1、饶平二中 2010 年高三数学第一轮复习资料 不等式不等式 第 1 页(共 8 页)二元一次不等式组与简单的线性规划问题一、知识归纳:1二元一次不等式表示的平面区域：二元一次不等式 在平面直角坐标系中表示直线 某一侧0CByAx 0CByAx所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）.对于在直线 同一侧的所有点 ，实数 的符号相同，所),(yx以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0，y 0)，从 的正负即可判断A0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当 C0 时，常把原点作为此特殊点）0CByA2线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.满
2、足线性约束条件的解 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。分别),(yx使目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解。3线性规划问题应用题的求解步骤：（1）先设出决策变量，找出约束条件和线性目标函数；（2）作出相应的图象（注意特殊点与边界）（3）利用图象，在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数达到最大（小）值； 二、例题分析：例 1画出不等式 表示的平面区域.062yx点 在直线 的上方,则 的取值范围是_.),(t3t 画出不等式组 表示的平面区域。并求出平面区域的面积。305xy例 2设 满足约束条件： ，分别求下列目标函数的的最大值与最小值：yx,12534xy（1） ；
3、 （2） ； （3） ； （4）z106z2xy1xy饶平二中 2010 年高三数学第一轮复习资料 不等式不等式 第 2 页(共 8 页)例 3某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨，B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨，B 原料 3 吨，销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元。该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原料不超过 18 吨.求该企业可获得最大利润。三、练习题：1不等式 表示的平面区域是02yxA B C D2满足不等式 的点 的集合（用阴影表示）是02xy),(yxA B C D3已知点
4、 的坐标满足条件 ，点 为坐标原点，那么 的最小值等于(,)Pxy41xyO|PO_,最大值等于_.4如果实数 满足条件 ，那么 的最大值为xy、 01xyxy饶平二中 2010 年高三数学第一轮复习资料 不等式不等式 第 3 页(共 8 页)A B C D21235.已知点 P（x，y）在不等式组 表示的平面区域上运动，则 的取值02,yx zxy范围是 A2，1 B2，1 C1，2 D1 ，26已知满足约束条件 305xy，则 yxz42的最小值是A5 B6 C10 D107在平面直角坐标系中，不等式组 表示的平面区域的面积是 2,0xyA4 B4 C2 D228. 已知函数 的定义域为
5、，部分对应值如下表，fx,为 的导函数，函数 的图像如图所示若两正数 满足ff yfx,ab，则 的取值范围是21ab3aA B C D64,77,526,351,39点 到直线 的距离为 ，且 在 表示的区域内，则),(aP0yxP0yx_ 10.若 为不等式组 表示的平面区域，则当 从2 连续变化到 1 时，动直线A2yxa扫过 中的那部分区域的面积为 xyax-2 0 4f1 -1 1饶平二中 2010 年高三数学第一轮复习资料 不等式不等式 第 4 页(共 8 页)11设变量 、 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为_xy632xyyxz212设 x，y 满足约束条件 0,yx ，若
6、目标函数 的是最大值为 12，则 23ab的最小值为_()zab13某厂生产 A 与 B 两种产品，每公斤的产值分别为 600 元与 400 元.又知每生产 1 公斤 A产品需要电力 2 千瓦、煤 4 吨；而生产 1 公斤 B 产品需要电力 3 千瓦、煤 2 吨.但该厂的电力供应不得超过 100 千瓦，煤最多只有 120 吨.问如何安排生产计划以取得最大产值?14某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资是由每份金融投资 20 万元，房地产投资30 万元组成；进取型组合投资是由每份金融投资 40 万元，房地产投资 30 万元组成。已知每份稳健型组合投资每年可获利 10 万元，每份进取型组合投资
7、每年可获利 15 万元。若可作投资用的资金中，金融投资不超过 160 万元，房地产投资不超过 180 万元，那么这两种组合投资应注入多少份，才能使一年获利总额最多？15某公司计划 2009 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广告总费用不超过 9 万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为 50元/分钟和 200 元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？饶平二中 2010 年高三数学第一轮复习资料 不等式不等式 第 5 页
8、(共 8 页)二元一次不等式组与简单的线性规划问题参考答案三、例题分析：例 1画出不等式 2 +y-6 0 表示的平面区域.x解：先画直线 2 +y-6=0（画成虚线）.取原点（0，0） ，代入 2 +y-6,20+0-6=-60,原点在 2 +y-60 表示的平面区域内，不等式 2 +y-60 表示的区域如图：x点(-2,t) 在直线 2x-3y+6=0 的上方 ,则 t 的取值范围是_(t2/3)_.画出不等式组 表示的平面区域.35x解：不等式 -y+50 表示直线 -y+5=0 上及右下方的点的集x合， +y0 表示直线 x+y=0 上及右上方的点的集合，x3 表示直x线 x=3 上及
