1、三次函数再探讨-对称中心问题武汉市长虹中学 郭永清三次函数存在对称中心吗？我们先从几个特殊的函数入手，三次函数 （ )是奇函数，其cxaf3)(0图象关于 对称，三次函数 ( )的图象关于点 对称，那)0,( dbxaxf3)(0,(d么对于一般的三次函数 有没有对称中心呢？答案是肯定23cf的，有对称中心，其对称中心是 。),f在证明之前，先回忆一个结论：定理 1：函数 的图像关于点 对称，则在)(xfy),(baMbafx2()证明：设 是 图像上任意一点，则 A 关于点 的对称点),A)(f ),(也在函数 图像上，2(yBxy即 , 又 ，所以)(xafb)(fbxafx2)()定理
2、2：三次函数 的对称中心是0(23dcbaxf)3(,af证明 1：设 是 图像上任意一点，只要能证明点),(yxA)(xf )3(2,-(yabfxB也在函数图像上。 cxbadbca dcxabaxcxbbabf 2323 232 2374 3498 )()()()(dcxbxfy da232)( )3()()cxbadbca dcxbadbayf 2323 23274 )()()()(所以 )3(2)3()afxfx所以三次函数 的对称中心是)0()(2dcxbf )3(,abf证明 2：因为 的对称中心是(0,0),所以)(3axf的对称中心为 ,即00)()yaxf)(0yx)(,0
3、xfdcb23 dcxabxabxax 3232 )()()()( dca323 )()()( )3()(3)()()( 2323 abcabaxabx 而 )()()()3()()( 2323 dcdab )(f的图象关于 对称。)0()(23axxf )(,abf证明 3：设函数 的对称中心为（m，n）。)0()(23adcxbf按向量 将函数的图象平移，则所得函数 是奇函数，所以,anm nxfy)(02)()(xfxf-2n=0dcb)(3 dmxcxbmxa)()()(23化简得：上式对 恒成立，故得0032ndcmba，。所以，函数 的对称中心是（ ）。定理 3：若三次函数 有极值
4、，则它的对称中心是两个极值点的中点证明：不妨设 为 的导方程，判别式 ,设02cbxa)(xf 0124acb两极值点为)(xf ,)(,21BfAacxbx dxcxxbadaf3,2 2)(2)()()(11 11122131 233 又dabcbadabcabcxff 2)3()(2)3( 2)3(23231 )3(2)(1afxf所以此时的对称中心是两个极值点的中点，同时也是函数 的拐点。)(xf定理 4： 是可导函数，若 的图像关于点 对称，)(xfy)(fy),(nmA则 的图像关于直线 对称f mx证明： 的图像关于 对称，则)(xy),(nAxfx2)()由 xffxf)()(
5、lim0 )()(li)()li )(2)2lim22li2( 00 00 xfxffxf xfnfnf xxx 图像关于直线 对称。)(fym三次函数 的对称中心是（ ） 。所以其导函数的图像关于直线 对称。abx3定理 5：过三次函数的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条证明：设三次函数 ，一直线与三次曲线切于点 Q（） ，且直线过点（ ） 。dcxbax0230,直线方程可写为： dcxbaxcbxay 023002)(3(又 daf )3( abcb3)(2dcxxxa 02002)(3化简为： abx303（这说明切点就是对称中心。经典例题欣赏：1. 求 的对称中心。76)(23xxf2. 求 的极值和对称中心。231)(xf3. （2004 年重庆高考题）设函数 , )(1)(axxf)1(（1）求导函数 ,并证明 有两个不同的极值点)(xf 2（2）若不等式 成立，求 a 的取值范围。021f4. 已知 )()()cxbaxf（1）求证 )()( cxb（2）若 是 R 上的增函数，是否存在点 P 使 的图像关于点 P 中心对称？如存在，)(xf f请求出 P 点坐标，并给出证明，如果不存在，请说明理由。
