1、 2.71 直线与双曲线的位置关系【学习目标】1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、双曲线的定义及其标准方程双曲线的定义在平面内，到两个定点 、 的距离之差的绝对值等于常数 （ 大于 0 且 ）的动点 的1F2 2a12aFP轨迹叫作双曲线.这两个定点 、 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.双曲线的标准方程：焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程说明：焦点是 F1(-c，0
2、)、F 2(c，0)，其中 c2=a2-b2焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程说明：焦点是 F1(0，-c)、F 2(0，c)，其中 c2=a2-b2要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、 “定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“ 定量”是指用定义法或待定系数法确定 a,b 的值.要点二、双曲线的几何性质标准方程21xyab(0,)b21yxab(0,)图形焦点 ，1(,0)Fc2(,)，1(0,)Fc2(,)焦距 2|ab2|ab范围 ，x或 yR，y或 xR对称性关于 x 轴
3、、y 轴和原点对称顶点 (,0)a(0,)a轴 实轴长= ，虚轴长= a2b离心率(1)ce性质渐近线方程xabyayxb要点三、直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系将直线的方程 与双曲线的方程 联立成方程组，消元转化为关于 x 或ykxm21xyab(0,)by 的一元二次方程，其判别式为 .2222() 0bakxka若 即 ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；0,b2(0,)yab2(0,)xab若 即 ，20,bakba 0 直线和双曲线相交 直线和双曲线相交，有两个交点； 0 直线和双曲线相切 直线和双曲线相切，有一个公共点； 0 直线和双曲线相离 直线和双曲线
4、相离，无公共点直线与双曲线的相交弦设直线 交双曲线 于点 两点，则ykxm21xyab(0,)b12(,)(,)Pxyy221211|()()P= =2121yxx12|kx同理可得 12122|(0)Pyk这里 的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12|,x12|,1|()4x21212|yyy双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“ 点差法”求解.在双曲线 中，以 为中点的弦所在直线的斜率 ；21xyab(0,)b0(,)Pxy 20bxkay涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与
5、量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.要点四、双曲线的实际应用与最值问题对于双曲线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用双曲线定义，构建参数 a,b,c 之间的关系，得到双曲线方程，利用方程求解双曲线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种：（1） 利用定义转化（2） 利用双曲线的几何性质（3） 转化为函数求最值【典型例题】类型一：双曲线的方程与性质例 1.求下列双曲线的标准方程(1)与椭圆 共焦点，且过点(2， )的双曲线；2165xy10(2)与
6、双曲线 有公共焦点，且过点(3 ，2)的双曲线42【解析】(1)椭圆 的焦点为(0，3)，2165xy所求双曲线方程设为： ，29xa又点(2， )在双曲线上，10 ，解得 a25 或 a218(舍去) 249a所求双曲线方程为 .14y(2)双曲线 的焦点为(2 ，0)，216x5设所求双曲线方程为： ，2210xya又点(3 ，2)在双曲线上，2 ，解得 a212 或 30(舍去)，18410a所求双曲线方程为 .8xy【总结升华】根据焦点所在轴的位置合理的设出方程是求双曲线方程的基本步骤。举一反三：【变式 1】设双曲线焦点在 x 轴上，两条渐近线为 y x，则该双曲线的离心率为( )12
7、A5 B. 5C. D. 24【答案】C【变式 2】 （2015 安徽卷）下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y=2x 的是（ ）(A) (B) (C) (D)214yx214xy214x214xy【答案】 C【解析】由题意：选项中 A，B 焦点在 x 轴，排除C 项的渐近线方程为 ，即 y2x，204y故选 C.类型二：直线与双曲线的位置关系例 2已知双曲线 x2 y2=4，直线 l：y=k(x 1)，讨论直线与双曲线公共点个数.【思路点拨】直线与曲线恰有一个交点，即由直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解.【解析】联立方程组 消去 y，并依 x 项整理得：4)1(2yxk(1