9、左方的点的集合.不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域:例 2设 满足约束条件： ，yx,12534xy分别求（1） ；（2） ；（3） ；（4） 的最yz06z2xy1xy大值与最小值。解：（1）先作可行域，如下图所示中 的区域，且ABC求得 、 、)2,5(A1,(B)5,C作出直线 ，再将直线 平移，当 的平行06:0yxl 0l0l线 过点 B 时，可使 达到最小值；当 的平1z行线 过点 A 时，可使 达到最大值。2l yx16故 ，06minz 502maz（2）同上，作出直线 ，再将直线 平移，当 的平行线 过点 C 时，可使02:yxl l0l1lB(-52,52)C(3,-
10、3)A(3,8)x=3x+y=0x-y+5=0 063 xy饶平二中 2010 年高三数学第一轮复习资料 不等式不等式 第 6 页(共 8 页)达到最小值；当 的平行线 过点 A 时，可使 达到最大值。yxz20l2l yxz2则 ，51min8maxz（3） 表示区域内的点 到原点的距离。则 落在点 时， 最小， 落),(y),(yx)1,(B),(yx在点 时， 最大，故 ，)2,(Amin2ma5429（4） 表示区域内的点 与点 连线的斜率。则 落在点 时， 最),(yx)0,1(D),(yx),5(A小， 落在点 时， 最大，故 ，),(yx51C31mina例 3某企业生产甲、乙两
11、种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨，B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨，B 原料 3 吨，销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元。该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原料不超过 18 吨.求该企业可获得最大利润。例 3解析 设生产甲产品 x吨，生产乙产品 y吨，则有关系：A 原料 B 原料甲产品 吨 3 2 x乙产品 y吨 3则有： 18320yx，目标函数 yxz5作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：当 3， 4 时可获得最大利润为 27 万元。四、练习题：1D2B3_ _,_ _. 4 B
12、5. 210C6B 7B 8B 9 _16_；10 _ _； 11 _3_ 12 _a525_解析：12不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线x 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 （3，4）（0，6）O （ ，01）yx913饶平二中 2010 年高三数学第一轮复习资料 不等式不等式 第 7 页(共 8 页)ax+by= z（a0，b0）过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点（4,6）时,目标函数z=ax+by（a0 ，b0）取得最大 12, 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6, 而 23ab= 2311325()()66ab
13、ab13某厂生产 A 与 B 两种产品，每公斤的产值分别为 600 元与 400 元.又知每生产 1 公斤 A产品需要电力 2 千瓦、煤 4 吨；而生产 1 公斤 B 产品需要电力 3 千瓦、煤 2 吨.但该厂的电力供应不得超过 100 千瓦，煤最多只有 120 吨.问如何安排生产计划以取得最大产值?13解:设生产 A 与 B 两种产品分别为 x 公斤，y 公斤，总产值为 Z 元。则 0,143yx且 yxz406作可行域：作直线 l：600x +400y=0，即直线 l：3x+2y=0,把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时，直线经过可行域上的点 A，且与原点距离最大，此时 z=600x
14、+400y 取最大值.解方程组,得 A 的坐标为 x=20，y=20 新 疆学 案王 新 敞6023答：生产 A 产品 20 公斤、B 产品 20 公斤才能才能使产值最大。14某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资是由每份金融投资 20 万元，房地产投资30 万元组成；进取型组合投资是由每份金融投资 40 万元，房地产投资 30 万元组成。已知每份稳健型组合投资每年可获利 10 万元，每份进取型组合投资每年可获利 15 万元。若可作投资用的资金中，金融投资不超过 160 万元，房地产投资不超过 180 万元，那么这两种组合投资应注入多少份，才能使一年获利总额最多？14解：设稳健型投资 份，
15、进取型投资 份，利润总额为 （10 万元） ，xyz则目标函数为 （10 万元） ，)5.1(z线性约束条件为： ，即0,83642yx0,682yx作出可行域（图略） ，解方程组 ，得交点饶平二中 2010 年高三数学第一轮复习资料 不等式不等式 第 8 页(共 8 页)2,4(M作直线 ，平移 ，当 过点 M 时， 取最大值： 万元05.1yxlz10)34(maxz=70 万元。15某公司计划 2009 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广告总费用不超过 9 万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为 50元/分钟和 200 元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的
16、每分钟广告，能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？15解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x分钟和 y分钟，总收益为 z元，由题意得 或即50290xy5290xy目标函数为 3z 线性约束条件为 5290.xy ， ， ， 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域如图：作直线 :30lxy，即 320xy平移直线 ，从图中可知，当直线 l过 M点时，目标函数取 得最大值联立 5290.xy， 解得 102xy， 点 M的坐标为 ()， max370zy（元）答：该公司在甲电视台做 100 分钟广告，在乙电视台做 200 分钟广告，公司的收益最大，最大收益是 70 万元0 100 200300100200300400500yxl M
