1、玩转压轴题，突破 140 分之高三数学选填题高端精品专题 03 平面向量中范围、最值等综合问题一方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解 决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值， 比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量 的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合二解题策略类型一 与向量的模有关的最值问题来源:学科网【
2、例 1】 【2018 河北定州中学模拟】设向量 满足 ， ， ,abc2b 2ab，则 的最大值等于（ ）来源:Z*xx*k.Com,c60abcA. 4 B. 2 C. D. 1【 指点迷津】由已知条件得四点共圆是解题关键，从而转化为求外接圆直径处理.【举一反三】1、 【2018 辽宁沈阳东北育才学模拟】在 中， ，点 是边 上的动点，且 ,RtABC09DBC3AB, ，则当 取得最大值时， 的值为（ ）4AC(0,)DABCAA. B. 3 C. D. 721252、 【2018 湖南长沙市长郡中学模拟】已知向量 满足： ，且 ，若 ，,ab1ab2acxayb其中 ， 且 ，则 的最小
3、值是_0xy2xc3、 【2018 浙东北联盟联考】已知向量 ，满足 ， ，若 ，则,1,2,3c010c的最大值为_，最小值为_1abc类型二 与向量夹角有关的范围问题【例 2】已知向量 与 的夹角为 ， 时取得OAB PQOBtAtOPBA,)1(,1,2 0t在最小值，当 时，夹角 的取值范围为_.015t【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解【举一反三】1、非零向量 ba,满足 2= 2ba， 2|，则 ba与的夹角的最小值是 2、已知向量 =（2，1） ， =（，1） ，则 与 的夹角 为钝角时，
4、 的取值范围为（ ）A. B. C. 且 2 D. 无法确定类型三 与向量投影有关的最值问题【例 3】设 ， ， ，且 ，则 在 上的投1,2OAB0OABPOAB1OAP影的取值范围( )A. B. C. D. 25-,5,5,15-,1【指点迷津】由已知求得 及 ，代入投影公式，对 分类后利用二次函数求最值，在分类讨论时OAP 需要讨论完整，不要漏掉哪种情况，讨论完可以检查下是否把整个实数全部取完。【举一反 三】1、已知 的外接圆的圆心为 ，半径为 2，且 ，则向量 在向量 方向上的BC 0OABCACB投影为( )A. 3 B. C. -3 D. 32、 【2018 福建省闽侯第六中学模
5、拟】设 ， 且 ，1,2,0,PO1则 在 上的投影的取值范围（ ）OAPA. B. C. D. 25,125,15,15,1类型四 与平面向量数量积有关的最值问题【例 4】 【2018 广州华南师范大学附中模拟】如图，半径为 1 的扇形 AOB中， 23， P是弧AB上的一点，且满足 OPB， ,MN分别是线段 ,上的动点，则 MN的最大值为（ ）A. 2 B. 3 C. 1 D. 2【指点迷津】平面向量数量积的求法有：定义法；坐标法；转化法；其中坐标法是同学们最容易忽视的解题方法，要倍加注视，若有垂直或者容易出现垂直的背景可建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.【举一反三】1、 【2018
6、福建莆田市第二十四中学模拟】已知正方形 的边长为 ，点 是 边上的动点，则ABCD1EAB的最大值为（ ）DECA. B. C. D. 2322、 【2018 浙江镇海中学模拟】在平面内， ，动点 ， 满足6ABCACBPM， ，则 的最大值是APMCBA. 3 B. 4 C. 8 D. 163、 【2008 云南大理市云南师范大学附属中学模拟】已知圆 的半径为 2， 是圆 上任意两点，且， 是圆 的一条直径，若点 满足 （ ） ，则 的最小值为（ ）A. -1 B. -2 C. -3 D. -4类型五 平面向量系数的取 值范围问题来源:学+科+网【例 5】 【2018 辽宁沈阳市四校协作体联
7、考】在矩形 中， 动点 在以点 为圆ABCD12AD， ， PC心且与 相切的圆上，若 ，则 的最大值为（ ）BDAPA. B. C. D. 3252【指点迷津】 （1）向 量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；来源:学。科。网（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题；（3）向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作 用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.【举一反三】1、 【2018 重庆第一中学模拟】
