等式。,集合论集合及其运算,本章重点集合概念集合的运算集合恒等式的证明笛卡儿积,3.1集合的概念和表示方法,集合与元素具有确定的，可以区分的若干事物的全体称为集合，其中的事物叫元素。元素与集合的关
2、系： 或 集合中的元素不能重复出现，集合中的元素无序之分. 集合与其元素之间的关系是属于“”或不属于“”，二者必居其一且不可兼而有之。,3.1集合的概念和表示方法,集合与元素集合中所含元素的个数记作|A|英文大写字母表示集合英文小写字母或数字表示集合中的元素,3.1集合的概念和表示方法,集合的表示方法例举法描述法文氏图运算法,3.1集合的概念和表示方法,几个特定的集合符号自然数集合 N整数集合 Z有理数集合 Q实数集合 R复数集合 C,3.1集合的概念和表示方法,集合之间的关系包含(子集)：对于任意两个集合A和B，若A中的每个元素都是B中的元素，则B包含A(或A包含于B)，A是B的子集，记为A
3、B 。真子集：若AB且AB，则A是B的真子集，记为AB。 集合相等：若AB，BA，则AB,3.1集合的概念和表示方法,从属关系与包含关系从属关系或是指集合中的元素与集合的关系包含关系是指集合和集合之间的关系例子：A1,2,3,1A, 而1 A.,3.1集合的概念和表示方法,包含关系的性质自反性反对称性传递性,3.1集合的概念和表示方法,特殊集合：全集、空集和幂集 全集合E：在一个具体问题中，所涉及的集合都是某个集合的子集，该集合为全集全集是相对的概念空集：不含任何元素的集合为空集.空集是惟一的它是任何集合的子集幂集P(A)或2A：集合A的所有子集构成的集合若An, 则P(A)=2n. P(A)
4、 AP(A),3.1集合的概念和表示方法,注意元素与集合集合与子集子集与幂集与()空集与所有集合等的关系,3.1集合的概念和表示方法,课堂练习： 已知S2,a,3,4,R=a,3,4,1,指出下列命题的真值. (1) aS; (2) aR; (3) a,4,3S; (4) a,1,3,4R; (5) R=S; (6) aS (7) aR (8) R (9) aR (10) S (11) R (12) 3,4,3.1集合的概念和表示方法,课堂练习： 写出下列集合的子集：(1) A=a，b，c (2) B= (3) C=,3.2集合的运算及其性质,集合的运算的定义集合A和B的并，由集合A和B的所有
5、元素组成的集合，AB集合A和B的交，由集合A和B的公共元素组成的集合，AB集合A的补集A，由不属于集合A的元素组成的集合，A. 补集总相对于一个全集. 集合A与B的差集，由属于A，而不属于B的所有元素组成的集合，AB. 集合A与B的对称差，AB(AB)(BA)，也有AB（AB（AB）,3.2集合的运算及其性质,用文氏图表示各种运算图33 集合并、交集图34 差集、补集图35 对称差集由定义推出的一些关系式AAB，BAB，ABA，ABB如果AB，那么ABB， ABAABA，ABAB,3.2集合的运算及其性质,课堂练习：例1，例3，例7，例9例5，例6,3.2集合的运算及其性质,集合运算的性质（基
6、本规律）110交换律、结合律、分配律、幂等律、同一律、零律、补余律、吸收律、摩根律和双补律 对称差的运算性质1116,3.2集合的运算及其性质,恒等式证明 进行集合的运算集合运算式的化简集合恒等式的推理证明集合恒等式证明的目的：通过证明的练习，加深对集合性质和第1章命题公式基本等值式的理解和掌握为第8章学习布尔代数中部分性质的应用打下良好的基础。,3.2集合的运算及其性质,课堂练习例10例20集合恒等式的证明方法：要证明AB，就需要先证明A B，再证明A B 。（例6，例10，例11）通过运算律进行等式推导。 文氏图只能说明集合的运算，不能用来证明,3.2集合的运算及其性质,有限集合的计数定理
7、2，3（容斥定理）有限集合计数方法文氏图列出方程组,3.3笛卡儿积,有序对定义：有序对就是有顺序的数组，如，x和y 的位置是确定的，不能随意放置. 性质：当ab时，有序对有序对的充分必要条件是xa且yb注意：有序对，以a,b为元素的集合a,b=b,a；有序对(a,a)有意义，而集合a,a不成立，因为它只是单元素集合，应记作a,3.3笛卡儿积,笛卡儿积定义：设A和B是任意两个集合，用A中的元素为第一元素B中的元素为第二元素构成的有序对，所有这样的有序对组成的集合称为集合A和B的笛卡儿积，也称集合A和B的直乘积，记做A B一种集合合成的方法，把集合A，B合成集合AB，规定ABxA,yB ，不能写作BA。,3.3笛卡儿积,n阶笛卡儿积将两个集合的笛卡儿积推广到n个集合笛卡儿积的运算课堂练习：例2例6设集合A1,2,求AP(A) 设集合 A=a,b,B=1,2,3,C=d,求ABC，BA.,3.3笛卡儿积,笛卡儿积的性质对任意集合A，有A，A笛卡儿积之间不满足交换律和结合律。笛卡儿积和集合的并交运算满足分配律,集合论集合及其运算,本章重点：集合概念集合的运算集合恒等式的证明笛卡儿积 本章关键词集合与元素、子集、空集、全集、幂集、并集、交集、差集、补集、对称差、笛卡儿积,
