1、 - 0 -2018 高考一轮复习函数知识点及题型归纳一、函数的及其表示题型一：函数的概念映射的概念：设 ， 是两个集合，如果按照某种对应法则 ，对于集合 中的每一个元素在集合ABfA中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应叫做从集合 到集合 的映射，记作 ： B BfB函数的概念：如果 、 都是非空的数集，那么 到 的映射 ： 就叫做 到 的函数，记Af作 ,其中 x ,y ，原象的集合 叫做定义域，象的集合 叫做函数 的值域()yfABC()yfx映射的基本条件：1. 可以多个 x 对应一个 y，但不可一个 x 对应多个 y。2. 每个 x 必定有 y 与之对应，但反过来，有的 y 没
2、有 x 与之对应。函数是一种特殊的映射，必须是数集和数集之间的对应。例 1：已知集合 P= ，Q= ，下列不表示从 P 到 Q 的映射是（ ）4020A. fxy= x B. fxy= C. fxy= D. fxy=2x3132x例 2：设 M x2x 2 ，Ny0y 2 ，函数 f（x）的定义域为 M，值域为 N，则 f（x）的图象可以是（ ）例 3：下列各组函数中，函数 与 表示同一函数的是 )(xfg（1） ， ； （2） 3 1， 3 1；)(xf)(g)(fx)(tg（3） ， 1； （4） ， ；0 22x题型二：函数的表达式1. 解析式法例 4：已知函数 .32,04tan,2x
3、f f则真题：【2017 年山东卷第 9 题】设 ,若 ,则,01xf1faffa- 1 -（A）2 （B） 4 （C ） 6 （D） 82014江西卷 已知函数 f(x) (aR )若 ff(1)1，则 a( )a2x，x 0，2 x，x0 )A. B. C 1 D214 12【2015 高考新课标 1 文 10】 已知函数 ，且 ，则 （ 12,()log()1xf()3f(6)fa）（A） （B ） （C） （D ）74543442. 图象法例 5：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 s看作时间 t的函数，其图像可能是 _例 6：向高为 H
4、的水瓶中注水，注满为止.如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图象如图 24 所示，那么水瓶的形状是（ ）例 7：如图，半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线 ， 之间， / ， 与半圆相交于 F,G1l2l1l两点，与三角形 ABC 两边相交于 E,D 两点.设弧 FG 的长为 x(0x),y=EB+BC+CD，若 从 平行移动到1，则函数 y=f(x)的图像大致是 ( )2l真题：【2015 高考北京】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是stOAstOstOstOB C D
5、- 2 -A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油D某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【20 15 年新课标 2 文科】如图,长方形的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,记OPx,将动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f ,则的图像大致为（ ）A B C D3.表格法例 8：已知函数 ()fx， g分别由下表给出x 1 2 3 x 1 2 3f(x) 1 3
6、 1 g(x) 3 2 1则 g的值为 ；满足 ff的 的值是 题型三：求函数的解析式.1. 换元法例 9：已知 1)(xf，则函数 )(xf= 变式 1：已知 ，则 = 223- 3 -变式 2：已知 f（x 6）log 2x，那么 f（8）等于 2.待定系数法例 10：已知二次函数 (x)满足条件 (0)=1 及 (x+1)- (x)=2x。则 (x)的解析式_fffff3.构造方程法例 11：已知 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且 f(x)+g(x)= 1x,则 f(x)= 变式：已知 ，则 f(x)= 122xfxf4.凑配法例 12：若 2)1(f，则函数 )(xf=_.5.对
7、称问题求解析式例 13：已知奇函数 ，则当 时，f(x)= 0,xf 真题：【2013 安徽卷文 14】定义在 上的函数 满足 .若当 时。R()fx(1)2(ffx01x，则当 时， = .()1)fx1f变式：已知 f(x)是奇函数，且 ，当 时， ，则当 时，xf23,log2f 2,= f【2017 年新课标 II 第 14 题】已知函数 是定义在 R 上的奇函数，当 x 时，f -， 0,32fxx则 2=f二函数的定义域题型一：求函数定义域问题1.求有函数解析式的定义域问题例 14：求函数 的定义域.yx2log32016)(真题：【2015 高考湖北文 6】 函数 的定义域为（
