1、一方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识 点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值， 比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量 的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合二解题策略类型一 与向量的模有关的最值问题【例 1】 【2018 河北定州中学模拟】设向量 满足 ， ， ，则,abc2b2ab,c60ab的最大值等
2、于（ ）cA. 4 B. 2 C. D. 1【答案】A【指点迷津】由已知条件得四点共圆是解题关键，从而转化为求外接圆直径处理.【举一反三】1、 【2018 辽宁沈阳东北育才学模拟】在 中， ，点 是边 上的动点，且 ,RtABC09ADBC3AB, ，则当 取得最大值时， 的值为（ ）4AC(0,)DABCADA. B. 3 C. D. 72125【答案】D2、 【2018 湖南长沙市长郡中学模拟】已知向量 满足： ，且 ，若 ，其中,ab1ab2acxayb， 且 ，则 的最小值是_0xy2xc【答案】 3【解析】 ，且 ，当 时， ， 1ab2acxayb22cxayb，又 且 ，当且仅当
3、 时取“=” ，222xyxy0,2,1xy1的最小值是 ，故答案为 .222 13,c c 333、 【2018 浙东北联盟联考】已知向量 ，满足 ， ，若 ，则,ab1,2,abc010bc的最大值为_，最小值为_1abc【答案】 4 613【解析】设 ， ，即,1nbcabcannana， 11a 2222111bcbcbc，由二次函数性质可得， 22493890， ，最大值为 ，最小266,114131nnnan1abc4值为 ，故答案为 ， .43类型二 与向量夹角有关的范围问题【例 2】已知向量 与 的夹角为 ， 时取得最小值，OAB PQOBtAtOPBA,)1(,1,2 0t在
4、当 时，夹角 的取值范围为_.015t【分析】将 表示为变量 的二次函数 ，转化为求二次函数的最小值PQtPQ 1)cos42()cos45( tt问题 ，当 时，取最小值，由已知条件 ，得关于夹角 的不等式，解不等式得解cos45210t 01【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解【举一反三】1、非零向量 ba,满足 2= 2ba， 2|，则 ba与 的夹角的最小值是 【答案】 3【解析】由题意得 ， ，整理得 ，即21ab24ab242abab1ab， ，夹角的最小值为cos, ,332、已知向量 =（
5、2，1） ， =（，1） ，则 与 的夹角 为钝角时， 的取值范围为（ ）A. B. C. 且 2 D. 无法确定【答案】C【解析】 与 的夹角 为钝角， =210，解得 ，又当 =2 时，满足向量 ，且反向，此时向量的夹角为 180，不是钝角，故 的取值范围为 ，且 2.故选 C.类型三 与向量投影有关的最值问题【例 3】设 ， ， ，且 ，则 在 上的投影的取1,2OAB0OABPOAB1OAP值范围( )A. B. C. D. 25-,5,5,15-,1【答案】D当 时， 0,x当22215848051x，故当 时， 取得最小值为 ，即10x，当 时， ，即022215848515x15
6、x5综上所述 故答案选( ,1xD【指点迷津】由已知求得 及 ，代入投影公式，对 分类后利用二次函数求最值，在分类讨论时需要讨OAP 论完整，不要漏掉哪种情况，讨论完可以检查下是否把整个实数全部取完。【举一反三】1、已知 的外接圆的圆心为 ，半径为 2，且 ，则向量 在向量 方向上的投影为BC 0OABCACB( )A. 3 B. C. -3 D. 3【答案】B本题选择 B 选项.2、 【2018 福建省闽侯第六中学模拟】设 ， 且 ， 则1,2,0,OABAOPAOB1在 上的投 影的取值范围（ ）OAPA. B. C. D. 5,125,15,15,1【答案】D法 2：不妨设 为坐标原点，
7、 ， ，则 ，也就是 .而 在 上的投O0,1A2,B,Pu21,POAP影为 .令 ，如果 ，则241AP 24f0，所以 也就是 ，所以2 22 2588541,0f ttt 21f1f；当 时， ；当 时， 2014102041，所以 也就是 ，所以22854,fttt25f5f.2501综上， 的取值范围为 .OAP5,1类型四 与平面向量数量积有关的最值问题【例 4】 【2018 广州华南师范大学附中模拟】如图，半径为 1 的扇形 AOB中， 23， P是弧 AB上的一点，且满足 OPB， ,MN分别是线段 ,OA上的动点，则 PMN的最大值为（ ）A. 2 B. 3 C. 1 D.
8、 2【答案】C【指点迷津】平面向量数量积的求法有：定义法；坐标法；转化法；其中坐标法是同学们最容易忽视的解题方法，要倍 加注视，若有垂直或者容易出现垂直的背景可建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.【举一反三】1、 【2018 福建莆田市第二十四中学模拟】已知正方形 的边长为 ，点 是 边上的动点，则ABCD1EAB的最大值为（ ）DECA. B. C. D. 1232【答案】A2、 【2018 浙江镇海中学模拟】在平面内， ，动点 ， 满足 ， 6ABCACBPM2AP，则 的最大值是PMCBA. 3 B. 4 C. 8 D. 16【答案】D【解析】由 ，6ACAB得 .0,0,0BCCB所以
9、 是等边三角形，设 的边长为 ，则 ，得 .AAx226xAcos23以 BC 为 x 轴,以 BC 的中垂线为 y 轴建立坐标系,则 ，30,03BCA由 ，得点 P 满足： .2A 224xy则 为 PC 的中点，PM设 ，则 ，满足： ，,xy3,2xy2234xy整理得： ，即点 M 在以 为圆心，1 为半径的圆上，21 ,则 的最大值是圆心到 B 的距离加半径： .BM 2230134故选 B.3、 【2008 云南大理市云南师范大学附属中学模拟】已知圆 的半径为 2， 是圆 上任意两点，且 ，是圆 的一条直径，若点 满足 （ ） ，则 的最小值为（ ）=(1)+A. -1 B. -2 C. -3 D. -4【答案】C类型五 平面向量系数的取 值范围问题【例 5】 【2018 辽宁沈阳市四校协作体联考】在矩形 中， ABCD动点 在以点 为圆心且与 相切的圆上，若 ，则 的最大值为（ 12ABD， ， PCBDAPBD）A. B. C. D. 352【答案】A圆的方程为（x1） 2+（y2） 2= ，45设点 P 的坐标为（ cos+1， sin+2） ，5 ，ABD（ cos+1， sin+2）=（1，0）+（0 ，2）=（，2） ，2525 cos+1=， sin+2=2，
