1、1,第三节 傅立叶级数,2, 10.3.1 以2 为周期的函数的展开一、三角级数及三角函数系的正交性,简单的周期运动 :,(谐波函数),( A为振幅,复杂的周期运动 :,令,得函数项级数,为角频率,为初相 ),(谐波迭加),称上述形式的级数为三角级数.,3,定理 1. 组成三角级数的函数系,证:,同理可证 :,正交 ,上的积分等于 0 .,即其中任意两个不同的函数之积在,4,上的积分不等于 0 .,且有,但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在,5,二、函数展开成傅里叶级数,定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且,右端级数可逐项积分, 则有,证: 由定理条件,对在,逐项
2、积分, 得,6,(利用正交性),类似地, 用 sin k x 乘 式两边, 再逐项积分可得,7,叶系数为系数的三角级数 称为,的傅里叶系数 ;,由公式 确定的,以,的傅里,的傅里叶级数 .,称为函数,8, 10.3.2 傅氏级数的收敛性定理3 (收敛定理, 展开定理),设 f (x) 是周期为2的,周期函数,并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:,1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;,2) 在一个周期内只有有限个极值点,则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有,x 为间断点,其中,( 证明略 ),为 f (x) 的傅里叶系数 .,x 为连续点,注意: 函数展成傅里叶级数的
3、条件比展成幂级数的条件低得多.,9,例1.,设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在,上的表达式为,解: 先求傅里叶系数,将 f (x) 展成傅里叶级数.,10,11,1) 根据收敛定理可知,时,级数收敛于,2) 傅氏级数的部分和逼近,说明:,f (x) 的情况见右图.,12,例2.,上的表达式为,将 f (x) 展成傅里叶级数.,解:,设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在,13,说明: 当,时, 级数收敛于,14,周期延拓,傅里叶展开,上的傅里叶级数,定义在 ,上的函数 f (x)的傅氏级数展开法,其它,15,例3. 将函数,级数 .,则,解: 将 f (x)延拓成以
4、,展成傅里叶,2为周期的函数 F(x) ,16,利用此展式可求出几个特殊的级数的和.,当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得,说明:,17,设,已知,又,18, 10.3.3 奇、偶函数的展开,周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数,定理4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为,周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,它的傅里叶系数为,正弦级数,它的傅里叶系数为,19,例4. 设,的表达式为 f (x)x ,将 f (x) 展成傅里叶级数.,是周期为2 的周期函数,它在,解: 若不计,周期为 2 的奇函数,因此,20,n1,根据收敛定理可得 f
5、(x) 的正弦级数:,级数的部分和,n2,n3,n4,逼近 f (x) 的情况见右图.,n5,21,例5. 将周期函数,展成傅里叶级数, 其,中E 为正常数 .,解:,是周期为2 的,周期偶函数 , 因此,22,23, 10.3.4 任意区间上的函数展开以2L 为周期的函数的傅里叶展开,周期为 2l 函数 f (x),周期为 2 函数 F(z),变量代换,将F(z) 作傅氏展开,f (x) 的傅氏展开式,24,设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为,(在 f (x) 的连续点处),其中,定理.,25,证明: 令, 则,令,则,所以,且它满足收敛,定理条件,将
6、它展成傅里叶级数:,( 在 F(z) 的连续点处 ),变成,是以 2 为周期的周期函数 ,26,其中,令,( 在 f (x) 的 连续点处 ),证毕,27,说明:,其中,(在 f (x) 的连续点处),如果 f (x) 为偶函数, 则有,(在 f (x) 的连续点处),其中,注: 无论哪种情况 ,在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里叶级数,收敛于,如果 f (x) 为奇函数, 则有,28,例1 设f(x)是以4为周期的函数, 它在2, 2)上的表达式为,将f(x)展开成傅里叶级数.,解 这是l=2,由公式得,29,所以,函数f(x)在点x=0, 2, 4, 6, 是间断的, 在这些点,f(
7、x)的傅里叶级数收敛于 .,30,例2. 把,展开成,(1) 正弦级数; (2) 余弦级数.,解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有,31,(2) 将,作偶周期延拓,则有,32,说明: 此式对,也成立,由此还可导出,据此有,33,当函数定义在任意有限区间上时,方法1,令,即,在,上展成傅里叶级数,周期延拓,将,在,代入展开式,上的傅里叶级数,其傅里叶展开方法:,34,方法2,令,在,上展成正弦或余弦级数,奇或偶式周期延拓,将 代入展开式,在,即,上的正弦或余弦级数,35,例3. 将函数,展成傅里叶级数.,解: 令,设,将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数,理条件.,由于F(z) 是奇函数, 故,则它满足收敛定,36, 10.3.5 将函数展为正弦级数和余弦级数 在0,上的函数展成正弦级数与余弦级数,周期延拓 F (x),f (x) 在 0 , 上展成,周期延拓 F (x),余弦级数,奇延拓,偶延拓,正弦级数,f (x) 在 0 , 上展成,37,例 将函数,分别展成正弦级,数与余弦级数 .,解: 先求正弦级数.,去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,38,注意:,在端点 x = 0, , 级数的和为0 ,与给定函数,因此得,f (x) = x + 1 的值不同 .,39,再求余弦级数.,将,则有,作偶周期延拓 ,40,说明: 令 x = 0 可得,即,
