1、2017 年中考数学几何辅助线作法及常考题型解析第一部分 常见辅助线做法等腰三角形1. 作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法； 2. 作一腰上的高； 3 .过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。梯形1. 垂直于平行边 2. 垂直于下底，延长上底作一腰的平行线3. 平行于两条斜边4. 作两条垂直于下底的垂线5. 延长两条斜边做成一个三角形菱形1. 连接两对角 2. 做高平行四边形1. 垂直于平行边 2. 作对角线 把一个平行四边形分成两个三角形3. 做高 形内形外都要注意矩形1. 对角线 2. 作垂线很简单。无论什么题目，第一位应该考虑到题
2、目要求，比如 AB=AC+BD.这类的就是想办法作出另一条 AB 等长的线段，再证全等说明 AC+BD=另一条AB,就好了。还有一些关于平方的考虑勾股，A 字形等。三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等） 。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 解几何题时如何画辅助线?见中点引中位线，见中线延长一倍 在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。
3、 在比例线段证明中，常作平行线。 作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。 对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有 1、过上底的两端点向下底作垂线 2、过上底的一个端点作一腰的平行线 3、过上底的一个端点作一对角线的平行线 4、过一腰的中点作另一腰的平行线 5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交 6、作梯形的中位线 7、延长两腰使之相交 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻
4、烦。 斜边上面作高线初 中 数 学 辅 助 线 的 添 加 浅 谈人 们 从 来 就 是 用 自 己 的 聪 明 才 智 创 造 条 件 解 决 问 题 的 ， 当 问 题 的 条 件 不够 时 ， 添 加 辅 助 线 构 成 新 图 形 ， 形 成 新 关 系 ， 使 分 散 的 条 件 集 中 ， 建 立 已 知与 未 知 的 桥 梁 ， 把 问 题 转 化 为 自 己 能 解 决 的 问 题 ， 这 是 解 决 问 题 常 用 的 策 略 。一 添辅助线有二种情况： 1 按定义添辅助线： 如 证 明 二 直 线 垂 直 可 延 长 使 它 们 ,相 交 后 证 交 角 为 90； 证 线
5、 段 倍 半 关系 可 倍 线 段 取 中 点 或 半 线 段 加 倍 ； 证 角 的 倍 半 关 系 也 可 类 似 添 辅 助 线 。2 按基本图形添辅助线： 每 个 几 何 定 理 都 有 与 它 相 对 应 的 几 何 图 形 ， 我 们 把 它 叫 做 基 本 图 形 ，添 辅 助 线 往 往 是 具 有 基 本 图 形 的 性 质 而 基 本 图 形 不 完 整 时 补 完 整 基 本 图 形 ，因 此 “添 线 ”应 该 叫 做 “补 图 ”！ 这 样 可 防 止 乱 添 线 ， 添 辅 助 线 也 有 规 律 可循 。 举 例 如 下 ： （1）平行线是个基本图形： 当 几 何
6、 中 出 现 平 行 线 时 添 辅 助 线 的 关 键 是 添 与 二 条 平 行 线 都 相 交 的 等 第三 条 直 线 （2）等腰三角形是个简单的基本图形： 当 几 何 问 题 中 出 现 一 点 发 出 的 二 条 相 等 线 段 时 往 往 要 补 完 整 等 腰 三 角 形 。出 现 角 平 分 线 与 平 行 线 组 合 时 可 延 长 平 行 线 与 角 的 二 边 相 交 得 等 腰 三 角 形 。 （3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形： 出 现 等 腰 三 角 形 底 边 上 的 中 点 添 底 边 上 的 中 线 ； 出 现 角 平 分 线 与 垂 线 组合
7、时 可 延 长 垂 线 与 角 的 二 边 相 交 得 等 腰 三 角 形 中 的 重 要 线 段 的基本图形。 （4）直角三角形斜边上中线基本图形 出 现 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 点 往 往 添 斜 边 上 的 中 线 。 出 现 线 段 倍 半 关 系且 倍 线 段 是 直 角 三 角 形 的 斜 边 则 要 添 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 得 直 角 三 角 形斜 边 上 中 线 基 本 图 形 。 （5）三角形中位线基本图形 几 何 问 题 中 出 现 多 个 中 点 时 往 往 添 加 三 角 形 中 位 线 基 本 图 形 进 行 证 明 当有 中
8、点 没 有 中 位 线 时 则 添 中 位 线 ， 当 有 中 位 线 三 角 形 不 完 整 时 则 需 补 完 整 三角 形 ； 当 出 现 线 段 倍 半 关 系 且 与 倍 线 段 有 公 共 端 点 的 线 段 带 一 个 中 点 则 可 过这 中 点 添 倍 线 段 的 平 行 线 得 三 角 形 中 位 线 基 本 图 形 ； 当 出 现 线 段 倍 半 关 系 且与 半 线 段 的 端 点 是 某 线 段 的 中 点 ， 则 可 过 带 中 点 线 段 的 端 点 添 半 线 段 的 平 行线 得 三 角 形 中 位 线 基 本 图 形 。 （6）全等三角形： 全 等 三 角
9、形 有 轴 对 称 形 ， 中 心 对 称 形 ， 旋 转 形 与 平 移 形 等 ； 如 果 出 现 两条 相 等 线 段 或 两 个 档 相 等 角 关 于 某 一 直 线 成 轴 对 称 就 可 以 添 加 轴 对 称 形 全 等三 角 形 ： 或 添 对 称 轴 ， 或 将 三 角 形 沿 对 称 轴 翻 转 。 当 几 何 问 题 中 出 现 一 组 或两 组 相 等 线 段 位 于 一 组 对 顶 角 两 边 且 成 一 直 线 时 可 添 加 中 心 对 称 形 全 等 三 角形 加 以 证 明 ， 添 加 方 法 是 将 四 个 端 点 两 两 连 结 或 过 二 端 点 添
10、平 行 线 （7）相似三角形： 相 似 三 角 形 有 平 行 线 型 （ 带 平 行 线 的 相 似 三 角 形 ） ， 相 交 线 型 ， 旋 转 型 ；当 出 现 相 比 线 段 重 叠 在 一 直 线 上 时 （ 中 点 可 看 成 比 为 1） 可 添 加 平 行 线 得平 行 线 型 相 似 三 角 形 。 若 平 行 线 过 端 点 添 则 可 以 分 点 或 另 一 端 点 的 线 段 为 平行 方 向 ， 这 类 题 目 中 往 往 有 多 种 浅 线 方 法 。 （8）特殊角直角三角形 当 出 现 30， 45， 60， 135， 150 度 特 殊 角 时 可 添 加 特
