1、第十讲：梅涅劳斯定理和塞瓦定理一、 梅涅劳斯定理定理 1 若直线 l 不经过 的顶点，并且与 的三边 或它们的延长线分 、 、 别交于 ，则 、 、 =1证明：设 分别是 A、B 、C 到直线 l 的垂线的、 、 长度，则： 。=1注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件。例 1 若直角 中，CK 是斜边上的高，CE 是 的平分线，E 点在 AK 上，D 是 AC 的中点，F 是 DE 与 CK 的交点，证明： 。【解析】因为在 中，作 的平分线 BH，则： ，=， =+=+=90，即 ，所以 为等腰三角形，作 BC 上的高 EP，则： ，对于 和三点 D、E、F 根据梅涅劳斯
2、定理有：= ，于是 ，即 ，根据分比定=1 = =理有： ，所以 ，所以 。= 例 2 从点 K 引四条直线，另两条直线分别交直线与 A、B、C、D 和，试证： 。1， 1， 1， 1: =1111:1111【解析】若 ，结论显然成立；若 AD 与 相交于点 L，则把梅涅劳斯定理分别11 11用于 和 可得： ， ， ，111111=1 1111=1 1111=1，将上面四个式子相乘，可得： ，即：1111=1 11111111=1 :=1111:1111定理 2 设 P、Q、R 分别是 的三边 BC、CA、AB 上或它们延长线上的三点，并且P、Q、R 三点中，位于 边上的点的个数为 0 或
3、2，这时若 ，求证=1P、Q、R 三点共线。证明：设直线 PQ 与直线 AB 交于 ，于是由定理R1 得： ，又因为 ，则=1 =1，由于在同一直线上 P、Q、R 三点中，位=于 边上的点的个数也为 0 或 2，因此 R 与或者同在 AB 线段上，或者同在 AB 的延长线上；若 R 与 同在 AB 线段上，则 R 与 必定重合，不然的话，设 ，这时 AR，即 ，于是可得 ，这与 矛盾，类似地可证得当 =R 与 同在 AB 的延长线上时，R 与 也重合，综上可得：P、Q、R 三点共线。 注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘；例 3 点 P 位于 的外接圆上； 是从点 P
4、向 1、 1、 1BC、CA 、AB 引的垂线的垂足，证明点 共线。1、 1、 1【解析】易得： ， ，11=11=，将上面三个式子相乘，且因为 ，11= =， ，可得 ，=+=180111111=1根据梅涅劳斯定理可知 三点共线。1、 1、 1例 4 设不等腰 的内切圆在三边 BC、CA、AB 上的切点分别为 D、E、F，则 EF 与BC，FD 与 CA，DE 与 AB 的交点 X、Y、Z 在同一条直线上。【解析】 被直线 XFE 所截，由定理 1 可得：，又因为 ，代入上式可得 ，同理=1 = =可得 ， ，将上面的式子相乘可得：=，又因为 X、Y、Z 丢不在 的边上，由定理 2 可得 X
5、、Y、Z 三点共线。=1 例 5 已知直线 ， ， 相交于 O，直线 AB 和 的交点为 ，直线 BC 和 的1 1 1 11 2 11交点为 ，直线 AC 和 的交点为 ，试证 三点共线。2 11 2 2、 2、 2【解析】设 分别是直线 BC 和 ，AC 和 ，AB 和2、 2、 2 11 11的交点，对所得的三角形和它们边上的点：OAB 和（11） ，OBC 和（ ） ，OAC 和（ ， ）应用1， 1， 2 1， 1， 2 1， 1 2梅涅劳斯定理有： ， ，111122=1 111122=1，将上面的三个式子相乘，可得： ，111122=1 222222=1由梅涅劳斯定理可知 共线。
6、2、 2、 2例 6 在一条直线上取点 E、C 、A ，在另一条上取点 B、F、D，记直线 AB 和 ED，CD 和AF，EF 和 BC 的交点依次为 L、M 、N ，证明：L、M、N 共线。【解析】记直线 EF 和 CD， EF 和 AB，AB 和 CD 的交点分别为 U、V 、W，对 ，应用梅涅劳斯定理于五组三元点 ， ， ， ， ，则有(,)(,)(,)(,)(,)， ， ， ， ，将上面=1 =1 =1 =1 =1五个式子相乘可得： ，点 L、M 、N 共线。=1CBA 11B1二、塞瓦定理定理：设 P、Q 、R 分别是 的 BC、CA、AB 边上的点，则 AP、BQ、CR 三线共点的
7、充要条件是： 。=1证明：先证必要性：设 AP、BQ、CR 相交于点 M，则，同理 ， ，以上三=式相乘，得： ，再证充分性：若 ，=1 =1设 AP 与 BQ 相交于 M，且直线 CM 交 AB 于 ，由塞瓦定理有： ，约翰斯： ，因为 R 和 都在线=1 = 段 AB 上，所以 必与 R 重合，故 AP、BQ、CR 相交于一点 M。例 7 证明：三角形的中线交于一点。【解析】记 的中线 ， ， ，我们只须证明 1 1 1，而显然有： ， ，111111=1 1=1 1=1，即 成立，所以， 交于一点，1= 1111111=1 例 8 在锐角 中， 的角平分线交 AB 于 L，从 L 做边A
8、C 和 BC 的垂线，垂足分别是 M 和 N，设 AN 和 BM 的交点是 P，证明： 。【解析】作 ，下证 CK、BM、AN 三线共点，且为 P 点，要证 CK、BM 、 AN 三线共点，根据塞瓦定理即要证： ，又因为 ，即要=1 =证明： ，因为 ，=1 =，即要证 ，根据三角= =1形的角平分线定理可知： ，所以 CK、BM、AN 三线共点，且为 P 点，所以=1。例 9 设 AD 是 的高，且 D 在 BC 边上，若 P 是 AD 上任一点，BP、CP 分别与AC、AB 交于 E 和 F，则 。=【解析】过 A 作 AD 的垂线，与 DE、DF 的延长线分别交于M、N。欲证 ，可以转化为证明 ，因为= =，故 ，可得 ，所以 ， ，于是 ，因为=， = =， =AD、BE、CF 共点与 P，根据塞瓦定理可得： ，所以=1，所以 所以= =， =M QRACPBCBA1A1B1K LNMCBA例 10 在 的边 BC、CA、AB 上取点 ，证明 1、 1、 1111111=111111【解析】如图对 和 应用正弦定理，可得1 1， ，即 ，同理：11=111=1 11=11， ，从而11=1111=11。111111=111111
