1、2018 年高考理科数学浙江卷导数压轴题解析已知函数 .()lnfxx（I）若 在 ， 处导数相等，证明： ；1212()12()8lnfxf（II）若 ，证明：对任意 ，直线 与曲线 有唯一公共点.34la0kykb()x【题目分析】本题综合考察了函数的单调性、极值以及零点的分析。解决第（I）问中 取12()fxf值范围问题的关键在于建立 与 之间的关系将双变量转化为单变量，寻找该单变量的取值1x2范围，构造函数并根据函数的单调性以及定义域讨论其值域，难度不大。第（II）问重点考察函数零点的寻找， “零点存在性定理” 与“函数单调性”的结合是解决“唯一零点”这类问题的常规套路 “零点存在性定
2、理”解决有没有的问题， “函数单调性”解决可能有几个的问题。题目中需要构造 这样一个含有双参变量的函数，()lnhxxka参数 a 不会影响“ 函数单调性 ”，也就是意味着函数 的单调性比较好处理，难点在于“零()点存在性定理” 的运用， 是否存在大于 0 或者小于 0 的点是由参数 k 和 a 共同控制的，()hx对于这样一个既含有根号又含有对数的函数而言，处理起来比较棘手。当然考虑 在()hx及 处的极限很容易得出 存在零点的结论，但是需要强调的是求极限严格来0x()x讲不属于高中阶段内的知识点（虽然高中教材中有涉及） ，高考时得不得分存在很大争议，因此高考数学官方标准答案中都会带入“特殊
3、值” ，通过不等式的放缩来证明函数值是否存在大于( 小于 )0 的点，本题中官方标准答案中给出 以及 这样两个极(|)akme2(|1)nak其复杂的“特殊值 ”，让人望而生叹直呼好难想到。本解答过程另辟蹊径，给出了两个非常简单的范围来说明 的正负号问题将()hx分为 与 两部分，此时参数 k 和 a 分开(k 和 a 二者之间没有关系，相互()hxkxlna独立) ，逐一讨论范围之后再合并，从而确定 的正负号。)hx【题目解答】（I） ， ；令2111()=()()2462fxxx0x12()fxfm，则 和 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的正数根，1012t2tm从而 1212121
4、206+=+=56mxxx；121211212()lnlnxfxfx令 ，则 ， 在 上单调递减，在 上tlng 4()4tgt ()gt06)， (16,)单调递增，所以当 时， ，即 ，得1256x12)(568ln2x12()8lnfxf证.（II）直线 与曲线 有唯一公共点等价于函数 有唯一零点；ykb()f ()lnhka(a) 零点的存在性证明：当 时 ，当 时 ，所以当 时，21(0,)xk0xk(,)axeln0x21(0,min,)axek；当 时 ，当 时 ，因()=lnha21+， k(+)ae， l此当 时， ；根据零点存在性定理可知函数21mx(,)ek()=ln0h
5、xxa在区间 至少存在一个零点，从而 在 至少存在一个()h221in,a,aek ()hx0,)零点.(b) 零点的唯一性证明：；211()=()462hxkkx若 ，则 恒成立， 单调递减，此时 在 最多只有一个零点；6k)0h(h()hx0,)若 ， 有两个不相等正根 和 （设 ）且易知10(=x 3x434，从而 在 上单调递减， 上单调递增， 上单调342x()h30,)34(,)x4(,)x递减。由 得：()0h，31=2kx16从而 ；结合（I）333333()lnln()ln12xhxxkaxaa 中函数 的单调性可知： ，即 ，所以当()gt 3l24l3()4l0h时函数 ，结合 的单调性可知 在 内无零点，在40,x3()0hx()hxx(,)最多一个零点；此时 在 亦最多只有一个零点.()(),综上，当 且 时函数 有唯一零点，即直线0k4ln2a()lnka与曲线 有唯一公共点.yxb()fx
