1、鸡兔同笼问题例 1：小梅数她家的鸡与兔，数头有 16 个，数脚有 44 只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？分析：假设 16 只都是鸡，那么就应该有 21632（只）脚，但实际上有44 只脚，比假设的情况多了 44-3212（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了 2 只。因此只要算出 12 里面有几个 2，就可以求出兔的只数。解：有兔（44-216）（4-2）=6（只），有鸡 16-610（只）。答：有 6 只兔，10 只鸡。当然，我们也可以假设 16 只都是兔子，那么就应该有 41664（只）脚，但实际上有 4
2、4 只脚，比假设的情况少了 644420（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了 4-22（只）。因此只要算出 20 里面有几个 2，就可以求出鸡的只数。有鸡（416-44）（4-2）=10（只），有兔 16106（只）。由例 1 看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。例 2：100 个和尚 140 个馒头，大和尚 1 人分 3 个馒头，小和尚 1 人分 1 个馍馒头。问：大、小和尚各有多少人？分析与解：本题由中国古算名题“百僧分馒头问题”演变而得。如果将大和尚
3、、小和尚分别看作鸡和兔，馒头看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。假设 100 人全是大和尚，那么共需馒头 300 个，比实际多300140160（个）。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馒头就要减少 312（个），因为 160280，故小和尚有 80 人，大和尚有1008020（人）。同样，也可以假设 100 人都是小和尚，同学们不妨自己试试。在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。例 3：彩色文化用品每套 19 元，普通文化用品每套 11 元，这两种文化用品共买了 16 套，用钱 280 元。问：两种文化用品各买了多少套？分析与解：我们设想有一只“怪鸡”有 1 个头
4、 11 只脚，一种“怪兔”有 1个头 19 只脚，它们共有 16 个头，280 只脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。假设买了 16 套彩色文化用品，则共需 1916304（元），比实际多30428024（元），现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用19118（元），所以买普通文化用品 248=3（套），买彩色文化用品 16313（套）。例 4：鸡、兔共 100 只，鸡脚比兔脚多 20 只。问：鸡、兔各多少只？分析：假设 100 只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚 200 只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多 200 只，而实际上只多 20 只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数
5、比实际上多 20020=180（只）。现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少 2 只，兔脚增加 4 只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少 426（只），而 180630，因此有兔子 30 只，鸡1003070（只）。解：有兔（210020）（24）30（只），有鸡 10030=70（只）。答：有鸡 70 只，兔 30 只。例 5：现有大、小油瓶共 50 个，每个大瓶可装油 4 千克，每个小瓶可装油2 千克，大瓶比小瓶共多装 20 千克。问：大、小瓶各有多少个？分析：本题与例 4 非常类似，仿照例 4 的解法即可。解：小瓶有（450-20）（42）30（个），大瓶有 50-3020（个）。答：有大瓶 2
6、0 个，小瓶 30 个。例 6：一批钢材，用小卡车装载要 45 辆，用大卡车装载只要 36 辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装 4 吨，那么这批钢材有多少吨？分析：要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。利用假设法，假设只用 36 辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装 4 吨，所以要剩下 436=144（吨）。根据条件，要装完这 144吨钢材还需要 45-36=9（辆）小卡车。这样每辆小卡车能装 144916（吨）。由此可求出这批钢材有多少吨。解：436（45-36）45720（吨）。答：这批钢材有 720 吨。例 7：乐乐百货商店委托搬运站运送 500
7、 只花瓶，双方商定每只运费 0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿 1.26 元，结果搬运站共得运费 115.5 元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶？分析：假设 500 只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0.24500=120（元）。实际上只得到 115.5 元，少得 120-115.5=4.5（元）。搬运站每打破一只花瓶要损失 0.241.261.5（元）。因此共打破花瓶4.51.53（只）。解：（0.24500115.5）（0.241.26）3（只）。答：共打破 3 只花瓶。例 8：小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了 2 分钟，然后两人各跳了 3 分钟
8、，一共跳了 780 下。已知小喜比小乐每分钟多跳 12 下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？分析与解：利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了12（23）60（下）。可求出小乐每分钟跳（78060）（233）90（下），小乐一共跳了 903=270（下），因此小喜比小乐共多跳7802702240（下）。练习：1鸡、兔共有头 100 个，脚 350 只，鸡、兔各有多少只？答案：兔 75 只，鸡 25 只。2班级购买活页簿与日记本合计 32 本，花钱 74 元。活页簿每本 1.9 元，日记本每本 3.1 元。问：买活页簿、日记本各几本？答案：活页簿 21 本，日记本 1
9、1 本。3龟、鹤共有 100 个头，鹤腿比龟腿多 20 只。问：龟、鹤各几只？答案：30 只龟，70 只鹤。4小蕾花 40 元钱买了 14 张贺年卡与明信片。贺年卡每张 3 元 5 角，明信片每张 2 元 5 角。问：贺年卡、明信片各买了几张？答案：贺年卡 5 张，明信片 9 张。5一个工人植树，晴天每天植树 20 棵，雨天每天植树 12 棵，他接连几天共植树 112 棵，平均每天植树 14 棵。问：这几天中共有几个雨天？答案：6 天。6振兴小学六年级举行数学竞赛，共有 20 道试题。做对一题得 5 分，没做或做错一题都要扣 3 分。小建得了 60 分，那么他做对了几道题？答案：15 道。7有
10、一批水果，用大筐 80 只可装运完，用小筐 120 只也可装运完。已知每只大筐比每只小筐多装运 20 千克，那么这批水果有多少千克？答案：4800 千克。解：（8020）（120-80）1204800（千克）。8蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅膀。现有三种小虫共 18 只，有 118 条腿和 20 对翅膀。问：每种小虫各有几只？答案：5 只蜘蛛，7 只蜻蜓，6 只蝉。提示：把小虫分成 8 条腿与 6 条腿两种，先求出蜘蛛的数。9鸡、兔共有脚 100 只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚 92 只。问：鸡、兔各几只？答案：兔 18 只，鸡 14 只。解：由于鸡换成兔，兔换成鸡，脚的只数少了 8 只，故原来的兔比鸡多 4 只。减去这 4 只兔，则鸡、兔一样多，并且共有脚 100-44=84（只），所以，鸡有 84（4+2）=14（只），兔有 14+4=18（只）。10.松鼠妈妈采松籽，晴天每天可以采 20 个，雨天每天只能采 12 个。它一连几天采了 112 个松籽，平均每天采 14 个。问这几天当中有几天有雨？答案：有 6 天雨天。
