1、第三章 三角函数知识网络：第一节 角的概念与任意角的三角函数考点梳理：1角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角(2)从终边位置来看，可分为象限角与轴线角(3)若 与 是终边相同的角，则 用 表示为 2k (kZ )2弧度与角度的互化(1)1 弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角(2)角 的弧度数在半径为 r 的圆中，弧长为 l 的弧所对圆心角为 rad，则 .lr(3)角度与弧度的换算n n rad； rad( ).180 180(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为 l，圆心角大小为 (rad)，半径为 r，则 lr，扇形的面积为 S lr12r2.
2、123任意角的三角函数(1)定义：设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y )，那么 sin y，cos x，tan .yx(2)三角函数在各象限的符号一全正，二正弦，三正切，四余弦4单位圆与三角函数线(1)单位圆：半径为 1 的圆叫做单位圆(2)三角函数线(3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)学情自测：1已知锐角 终边上一点 A 的坐标是(2sin ，2cos )，则 弧度数是( )3 3A2 B. C. D.3 6 232(2012江西高考)下列函数中，与函数 y 定义域相同的函数为(
3、 )13xAy By 1sin x ln xxCy xex D ysin xx3若 sin 0 且 tan 0，则 是( )A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角4弧长为 3，圆心角为 135的扇形半径为_，面积为_5已知角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴若 P(4，y) 是角 终边上一点，且 sin ，则 y_.255典例探究：例 1（角的集合表示）(1)写出终边在直线 y x 上的角的集合；3(2)已知 是第三象限角，求 所在的象限2变式训练 1：若角 的终边与 角的终边相同，则在0,2)内终边与角 的终边相同的角为_3 3例 2（弧度制的应用）已知扇形的圆心角是
4、，半径为 R，弧长为 l.(1)若 60，R 10 cm，求扇形的弧长 l.(2)若扇形的周长为 20 cm，当扇形的圆心角 为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若 ，R2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积3变式训练 2：已知半径为 10 的圆 O 中，弦 AB 的长为 10，(1)求弦 AB 所对的圆心角 的大小；(2)求 所在的扇形弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S.例 3（三角函数的定义）(1)已知角 的终边经过点 P(m，3)，且 cos ，则 m 等于( )45A B. C4 D4114 114(2)已知角 的终边在直线 3x4y0 上，求 sin ，cos ，tan 的值变式
5、训练 3：设 90 180，角 的终边上一点为 P(x， )，且 cos x，求 4sin 3tan 的值524小结：一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦两个技巧1.在利用三角函数定义时，点 P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点2利用单位圆和三角函数线是解简单三角不等式的常用技巧三点注意1.第一象限角、锐角、小于 90的角是三个不同的概念，前者是象限角，后两者是区间角2角度制与弧度制可利用 180 rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用3注意熟记 0360 间特殊角的弧度表示，以方便解题课后作业(十六) 角的概念
6、与任意角的三角函数一、选择题图 3121(2013宁波模拟)如图 3 12，在直角坐标系 xOy 中，射线 OP 交单位圆 O 于点P，若 AOP ，则点 P 的坐标是( )A(cos ，sin )B(cos ，sin )C(sin ，cos )D(sin ，cos )2已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2，则这个圆心角所对的弧长是( )A2 Bsin 2 C. D2sin 12sin 13(2013海淀模拟)若 k 360，m360(k，mZ )，则角 与 的终边的位置关系是( )A重合 B关于原点对称C关于 x 轴对称 D关于 y 轴对称4若角 的终边在直线 y 2x 上，且 sin 0