8、给定两个单位向量 OA， B，且 32AO，点 C在以 O为圆心的圆弧 AB上运动， OCxAyB，则 3xy的最小值为（ ）A. 3 B. 1 C. 2 D. 02、 【2018 四川德阳联考】已知点 A 在线段 BC 上（不含端点） ，O 是直线 BC 外一点，且,则 的最小值是_AaBb1ab3、 【2018 湖北鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟】已知 ，点 在1,3,0ABOAC内，且 与 的夹角为 ，设 ，则 的值为（ ）OCA03,CmnRmnA. B. C. D. 254类型六 平面向量与三角形四心的结合:学+科+网【例 6】 【2018 全国名校大联考】已知 的三边垂直平分线
9、交于点 ， 分别为内角 的ABO,abc,ABC对边，且 ，则 的取值范围是_2cbOC【指点迷津】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：“形化” ，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；“数化” ，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利 用函数、不等式、方程的有关知识来解决【举一反三】1、 【2018 河北武邑中学调研】在 中， ， ，若 为 外接圆的圆心（即满ABC35ACOABC足 ） ，则 的值为_.OABCO2、 【2018 江西南昌市第二中学模拟】如图
10、， 为 的外心， 为钝角， 是边 的中点，则 的值为（ ）A. 4 B. C. D. 3、 【河南省洛阳市 2018 届高三上学期尖子生第一次联考】已知点 是锐角三角形 的外心，若OABC（ ， ） ，则（ ）OCmAnBnRA. B. C. D. 21m1n0mn三强化训练1 【2018 湖南五市十校联考】在 中， ， ，点 是 所在平ABC39A2CABPABC面内一点，则当 取得最小值时， （ ）22PPA. B. C. D. 2424692. 【2018 山西芮城中学模拟 】长度都为 的向量 ， 的夹角为 ，点 在以 为圆心的圆弧2OAB3CO（劣弧）上， ，则 的最大值是（ ）ABO
11、CmAnBnA. B. C. D. 2333. 【辽宁沈阳交联体联考】如图，在扇形 中， ， 为弧 上且 与 不重合的一O03ABCAB,个动点，且 ，若 （ ）存在最大值，则 的取值范围是（ ）OCxAyBxy来源:学科网A. B. C. D. 3,43,23,4232,4. 【2018 云南昆明市高新技术开发区模拟】在等腰梯形 中，已知 ， ， ABCD/C2AB， ，动点 和 分别在线段 和 上，且 ， ，则1BC06AEFE14DF的最小值为（ ）EFA. B. C. D. 29871855、 【2018 吉林实验中学模拟】在 ABC中，点 O是 的中点，过点 O的直线分别交直线 AB
12、， C于不同两点 MN， ，若 m， nN， ,m为正数，则 1n的最小值为A. 2 B. 13 C. 213 D. 2316. 【2018 辽宁庄河市联考】已知直线 分别于半径为 1 的圆 O 相切于点若点 在圆 O 的内部（不包括边界） ，则实数 的取值范围是( )A. B. C. D. 7、 【2018 江西南昌三中模拟】在 中，点 是 的三等分点（靠近点 B） ，过点 的直线分别ABC交直线 ， 于不同两点 ，若 ， ， 均为正数，则ABCMN， ABmACnN,mn的最小值为（ ）1mnA. 2 B. C. D. 23213318. 【2018 届高三南京市联合体学校调研】已知 为直
13、线 ： 上两动点，且 ，圆 ： ,ABlyx4ABC,圆 上存在点 ， 使 ，则线段 中点 的横坐标取值范围2620xyCP210M为_9. 【2018 四川成都市第七中学模拟 】 中， 是斜边 上一点，且满足： ，点RtABBC12BP在过点 的直线上，若 则 的最小值为_,MNP,(0)MN210、已知 为椭圆 上任意一点， 为圆 的任意一条直径，则2165xyEF:14Nxy的取值范围是_PEF11、 【2018 安徽省联考】在 中，点 在线段 的延长线上，且 ，点 在线段 上ABCDBC2BCDOC（与点 不重合） ，若 ，则 的取值范围是_来源:学科网,CD1OxAx12.【2018 湖北省华师一附中调研】若 为 所在平面内任一点，且满足，则一定是（ ）A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
