1、1数学 （八年级上册）知识点总结第一章 实数一、实数的概念及分类 1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如 等；32,7（2）有特定意义的数，如圆周率 ，或化简后含有 的数，如 +8 等；3（3）有特定结构的数，如 0.1010010001等；（4）某些三角函数值，如 sin60o等二、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x 就
2、叫做 a 的算术平方根。特别地，0 的算术平方根是 0。表示方法：记作“ ”，读作根号 a。a性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。2、平方根：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根（或二次方根） 。表示方法：正数 a 的平方根记做“ ”，读作“正、负根号 a”。性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。0a注意: 的双重非负性：03、立方根一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3=a 那么这个数 x 就叫做 a 的立方根（或三次方
3、根） 。2表示方法：记作 3a性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意： ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。33三、二次根式计算1、含有二次根号“ ”；被开方数 a 必须是非负数。2、性质：（1） )0()(2a)(（2） 2)0(a（3） （ ）,bab )0,(bab（4） （ ）)0,(,3、化简二次根式：把二次根式被开方数的完全平方因式移到根号外。例：。(字母因式由根号内移到根号外时，必须考虑字母因式隐含的符218号）4、最简二次根式：化简后的二次根式需同时符合以下两个条件：被开方数中各因式的指数都为 1；被开方数不含分母。这样的二次根式叫
4、做最简二次根式。将一个二次根式化成最简二次根式，有以下两种情况：如果被开方数是分式或分数（包括小数） ，先利用商的自述平方根的性质把它写成分式的形式，然后再分母有理化；如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解质因数，然后把能开方的因式或因数开出来，从而将式子化简。化二次根式为最简二次根式的步骤：把被开方数分解质因数，化为积的形式；把根号内能开方的的因数移到根号外；化去根号内的分母，若被开方数的因数中有带分数要化成假分数，小数化成分数。5、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式。例： 、 、 。 （判断是不是同类二次根式：首1821
5、先，要看它们是不是最简二次根式；其次，看这些最简二次根式的被开方数是否相同）6、二次根式的加法、减法：化简，化成最简二次根式；合并同类二次根（即将被开方数相同的二次根式的系数进行合并）7、二次根式的乘法、除法：先完成根号内乘除，再化简二次根式；小数化分数，3带分数化假分数；字母需考虑取值范围（不要忽视隐含条件） 。8、分母有理化：把分子和分母都乘以一个适当的代数式，使分母不含根号，这种计算叫做分母有理化。第二章 一元二次方程1、定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数是二次的整式方程。2、一般式： )0(2acbXa3、一元二次方程的解法：1、开平方法：一般来说，形如 、 的一元二次方程可以用
6、开平d2 )0(2acX方法。 （三种情况：有两个不相等的实数根，等于 0,没有实数根）2、因式分解法：提取公因式、公式法（平方差、完全平方公式） 、十字相乘法、分组分解法。3、配方法：移常数项；化二次项系数为 1；配方，在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方；用开平方法求解；结论。4、公式法：先把方程化为一般形式；写出方程各项的系数 a、b、c 的值（要注意它们的符号） ；计算 ；当 时，将 a、b、c 的值代入求根公式，求出方acb42042acb程的两个根；当 0y0 x 图像经过一、二、三象限，y 随 x 的增大而增大。k0b0y0 x图像经过一、二、四象限，y 随 x 的增大而
7、减小K0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；（2）当 k0 时，y 随 x 的增大而增大（2）当 k0 时，y 随 x 的增大而减小6、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式 （k 0）中的常数 k。确xy定一个一次函数，需要确定一次函数定义式 （k 0）中的常数 k 和 b。解这类bxy问题的一般方法是待定系数法。待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法。(1) 一次函数与一元一次方程：从“数”的角度看 x 为何值时函数 y= ax+b 的值为 0。(2) 求 ax+b=0(a, b
8、是常数，a0)的解，从“ 形”的角度看，求直线 y= ax+b 与 x 轴交点的横坐标。(3) 一次函数与一元一次不等式：解不等式 ax+b0(a，b 是常数，a0) 。从“数” 的角度看，x 为何值时函数 y= ax+b 的值大于 0。 (4)解不等式 ax+b0(a ，b 是常数，a0)。 从“ 形”的角度看，求直线 y= ax+b 在 x 轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围。7、一次函数与一元一次方程的关系：任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b 为常数，k0）的形式 而一次函数解析式形式正是 y=kx+b（k、b 为常数，k0） 当函数值为 0 时，即 kx+
9、b=0 就与一元一次方程完全相同结论：由于任何一元一次方程都可转化为 kx+b=0（k、b 为常数，k0）的形式所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为 0 时，求相应的自变量的值从图象上看，这相当于已知直线 y=kx+b 确定它与 x 轴交点的横坐标值7、反比例函数定义：一般地，形如 （ 为常数， ）的函数称为反比例函数。xkyok还可以写成xky1反比例函数解析式的特征：等号左边是函数 ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数 （也叫y k做比例系数 ） ，分母中含有自变量 ，且指数为 1.kx7比例系数 0k自变量 的取值为一切非零实数。x函数 的取值是一切非零实数。y反比例函数的图