7、，则 cos 和 tan 的值分别为( )A. ，2 B ，55 55 12C ，2 D ，2255 555(2013昆明模拟)设 是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且 cos x，则15tan ( )A. B. C D43 34 34 436已知点 P(sin ，cos )在角 的终边上，且 0,2)，则 的值为( )34 34A. B. C. D.4 34 54 74二、填空题7(2013潍坊模拟)若角 120的终边上有一点( 4，a)，则 a 的值是_8已知角 的终边落在直线 y3x (x0)上，则 _.|sin |sin |cos |cos 9点 P 从(1,0)出发，沿单
8、位圆 x2y 21 逆时针方向运动 弧长到达 Q 点，则 Q 点的23坐标为_三、解答题10已知角 的终边上有一点 P(x，1)(x0)，且 tan x，求 sin cos 的值11已知扇形 OAB 的圆心角 为 120，半径长为 6，(1)求 的长；AB(2)求 所在弓形的面积AB12角 终边上的点 P 与 A(a,2a)关于 x 轴对称( a0)，角 终边上的点 Q 与 A 关于直线 yx 对称，求 sin cos sin cos tan tan 的值第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式考点梳理：1同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2cos 21.(2)商数关系：tan
9、 ( k，kZ )sin cos 22诱导公式学情自测：1已知 cos() ，且 是第四象限角，则 sin ( )513A B. C. D1213 1213 512 12132已知 sin( ) cos(2 )，| | ，则 等于( )32A B C. D.6 3 6 33sin 585的值为 ( )A B. C D.22 22 32 324若 cos 且 (， )，则 tan ( )35 32A. B. C D34 43 34 435(2012辽宁高考)已知 sin cos ，(0，)，则 sin 2( )2A1 B C. D122 22例 1（同角三角函数关系式的应用）(1)(2013潍坊
10、模拟)已知 5，则 sin2sin cos 的值是( )sin 3cos 3cos sin A. B C 2 D225 25(2)(2013银川模拟)已知 (， )，tan 2，则 cos _.32【答案】 (1)A (2) ,55变式训练 1：(2012大纲全国卷)已知 为第二象限角，sin ，则 sin 2( )35A B C. D.2425 1225 1225 2425例 2（诱导公式的应用）(1)已知 tan 2，sin cos 0，则 _.sin2 sin cos sin3 cos (2)已知 为第三象限角，f() ，sin 2cos32 tan tan sin 化简 f()；若 c
11、os( ) ，求 f()的值32 15变式训练 2：(1)(2013烟台模拟)sin 600tan 240的值等于( )A B. C. D. 32 32 3 12 3 12(2)(2013台州模拟)已知 f(x)asin(x)bcos(x )4(a，b， 为非零实数)，若 f(2 012)5，则 f(2 013) ( )A3 B5 C1 D不能确定例 3（sin cos 与 sin cos 的关系）(2013扬州模拟)已知x 0，sin xcos x .15(1)求 sin xcos x 的值； (2)求 的值sin 2x 2sin2x1 tan x变式训练 3：已知 x0，sin x cos
12、 x .2 15(1)求 sin xcos x 的值；(2)求 tan x 的值小结：一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限两个防范1.利用诱导公式进行化简求值时，要注意函数名称和符号的确定2在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要注意判断三角函数值的符号三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式 tan 进行弦、切互化sin cos (2)和积转换法：利用(sin cos )212sin cos 的关系进行变形、转化(3)巧用“1”的变换： 1sin 2cos 2cos 2(1tan 2)tan 等4同角三角函数的基本关系式与诱导公式一、选择题1(20
13、13郑州模拟)记 cos(80)k，那么 tan 100( )A. B C. D1 k2k 1 k2k k1 k2 k1 k22(2013温州模拟)若 cos( ) ，且| | ，则 tan ( )2 32 2A B. C D.333 33 33(2013济南模拟)已知 ( ，0) ，sin( ) 则 sin( )( )2 32 55A. B. C D55 255 55 2554(2013保定模拟)已知 tan 2，则 sin2sin cos 2cos 2( )A B. C D.43 54 34 455(2013普宁模拟)若 2，则 的值为( )sin cos sin cos sin cos3