8、k2)x2+2k2x k2 4=0 (1)当 1 k2=0 即 k=1 时，方程可化为 2x=5，x = ，方程组只有一组解，故直线与双曲线只有一个公共5点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切 ).(2)当 1 k20时，即 k1，此时有 =4(4 3k2)若 4 3k20(k21)，则 k ，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点.2,1),(,3(3)若 4 3k2=0(k21)，则 k= ，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点 (相切的情况).3(4)若 4 3k20，b0） 矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB， CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|=3
9、|BC|，则 E 的离心率是 _【解析】依题意，不妨设 6,4ABD作出图像如下图所示则 2124,;532,1caDFa故离心率 21ca 【巩固练习】1、选择题1双曲线 的渐近线方程是23xyA B C Dy13x3yx3yx2椭圆 与双曲线 有相同的焦点，则 m 的值是( )214xm2yA1 B1 C1 D不存在3 （2015 新课标文改编）已知双曲线过点 4,3,且渐近线方程为 12yx,则该双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 214xy21xy214xy2144(2015 湖北)将离心率为 e1的双曲线 C1的实半轴长 a 和虚半轴长 b（ab）同时增加 m（m0）个
10、单位长度，得到离心率为 e2的双曲线 C2，则（）A对任意的 a，b，e 1e 2B当 ab 时，e 1e 2；当 ab 时，e 1e 2C对任意的 a，b，e 1e 2 D当 ab 时，e 1e 2；当 ab 时，e 1e 25. 已知双曲线的两个焦点为 F1( ，0)、F 2( ，0)，P 是此双曲线上的一点，且55PF1PF 2，|PF 1|PF2|2，则该双曲线的方程是 ( )A. B. C. D3xy213xy24xy214yx6. 已知双曲线的左、右焦点分别为 F1、F 2，在左支上过 F1 的弦 AB 的长为 5，若 2a8，那么ABF 2 的周长是( )A16 B18C21 D
11、26二、填空题7已知双曲线 的右焦点为 F，若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线214xy斜率的取值范围是_8 （2016 葫芦岛二模）已知双曲线 的一条渐近线经过点（3，6） ，则该渐近线21(0,)xyab与圆(x 2)2+y2=16 相交所得的弦长为_9已知双曲线 (a0，b0)的左、右焦点分别是 F1，F 2，点 P 在双曲线右支上，且21xyab|PF1|4|PF 2|，则此双曲线离心率 e 的最大值为_10设一个圆的圆心在双曲线 的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点，则原点 O 到2196x该圆圆心的距离是_三、解答题11.已知双曲线的中心在原点，焦点为
12、 F1 ，F 2（0， ） ，且离心率 ，求双曲线的2e标准方程及其渐近线12设双曲线 C： 相交于两个不同的点 A、B；求双曲线 C 的离心1:)0(2 yxlayx与 直 线率 e 的取值范围：13 （2016 肇庆三模）设双曲线 =1（00，b0)的两个焦点，过 F2 作垂直于 x 轴的直线交双21xya曲线于点 P，且PF 1F230，求双曲线的渐近线方程15已知双曲线 E： (a0，b0)的两条渐近线分别为 1：y2x， 2：y2x12yax ll(1)求双曲线 E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线 分别交直线 1， 2 于 A，B 两点(A ，B 分别在第一、第四象限)
13、 ，且 OABll的面积恒为 8，试探究：是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E？若存在，求出双曲线 E 的方程，若不存在，说明理由【答案与解析】1.【答案】：C【解析】：将双曲线化为 ，以 0 代替 1，得 ，即 ；213yx203yx23yx即 ，故选 C3yx2.【答案】： A【解析】： 验证法：当 m 1 时，m 21，对椭圆来说，a 24，b 21，c 23.对双曲线来说，a 21，b 22，c 23，故当 m1 时，它们有相同的焦点直接法：显然双曲线焦点在 x 轴上，故 4m 2m 22.m 21，即 m1.3 【答案】： A【解析】：根据双曲线渐近方程为 ，可设双曲