10、像图像的画法：描点法 列表（应以 O 为中心，沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） 描点（有小到大的顺序） 连线（从左到右光滑的曲线）反比例函数的图像是双曲线， （ 为常数， ）中自变量 ，xky0k0x函数值 ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐0y渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是 或 ） 。xy反比例函数 （ ）中比例系数 的几何意义是：过双曲线 xkykxky（ ）上任意引 轴 轴的垂线，所得矩形面积为 。0k k反比例函数性质如下表：的取值 图像所在象限 函数的增减性ok一、三象限 在每个象限内， 值随 的增大而减小
11、yx二、四象限 在每个象限内， 值随 的增大而增大反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出 ）k“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数 中的两个变量必成反比例关系。xy第四章 几何证明一、几何证明中常用的证明方法：1、证明两直线平行利用平行线的性质和判定，利用平行线的判断定理及其推论来证明，这是证明两直线平行最基本的方法，关键是找出同位角、内错角的相等关系或同旁内角的互补关系。 2、证明两线段相等利用三角形全等的性质和判定、利用等腰三角形的性质和判定 （ 1）如果两线段分别在两个三角形中，那么可证这两个三角形
12、全等，有时可能缺少直接条件，要证明两次全等； (2)有时两线段分别在两个三角形中,但这两个三角形不全等 ,那么可添辅助线构造全等三角形来证。常添的辅助线有:平行线、垂线、中线、连结线段等。 （3）如果两线段是一个三角形的两边，可证它们所对的角相等、等角对等边； （4）证明两条线段都等于第三条线段，即以第三条线段为媒介。 3、证明两角相等利用三角形全等的性质和判定、利用等腰三角形的性质和判定。 4、证明两直线互相垂直利用垂直的定义、利用等腰三角形三线合一的性质。*5、证一线段等于另一线段的 2 倍或一半利用加倍法或拆分法 常常要作辅助线。添辅助线：由于证明的需要，可以在原来的图上添画一些线，即添
13、加辅助线来完成一些几何证明，辅助线通常画成虚线。 三角形证明题中常见在辅助线做法：利用三角形的主8要线段构造全等三角形 。二、全等三角形1、定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。2、全等三角形有哪些性质（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。3、全等三角形的判定边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全
14、等（可简写成“ASA”)角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”)斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”)4、证明两个三角形全等的基本思路：方 法 指 引证 明 两 个 三 角 形 全 等 的 基 本 思 路 ：（ 1） ： 已 知 两 边 -找 第 三 边 (SSS)找 夹 角 （ SAS)(2):已 知 一 边 一 角 -已 知 一 边 和 它 的 邻 角找 是 否 有 直 角 (HL)已 知 一 边 和 它 的 对 角找 这 边 的 另 一 个 邻 角 (ASA)找 这 个 角 的 另 一 个 边 (SAS)找 这 边
15、 的 对 角 (AAS)找 一 角 (AAS)已 知 角 是 直 角 ， 找 一 边 (HL)(3):已 知 两 角 - 找 两 角 的 夹 边 (ASA)找 夹 边 外 的 任 意 边 (AAS)练 习三、勾股定理1、勾股定理的定义直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 22cba2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a，b，c 有关系 ，那么这个三角形是直角三角形。22ba3、勾股数：满足 的三个正整数，称为勾股数。22几何主要定义：(1)角9角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，角的内部到两边距离相等的点在角平分线上。(2)相交线与平行线同角或等角的补
16、角相等，同角或等角的余角相等；对顶角的性质：对顶角相等垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；直线外一点有与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；线段垂直平分线定义：过线段的中点并且垂直于线段的直线叫做线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线；平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行线的特征：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；平行公理：经过直线外一点有
17、且只有一条直线平行于已知直线。(3)三角形三角形的三边关系定理及推论：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于；三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和；三角形的外角和定理推理：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；角形的三条角平分线交于一点（内心） ；三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心） ；10三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半；全等三角形的判定：边角边公理（SAS）角边角公理（ASA）角角边定理（AAS）边边边公理（SSS）斜边、直角边公理（HL）等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形；直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互为余角；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理） ；直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形；如果三角形的三边长 a、b 、c 有下面关系，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理） 。公式：
