1、1圆一、 基础知识（一） 基本概念1. 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹(集合)叫做圆,定点叫做圆的圆心,定长叫做圆的半径.2. 曲线 上任意一点 的坐标 都是某个变量CP(,)xy的函数,即 ,且对于 的每一个允许值,t()xftygt由方程组 所确定的点 都在曲线()t(,)xy上 曲线 的参数方程是 ,或参数方C()ftg程 的曲线是 .记作曲线(),xftygC.,:()t为 参 数（二） 圆的方程1 标准方程 圆心为 ,半径为 的圆方程为1()Oabr.22()()xayr2 一般方程(1)令 , , ,则DEb22Far可化为22()()xayr2.2 0xyDEyF 当 时,
2、方程24不表示任何曲线.2 当 时,方程20的曲线是一个点2xyDEyF.1(,)O 当 时,方程240表示以 为xyDEyF1(,)2DEO圆心, 为半径的圆.此时,方程2叫做圆的一般方程.2 0xyy(2)关于 的二元二次方程,的曲线是圆22ABCDxEF20,4.3 参数方程(1)令 ,由 ,可得cosxar22()()xaybr,于是 .inybcosinr， 为 参 数3(2)以 为圆心, 为半径的圆的参数方程是1()Oabr.cos()inxry为 参 数（三） 根据圆的方程研究圆的性质1 单个圆自身的性质(1)范围: 由 ,得 ,22()()xaybr|xar.|ybr(2)对称
3、性 圆心 是圆 的中心.1O:22()()xaybr 过圆心 的任意直线都是圆 1:O的对称轴.22()()xaybr2 点与圆的位置关系(1)判定 点 在圆0(,)Pxy上1:O2 0DEF.00y 点 在圆(,)xy内1:2.000DEyF 点 在圆(,)Pxy4外1:O2 0xyDEyF.00(2)性质 若点 在圆0(,)Pxy1:O上,则过点 与圆 相2 0DEFP1O切的直线方程是.0002xyxy 若点 在圆 上,则0(,)P1:O22()()abr过点 与圆 相切的直线方程是1.200()()xaybr 若点 在圆,1:内,则(a)过 和 的2yDEFP1O弦最长;(b)垂直 的
4、弦最短.1PO 若点 在圆0(,)x:外,过 作直线 交圆2 0yy1l于 两点,作直线 与 分别与圆 相切于1AB、2l3O点 和 ,则(a)TQ; (b)200|PxyDEyF; (c)直线 的方程为| TQ5.200()()xaybr3 直线与圆的位置关系(1)判定 直线 与圆:0lAxByC1:O相离22()()abr.2|d 直线 与圆:0lAxByC1:相切22()()abr.2|d 直线 与圆:0lAxByC1:O相交22()()abr.2|d(2)性质 若直线 与圆:0lAxByC1:O相离, 是 上的点, 是圆22()()abrPlQ上的点,则 .1Omin|Q2|abr 若
5、直线 与圆:0lAxByC1:6相交于 、 两点, 是22()()xaybrPQM的中点,则(a) ;(b)PQ1O1|;(c) .2|ABC22|r4 圆与圆的位置关系(1)判定 圆 与圆1:O2211()()xaybr2:O相外离 .2 12|r 圆 与圆1:2211()()r2:相外切 .2xayb12|r 圆 与圆1:O2211()()r2:O相交2.1122|rr 圆 与圆:1()()xaybr2:内切 .2211|O 圆 与圆1:O211()()r2:内含 .22xayb11|(2)性质若圆 与圆1:2110DxEyF2:O相交于 、 两点,则22xyPQ7 ;直线 的方程为12P
6、QOPQ;经过 、212()()()0DxEyFP两点的任意圆 (除圆 )的方2 21122)0yxDEyF程都可表示为. 共弦圆系（四） 基本方法(1)将参数方程化为普通方程 求函数 值域 和函数 的值域 ;()xft1R()ygt2R 从 中消去参数 得普通方程ygtt.12(,)0(,)Fy(2)求圆的方程 待定系数法 定义法(3)直线与圆相交 先设出交点的坐标 、 和 的1(,)Pxy2(,)QyP中点 ,0()Mxy 用点到直线的距离公式求出圆心 到直线的(,)Cab距离 ,d 用垂径定理( )来解决有关的问题.特别CPQ地有弦长公式 .2|2|Mrd8二、 基本例题例 1 (1)圆
7、 的圆心为22:()(3)4Cxy,半径 .(_,_r(2)圆 的圆心为2:10,半径 .(,)r(3)圆 的圆心为cos:()2in1xCy为 参 数,半径 .(_,_)r(4)曲线 的普通方程cs:()iayb为 参 数为 .(5)曲线 的普通方程cos:()inxrCy为 参 数为 .(6)曲线 的普通方程为 .cos:(,0)2inxarCybA(7)曲线 的s:(,)irA普通方程为 .9(8)曲线 的2cos:(,0)inxarCybA普通方程为 .(9)曲线 的普cos:(,0)ixamnybA通方程为 .(10)曲线 的普通方程为 .|cosin|2:(,)1()xCRyA(1
8、1)曲线 2cos()cos2: (,)363inxaaCyA的普通方程为 .(12)曲线 的普通方2cos:()xyA程为 .(13)曲线 的普通方程2:()xtCty为 参 数为 .10(14)曲线 的普通方程221:()txCyt为 参 数为 .(15)曲线 的普通方1()2:)axtCbyt为 参 数程为 .例 2 求圆的方程：（ 1） 截 轴所得弦长为 ,被 轴分成两段圆弧长y2x的比为 ,且圆心到直线 的距离最3:0ly小的圆的方程为 .（ 2） 若过点 和 ,且与 轴相切的圆(0,1)A(4)Bmx有且仅有一个,则 ,此时圆的方程为 .（ 3） 与 轴相切,圆心在直线 上,且被直y30y线 所截得的弦长为 的圆的方程为 .x27