14、线的方程为 ，把 代入12yx24xym(4,3)得 m=1.所以双曲线的方程为 ，故选 A。24xym44. 【答案】：D【解析】 依题意， ，2222 21 ()()1(), 1()ambab bmeea 因为 ，由于 m0，a0，b0，()()bmam所以当 ab 时， ，所以 e1e 2；2201,1,()bbaa当 ab 时， ，而 ，所以 ，所以 e1e 2.,22)ba所以当 ab 时，e 1e 2；当 ab 时，e 1e 2.故选 D.5. 【答案】： C【解析】： c ，|PF 1|2|PF 2|2| F1F2|24c 2，5(| PF1|PF 2|)22| PF1|PF2|
15、4c 2，4a 24c 2416，a 24，b 21.6.【答案】： D【解析】：|AF 2| AF1|2a8，|BF 2|BF 1|2a8，|AF 2| |BF2| (|AF1|BF 1|)16，|AF 2| |BF2| 16521，ABF 2 的周长为| AF2|BF 2|AB|21526.7 【答案】： 3,【解析】：由题意知 F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为 y x，当过点 F 的直线与渐近线平行时，3满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知该直线斜率的取值范围是 .3,8 【答案】： 165【解析】：双曲线 的一条渐近线经过点（3，6） ，2(0,)xyab可得渐近线方程
16、为：y=2x，圆(x 2) 2+y2=16 的圆心与半径分别为（2，0） ，4，该渐近线与圆(x2) 2+y2=16 相交所得的弦长为：。22|40|165()故答案为： 59. 【答案】： 3【解析】：由|PF 1| PF2|2a 及|PF 1|4|PF 2|得：|PF2| ，又 |PF2ca，所以 ca ，c ，353e ，即 e 的最大值为 .10 【答案】： 163【解析】：由已知得双曲线的上顶点为 A(0,3)，上焦点为 F(0,5)，设圆心为 P(x0，y 0)，则 y0 4.代352入双曲线方程得 ，所以 ，故| PO| .201694x207169x20xy7169311. 【
17、解析】： 由条件知焦点在 y 轴上， ， ；可求 ；所以双曲线ca2,abca的方程为 渐近线方程为 .21,4yxx12.【解析】：由 C 与 相交于两个不同的点，故知方程组l.1,2yxa有两个不同的实数解.消去 y 并整理得 （1a 2）x 2+2a2x2a 2=0. 2420. 01.8(1).a所 以 解 得 且双曲线的离心率 2.021,66(,2)(,).aeae且且即 离 心 率 的 取 值 范 围 为13 【解析】：由已知， 的方程为 ay+bx-ab=0, l原点到 的距离为 ，则有 , 34c234abc又 c2=a2+b2, ，两边平方，得 16a2(c2-a2)=3c
18、4.ab两边同除以 a4并整理得 3e4-16e2+16=0，e 2=4 或 .3e 0ab, , ,得 ,12221abee 2=4，故 e=2.14 【解析】在 RtF 1F2P 中，PF 1F230，|PF 1| 2|PF2|.由双曲线的定义知|PF 1| PF2|2a，|PF 2| 2a.|F 1F2| |PF2|，即 2c2 a，c 23a 2.3又c 2a 2b 2，2a 2b 2. .故所求双曲线的渐近线方程为 y x.15. 【解析】：(1)因为双曲线 E 的渐近线分别为 1：y2x， 2：y2x，ll所以 2ab所以 2ac故 c a，5从而双曲线 E 的离心率 5ace(2
19、)由(1)知，双曲线 E 的方程为 142yx设直线 与 x 轴相交于点 C，l当 x 轴时，若直线 与双曲线 E 有且只有一个公共点，则|OC| a，|AB|4a，l又 OAB 的面积为 8，所以 |OC|AB|8，21因此 a4a8，解得 a2，此时双曲线 E 的方程为 21 1642yx以下证明：当直线 不与 x 轴垂直时，双曲线双曲线 E 的方程为 也满足条件l2设直线 的方程为 ykxm，依题意，得 k2 或 k 2；l则 C( ，0)，记 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，k由 得 ，同理得 ，xy2kkm由 SOAB |OC|y1y 2|得：，即 m24|4 k 2|4(k 24)821kmk由 ,得(4k 2)x22kmx m 2160.1642yx因为 4k 20，所以4k 2m24(4k 2)(m216) 16(4k 2m 216) ，又因为 m24(k 24)，所以0，即直线 与双曲线 E 有且只有一个公共点l因此，存在总与直线 有且只有一个公共点的双曲线 E，且 E 的方程为 1642yx