14、 cos sin3A B. C. D81727 81727 82027 820276若 sin 是 5x27x60 的根，则 ( )sin 32sin32 tan22 cos2 cos2 sin A. B. C. D.35 53 45 54二、填空题7已知 sin( ) ，则 sin( )的值为_4 32 348(2013青岛模拟)已知 tan 2，则 7sin23cos 2_.9已知 sin(x ) ，则 sin( x)cos 2( x)_.6 14 76 56【解析】 原式sin( x)cos 2( x ) (1 ) .6 6 14 142 1116三、解答题10已知函数 f(x) .1
15、sinx 32 cosx 2 tan 34cos x(1)求函数 yf(x )的定义域；(2)设 tan ，求 f()的值4311已知 tan( )a.87求证： .sin157 3cos 137sin207 cos 227 a 3a 112在ABC 中，若 sin(2A) sin(B)， cos A cos(B )，求ABC2 3 2的三个内角第三节 三角函数的图象与性质考点梳理：1周期函数和最小正周期对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得定义域内的每一个 x 值，都满足 f(xT)f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期若在所有周期中，存在一
16、个最小的正数，那么这个最小的正数叫做 f(x)的最小正周期2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数 ysin x ycos x ytan x图象定义域值域单调性最大值和最小值奇偶性对称中心对称性 对称轴最小正周期学情自测：1函数 ytan 3x 的定义域为 ( )A x|x 3k，k Z Bx|x k，kZ 32 6Cx| x k ，k Z Dx|x ，k Z6 6 k32函数 f(x)2cos( x )是( )52A最小正周期为 2 的奇函数 B最小正周期为 2 的偶函数C最小正周期为 2 的非奇非偶函数 D最小正周期为 的偶函数3(2012福建高考)函数 f(x)sin(x )的图象
17、的一条对称轴是 ( )4Ax Bx Cx Dx4 2 4 24比较大小：sin( )_sin( )18 105函数 y23cos(x )的最大值为_，此时 x_.4典例探究：例 1（三角函数的定义域和值域）(1)(2012山东高考)函数 y2sin( )(0x9)的最大值与最小值之和为( )x6 3A2 B03C1 D1 3(2)函数 y 的定义域为 _1tan x 1变式训练 1：(1)函数 y 的定义域为_2sin x 1(2)当 x ， 时，函数 y3sin x2cos 2x 的最小值是_，最大值是_6 76例 2（三角函数的单调性）(2012北京高考)已知函数 f(x) .sin x
18、cos xsin 2xsin x(1)求 f(x)的定义域及最小正周期；(2)求 f(x)的单调递减区间变式训练 2:(2013武汉模拟)已知函数 ysin( 2x )，求：3(1)函数的周期；(2)求函数在 ，0上的单调递减区间.例 3（三角函数的奇偶性、周期性和对称性）设函数 f(x)sin(x )(0，| )，给出以下四个论断：2它的最小正周期为 ；它的图象关于直线 x 成轴对称图形；12它的图象关于点( ，0)成中心对称图形；3在区间 ， 0)上是增函数6以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_(用序号表示即可)【答案】 或,变式训练 3：已知函数 f(x
19、)sin(x )1，则下列说法正确的是( )2Af(x)是周期为 1 的奇函数Bf(x)是周期为 2 的偶函数Cf(x)是周期为 1 的非奇非偶函数Df(x)是周期为 2 的非奇非偶函数小结：两条性质1.若 f(x)Asin(x)( A，0) ，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是 k(kZ )；2(2)f(x)为奇函数的充要条件是 k( kZ)2对称性：正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称轴上，正切函数的图象只是中心对称图形三种方法求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用 sin x、cos x 的有界性；(2)化为 yAsin(x)k 的形式，逐步分析 x 的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把 sin x 或 cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题课后作业(十八) 三角函数的图象与性质一、选择题1(2013银川模拟)下列函数中，最小正周期为 ，且图象关于直线 x 对称的函数是3