11、 殊 角 直 角 三 角 形 ，利 用 45 角 直 角 三 角 形 三 边 比 为 1： 1： 2； 30 度 角 直 角 三 角 形 三 边 比 为1： 2： 3 进 行 证 明 （9）半圆上的圆周角 出 现 直 径 与 半 圆 上 的 点 ， 添 90 度 的 圆 周 角 ； 出 现 90 度 的 圆 周 角 则 添它 所 对 弦 -直 径 ； 平 面 几 何 中 总 共 只 有 二 十 多 个 基 本 图 形 就 像 房 子 不 外 有 一砧 ， 瓦 ， 水 泥 ， 石 灰 ， 木 等 组 成 一 样 。二基本图形的辅助线的画法1.三角形问题添加辅助线方法 方法 1：有关三角形中线的题
12、目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。 方法 2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。 方法 3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。 方法 4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。 2.平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组
13、对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.3.梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将
14、梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：（1）在梯形内部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形内平移两腰（4）延长两腰（5）过梯形上底的两端点向下底作高（6）平移对角线（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。（9）作中位线当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。4.圆中常用辅助线的添法在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题
15、化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。（1）见弦作弦心距有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。（2）见直径作圆周角在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用“直径所对的圆周角是直角“ 这一特征来证明问题。（3）见切线作半径命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用“切线与半径垂直“ 这一性质来证明问题。（4）两圆相切作公切线对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。（5
16、）两圆相交作公共弦对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。作辅助线的方法一：中点、中位线，延线，平行线。如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。二：垂线、分角线，翻转全等连。如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转 180 度，得到全等形， ，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。三：边边若相等，旋转做实验。如遇条件中有
17、多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心 ”和“ 无心” 旋转两种。四:造角、平、相似，和、差、积、商见。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“ 造角、平、相似，和差积商见。”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）五：两圆若相交，连心公共弦。如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连
18、心线或公共弦。六：两圆相切、离，连心，公切线。如条件中出现两圆相切（外切，内切） ，或相离（内含、外离） ，那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。七：切线连直径，直角与半圆。如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。即切线与直径互为辅助线。如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。如遇平行线，则平行线间的距离
19、相等，距离为辅助线；反之，亦成立。如遇平行弦，则平行线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为辅助线，反之，亦成立。有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。九：面积找底高，多边变三边。如遇求面积， （在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积） ，往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补” 有二百多种，大多数为“ 面积找底高，多边变三边 ”。第二部分 常考题型解析三角形中作辅助线的常用方法举例一、在利用三角形三边关
20、系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例 1：已知如图 1-1：D、E 为ABC 内两点,求证:ABACBDDECE.证明：（法一）将 DE 两边延长分别交 AB、AC 于 M、N，在AMN 中，AMAN MDDENE;（1）在BDM 中，MBMDBD； （2）在CEN 中，CNNECE； （3）由（1）（2）（3）得：AMANMBMDCNNEMDDENEBDCEABACBDDEEC （法二：）如图 1-2， 延长 BD 交 AC 于 F，延长 CE 交 BF 于 G，在ABF 和GFC 和GDE 中有： ABCDENM1图 ABCDEFG21图
