1、13.1.3 菱形的性质和判定 讲义学生版 page 1 of 7菱形的性质及判定中考要求知识点 A要求 B要求 要求菱形 会识别菱形 掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质和判定解决简单问题会用菱形的知识解决有关问题知识点睛1菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质， 还具有自己独特的性质： 边的性质：对边平行且四边相等 角的性质：邻角互补，对角相等 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半点评：其实只要四边形的对角线互
2、相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半3菱形的判定判定 ：一组邻边相等的平行四边形是菱形判定 ：对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定 ：四边相等的四边形是菱形重、难点重点是菱形的性质和判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方13.1.3 菱形的性质和判定 讲义学生版 page 2 of 7形的基础。 难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同
3、时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程 中应给予足够重视。例题精讲板块一、菱形的性质【例 1】 菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为 在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是 【例 2】 如图 2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为 若墙上钉子间的距离 ，则16cm16cmABC度1 21CBA如图，在菱形 中， ， 、 分别是 、 的中点，若 ，则菱形ABCD60EFABDEFABCD的边长是_E FDBCA
4、【例 3】 如图， 是菱形 的边 的中点， 于 ，交 的延长线于 ，交 于 ，EABCDEFACHBFABP证明： 与 互相平分F PHFED CBA【例 4】 如图 1 所示，菱形 中，对角线 、 相交于点 ， 为 边中点，菱形ABCDACBDOD的周长为 ，则 的长等于 ABCD24OH13.1.3 菱形的性质和判定 讲义学生版 page 3 of 71HO DCBA【巩固】 如图，已知菱形 的对角线 于点 ，则 的长为 ABCD8cm4cABDEB， ， E【例 5】 菱形的周长为 ，两邻角度数之比为 ，则菱形较短的对角线的长度为 20cm2:1【巩固】 如图 2，在菱形 中， ， ，则
5、菱形的边长为（ ）6A B C D18 2DCBA【巩固】 如图 3，在菱形 中， ， 、 分别是边 和 的中点， 于点 ，ABCD10EFACEP则 （ ）FPA B C D 54555 3EDPCFBA【例 6】 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为 的菱形，剪60口与折痕所成的角 的度数应为（ ）A 或 B 或 C 或 D 或153045456030【巩固】 菱形 中， 、 分别是 、 的中点，且 ， ，那么 等于 ABCDEFBCDAEBCFDEAF【巩固】 如图，将一个长为 ，宽为 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚10cm8c线）剪
6、下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A B C D2c2240cm280c13.1.3 菱形的性质和判定 讲义学生版 page 4 of 71DCBA【例 7】 已知菱形 的两条对角线 的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝ABCDACBD，角的大小是 【例 8】 如图，菱形花坛 的周长为 ， ， 沿着菱形的对角线修建了两条小路20m60和 ，求两条小路的长和花坛的面积2O DCBA【例 9】 已知，菱形 中， 、 分别是 、 上的点，若 ，求 的度ABCDEFBCDAEFAB数FEDCBA板块二、菱形的判定【例 10】 如图，如果要使平行四边形 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你
7、添加的条件ABCD是 DCAB【例 11】 如图，在 中， 平分 ， 的中垂线交 于点 ，交 于点 ，求证：ABCDABCDAEF四边形 是菱形EDF FE DCBA【巩固】 已知：如图，平行四边形 的对角线 的垂直平分线与边 、 分别相交于 、 .ABCDAADCF求证：四边形 是菱形.FE13.1.3 菱形的性质和判定 讲义学生版 page 5 of 7ODEF CAB【例 12】 如图，在梯形纸片 中， ， ，将纸片沿过点 的直线折叠，使点ABCD/BADCD落在 上的点 处，折痕 交 于点 ，连结 .求证：四边形 是菱形CADEE E C DCBAE【例 13】 如图， 是菱形 的边
8、的中点， 于 ，交 的延长线于 ，交EABCDEFACHF于 ，证明： 与 互相平分ABPF AB CDEFPPFEDCBA【巩固】 已知：如图，在平行四边形 中， 是 边上的高，将 沿 方向平移，使点ACDEAE与点 重合，得 若 ，当 与 满足什么数量关系时，四边形 是菱ECG60 ABFG形？证明你的结论GFEDCBA【例 14】 如图，在 中， ， 是 的中点分别作 于 ， 于 ，ABCAMBCMDAAE于 ， 于 相交于点 求证：四边形 是菱形DFEGDFEG、 PP PMFEDGCBA【例 15】 如图， 中， ， 是 的平分线，交 于 ， 是 边上的高，ABC90ADBCCHA交
9、 于 ， 于 ，求证：四边形 是菱形DFEEF13.1.3 菱形的性质和判定 讲义学生版 page 6 of 7HFDECBA【巩固】 如图， 是矩形 内的任意一点，将 沿 方向平移，使 与 重合，点MABCDMBDBDC移动到点 的位置画出平移后的三角形；连结 ，试说明四边形 的对角线互相垂直，且长度分别等于 的， ， CA，长；当 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形 是菱形？为什么？C MM DCBA三、与菱形相关的几何综合题【例 16】 已知等腰 中， ， 平分 交 于 点，在线段 上任取一点ABC ADBACDA（ 点除外），过 点作 ，分别交 、 于 、 点，作 ，交 于PP
10、EF EFP B点，连结 .M求证四边形 为菱形当 点在何处时，菱形 的面积为四边形 面积的一半？MM MP FA BCDE课后练习1. 菱形周长为 ，一条对角线长为 ，则其面积为 52cm10cm2. 如图，在菱形 中， 在 上， 点在 上，则ABCD4aE， BC2120aBADP， ， BD的最小值为 PE EP DCBA3. 已知菱形的一个内角为 ，一条对角线的长为 ，则另一条对角线的长为_60234. 已知，菱形 中， 、 分别是 、 上的点，且 ， 求：ABCDEFBCD0AF18B的度数EF13.1.3 菱形的性质和判定 讲义学生版 page 7 of 7FEDCBA5. 如图，在 中， ， 是 的中点，连结 ，在 的延长线上取一点 ，连结ABCADBCAD， 当 与 满足什么数量关系时，四边形 是菱形？并说明理由E ECEDCBA6. 如图， 、 、 均为直线 同侧的等边三角形已知 ACDBECFBB 顺次连结 、 、 、 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件 当 为 度时，四边形 为正方形ADE FEDCBA7. 如图，已知 、 分别为 中 、 的平分线， 于 ， 于 ，BECFABCAMENF求证： MN NMEFCBA