8、）256()4|lg3xfxA B C D(2,3),(,),4(1,3)(,6（2016 年江苏省高考）函数 y= 23x-的定义域是 .2.求抽象函数的定义域问题例 15：若函数 的定义域是1，4，则 的定义域是 y)(xf y)1(xf例 16：若函数 的定义域是1，2，则 的定义域是 132真题：已知 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）)(f)2,|)(xf- 4 -A B C D)2,11,)2,()2,题型二：已知函数定义域的求解问题例 17：如果函数 的定义域为 R，则实数 k 的取值范围是 .34(2kxxf变式：已知函数 1m的值域是 0,)，则实数 m的取值范围是_三函数的
9、值域1.二次函数类型（图象法）:例 18：函数 ， 的值域为 23yx4,x换元后可化为二次函数型：例 19：求函数 的值域为 1真题：【2017 年浙江卷第 5 题】若函数 在区间0,1上的最大值是 M,最小值2fx=axb是 m,则 M-mA. 与 a 有关，且与 b 有关 B. 与 a 有关，但与 b 无关 C. 与 a 无关，且与 b 无关 D. 与 a 无关，但与 b 有关2.单调性法例 20：求函数 的最大值和最小值。51)(xf4,3.复合函数法例 21：求函数 的最大值和最小值。3241f ,2x真题：求函数 的范围。log4.函数有界性法例 22：函数 的值域为 21)(xf
10、5.判别式法例 23：函数 的值域为 3)(2f6.不等式法求最值（不等式部分讲解）例 24：函数 = 的最大值是 xf)1(x7.导数法求函数的极值及最值（详见导数专题）真题：【2014 上海文，7】设 ()gx是定义在 R上、以 1 为周期的函数，若 ()()fxg在 0,1上的值域为2,5，则 ()f在区间 0,3上的值域为 【2012 高三一模虹口区 13】已知函数 ，对于任意的 都能找到16)(,2)(2xgaxf ,1x，则实数 的取值范围是 )(,1122 xfgx使 得- 5 -（2016 年全国 II 卷高考）下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y=10lgx的定义域和值域
11、相同的是（ ）（A） y=x （B） y=lgx （C） y=2x （D） 1yx四函数的奇偶性定义：若 ，或者 ，则称 为奇函数。ff0ff f若 ，则称 为偶函数。xx有奇偶性的前提条件：定义域必须关于原点对称。xf结论：常见的偶函数： ， ， ， 等等。nf2fxfcosxaf常见的奇函数： ， ， ， ， ，1xkxksinxaf， ， ， 等等。21xafxaf1lgxfafa1log2结论：奇+奇=奇 偶+偶=偶 奇+偶=非奇非偶奇*奇=偶 偶*偶=偶 奇*偶=奇 偶+常数=偶 奇+常数=非奇非偶因为 为奇函数， 为偶函数，所以可以把奇函数看作是“负号” ，把偶函数看xff xff
12、作是“正号” ，则有助于记忆。题型一：判断函数的奇偶性：1.图像法.例 25：画出函数 的图象并判断函数 的奇偶性 ()5fx()fx2定义法：例 26：判断函数 的奇偶性 1123结论法例 27：判断函数 的奇偶性 201()fxx题型二：已知函数奇偶性的求解问题例 28：已知函数 为定义在 上的奇函数，且当 时 ，求 的解析fyR0x32)(xf )(xf式 例 29：已知 是定义域为 的偶函数，当 时， ，那么，不等式 的()fx 24f 25解集是_例 30：已知定义域为 R 的函数 abxfx12)(是奇函数.则 a .b 真题：【2013 辽宁文，6】6若函数 fx为奇函数，则 a
13、 【2015，新课标】若函数 f(x)xln (x )为偶函数，则 a 2a- 6 -【2015 高考山东文 8】若函数 是奇函数，则使 成立的 的取值范围为 21()xfa3fx（ ） x（2016 年天津高考）已知 f是定义在 R上的偶函数，且在区间 )0,(上单调递增，若实数 a满足)2()2(|1ffa，则 的取值范围是（ ）（A） ,（B） ),23()1,( （C） )23,1( （D） ),23(【2017 年山东卷第 14 题】已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+4)=f(x-2).若当 时, ,0(6xf则 f(919)= .【2017 年天津卷第 6 题】已
14、知奇函数 在 上是增函数.若()f，则 的大小关系为0.8221(log),(log4.1),5afbfc,abc（A） （B） （C） （D）ca【2017 年北京卷第 5 题】已知函数 ，则1()3()xf()fx（A）是偶函数，且在 R 上是增函数 （B ）是奇函数，且在 R 上是增函数（C ）是偶函数，且在 R 上是减函数 （D）是奇函数，且在 R 上是增函数题型三： ，其中 为奇函数， 为常数，则：cxgfxgccaff2例 31：已知 都是奇函数，且 在 的最大值是 8，则 在(),()()2fx1,3x()fx的最 值是 3,1x真题：【2012 高考新课标文 16】设函数 的最
15、大值为 M，最小值为 m，则 M+m=_ sin12xf【2011 广东文 12】设函数 3()cosfx若 ()fa，则 ()fa 【2013 重庆高考文科 9】已知函数 3sin4,bxR， 2(lgo10)5f，则(lg2)fA. 5 B. 1 C.3 D.【2013 高考文 7】已知函数 ，则 （ ）2()ln19)1fxx1(lg2)(l)ff.1.0.ABCD题型四：利用奇偶性和周期性求函数值的问题例 32：设 ()fx是定义在 R上的奇函数，当 x时， ()fx，则 ()f( )- 7 -例 33：设 fx是周期为 2的奇函数，当 01x时， 21fx，则 5()2f 真题：（2
16、016 年四川高考）若函数 f（x）是定义 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0x1 时，f（x）= 4，则f（ 5-） +f（2 ）= 。（2016 年山东高考）已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x0 时，f( x)=x3-1；当-1 x1 时，f(- x)= f(x)；当 x 12时，f( x+ )=f(x 12).则 f(6)=（A）-2 （B）-1（C）0 （D）2（2016 年江苏省高考）设 f（ x）是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 1,1)上，,10,()25xaf其中 .a 若 59()(ff ，则 (5)fa的值是 .【2017 年山东卷第 14 题】已知 f
17、(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+4)=f(x-2).若当 时, ,30()6xf则 f(919)= .五函数的单调性定义：如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 ,当 x1x2 时都有 f(x1)f(x2).21x，那么就说 f(x)在 这个区间上是增函数。如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2，当x1x2 时都有 f(x1)f(x2).那么就是 f(x)在这个区间上是减函数。定义变形：若对任意 ，则 为单调递减函数0,2121 xffx都 有 xf题型一：判断函数的单调性 1.图像法.例 34：画出函数 的图像并判断函数的单调性 .xf2例 3
18、5：画出函数 的单调递增区间为_.2.定义法：证明方法步骤：1.设值 2.作差（作商） 3.化简 4.定号 5.结论例 36：判断函数 xy4在在 2,0上的单调性 3.结论法复合函数的单调性：同增异减例 37：写出函数 的单调递增区间 )3(log)(21xf4.导数法例 38：函数 的单调区间 ln)(xf- 8 -真题：【2011 重庆理，5】下列区间中，函数 ()ln2)fx在其上为增函数的是( )A (,1 B 41,3 C 30, D 1,2)【2009 浙江文】若函数 2()()afxR，则下列结论正确的是（ ）A aR， 在 0,上是增函数 B aR， ()fx在 0,)上是减
19、函数C ， ()f是偶函数 D ， 是奇函数【2015 高考四川，文 15】已知函数 f(x)2 x，g(x )x 2ax( 其中 aR).对于不相等的实数 x1，x 2，设 m，n ，现有如下命题：12()fxf12(g 于任意不相等的实数 x1， x2，都有 m0； 对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1，x 2，都有n0；对于任意的 a，存在不相等的实数 x1，x 2，使得 mn； 对于任意的 a，存在不相等的实数 x1，x 2，使得 mn. 其中真命题有_(写出所有真命题的序号).题型二：已知函数单调性求参数范围的问题例 39：设定义在 上的偶函数 在区间 上单调递减，若 ，求实数
20、的取值2,xf,0mff1范围_.例 40：已知函数 是定义在 R 上的偶函数, 且在区间 单调递增. 若实数 a 满足()fx 0,), 则 a 的取值范围是（ ）212(log)l(fafA. B. C. D. ,0,1,2(0,2真题：【2012 大同调研】已知定义域为 的函数 在 上为减函数，且函数 为偶函数，则：Rxf,88xfy（ ）A B. C. D.76f96f97f107f【2012 山西】设函数 ，若 时， 恒成立，则实数 的取值3x20cosmm范围为_.【2015 新课标 2 文】设函数 21()ln|)fx,则使得 ()21)fx成立的 x的取值范围是（ ）A 1,3
21、 B 1,3 C ,3 D ,3- 9 -题型三：分段函数的单调性问题：【2013 惠州调研】已知函数 ，若 在 上单调递增，则实数 的取值1,22xaxf xf,0a范围为_.【2013 山西四校联考】已知函数 满足对任意的实数2,fx成立，则实数 的取值范围为_.0,2121 xffx都 有 a六：函数的周期性1.定义：周期函数：对于 定义域内的每一个 ，都存在非零常数 ，使得 恒成立，则()fxxT()(fxTf称函数 具有周期性， 叫做 的一个周期，则 （ ）也是 的周期，所有周期中的()fxTf kT,0Zkf最小正数叫 的最小正周期f2几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数
22、 满足对定义域内任一实数 （其中 为常数） ，yfxxa(1) ，则 是以 为周期的周期函数；ayfT(2) ，则 是以 为周期的周期函数；fxfxf2a(3) ，则 是以 为周期的周期函数；1faffxT(4) ，则 是以 为周期的周期函数；fxfbfba以上（1）-（4）比较常见，其余几种题目中出现频率不如前四种高，并且经常以数形结合的方式求解。（可以类比三角函数的图像进行求解）(5)函数 满足 （ ） ，若 为奇函数，则其周期为 ，若 为偶函()yfx()()faxf0a()fx4Ta()fx数，则其周期为 2T(6)函数 的图象关于直线 和 都对称，则函数 是以 为周期的()yfxRxb()fx2b周期函数；(7)函数 的图象关于两点 、 都对称，则函数 是以 为周期()yfx,0Aa,Ba()fxa的周期函数；
