1、1中考数学分类汇编二次函数压轴题1.（2016 成都第 28 题）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=a（x+1） 23 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点C（0， ） ，顶点为 D，对称轴与 x 轴交于点 H，过点 H 的直线 l 交抛物线于 P，Q 两点，点 Q 在 y 轴的右侧（1）求 a 的值及点 A，B 的坐标；（2）当直线 l 将四边形 ABCD 分为面积比为 3：7 的两部分时，求直线 l 的函数表达式；（3）当点 P 位于第二象限时，设 PQ 的中点为 M，点 N 在抛物线上，则以 DP 为对角线的四边形 DMPN 能否为菱
2、形？若能，求出点 N 的坐标；若不能，请说明理由2.（2016 扬州第 28 题）如图 1，二次函数 的图像过点 A（-1，3），顶点 B 的横坐标为 1.2yaxb=+（1）求这个二次函数的表达式；（2）点 P 在该二次函数的图像上，点 Q 在 x 轴上，若以 A、B 、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的坐标；（3）如图 3，一次函数 （k0）的图像与该二次函数的图像交于 O、C 两点，点 T 为该二次函数图像上位于直yx=线 OC 下方的动点，过点 T 作直线 TMOC，垂足为点 M，且 M 在线段 OC 上（不与 O、C 重合），过点 T 作直线TNy 轴交 OC 于点 N
3、。若在点 T 运动的过程中， 为常数，试确定 k 的值。2ONxy图3NMOCTxy图2图图BAOxy13-1图1BAO2二、与轴对称和等腰三角形性质有关的综合题3.（2016 益阳第 21 题）如图，顶点为 的抛物线经过坐标原点 O，与 轴交于点 B(3,1)Ax（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）过 B 作 OA 的平行线交 轴于点 C，交抛物线于点 ，求证：OCDOAB；yD（3）在 轴上找一点 ，使得PCD 的周长最小，求出 P 点的坐标xP4.（2016 哈尔滨第 27 题）如图，二次函数 yax 2bx（a0）的图象经过点 A（1，4），对称轴是直线 x ，线32段 AD
4、平行于 x 轴，交抛物线于点 D在 y 轴上取一点 C（0，2），直线 AC 交抛物线于点 B，连结OA，OB，OD，BD （1）求该二次函数的解析式；（2）设点 F 是 BD 的中点，点 P 是线段 DO 上的动点，将BPF 沿边 PF 翻折，得到B PF，使B PF 与DPF 重叠部分的面积是BDP 的面积的 ，若点 B在 OD 上方，求线段 PD 的长度;14（3）在（2）的条件下，过 B作 BHPF 于 H，点 Q 在 OD 下方的抛物线上，连接 AQ 与 BH 交于点 M，点 G 在线段 AM 上，使HPN+DAQ =135，延长 PG 交 AD 于 N若 AN+ BM= ,求点 Q
5、 的坐标52xyADCBO xyADCBOxyADCBO3OyxP GFNMEDCBA图1KOyxCBA图2三、与图形的平移与旋转变换性质有关的综合题5.（2016 重庆第 26 题）如图 1，二次函数 的图象与一次函数 y=kx+b(k0)的图象交于 A，B 两点，1x2-y点 A 的坐标为（0,1），点 B 在第一象限内，点 C 是二次函数图象的顶点，点 M 是一次函数 y=kx+b(k0)的图象与 x 轴的交点，过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为 N，且 SAMOS 四边形 AONB=148。（1）求直线 AB 和直线 BC 的解析式；（2）点 P 是线段 AB 上一点，点 D 是线段
6、BC 上一点，PD/ x 轴，射线 PD 与抛物线交于点 G，过点 P 作 PEx 轴于点 E，PF BC 于点 F，当 PF 与 PE 的乘积最大时，在线段 AB 上找一点 H（不与点 A，点 B 重合），使 GH+ BH2的值最小，求点 H 的坐标和 GH+ BH 的最小值；2（3）如图 2，直线 AB 上有一点 K（3,4），将二次函数 沿直线 BC 平移，平移的距离是 t(t0)，平移后1x2-抛物线上点 A，点 C 的对应点分别为点 A/，点 C/；当A /C/K 是直角三角形时，求 t 的值。46.（2016 苏州第 28 题）如图，直线 与 轴、 轴分别相交于 A、B 两点，抛物
7、线:3lyxy经过点 B24(0)yaxa(1)求该地物线的函数表达式；(2)已知点 M 是抛物线上的一个动点，并且点 M 在第一象限内，连接 AM、BM设点 M 的横坐标为 ，ABM 的m面积为 S求 S 与 的函数表达式，并求出 S 的最大值；m(3)在(2)的条件下，当 S 取得最大值时，动点 M 相应的位置记为点 .写出点 的坐标；将直线 绕点 A 按顺时针方向旋转得到直线 ，当直线 与直线 重合时停止旋转在旋转过程中，直线l llA与线段 交于点 C设点 B、 到直线 的距离分别为lB、 ，当 最大时，求直线 旋转的角度（即BAC 的度数）1d212dl四、与直角三角形性质有关的综合
8、题7.（2016 甘肃平凉第 28 题）如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（3，0） ，B（0，3）两点（1）求此抛物线的解析式和直线 AB 的解析式；（2）如图 ，动点 E 从 O 点出发，沿着 OA 方向以 1 个单位/秒的速度向终点 A 匀速运动，同时，动点 F 从 A 点出发，沿着 AB 方向以 个单位/ 秒的速度向终点 B 匀速运动，当 E，F 中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接 EF，设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时， AEF 为直角三角形？（3）如图 ，取一根橡皮筋，两端点分别固定在 A，B 处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖 P 在直线 AB 上方的抛
9、物线上移动，动点 P 与 A，B 两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点 P 的坐标；如果不存在，请简要说明理由5五、与相似三角形性质有关的综合题8.（2016 长沙第 26 题）如图，直线 l：y=x+1 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，点 P，Q 是直线 l 上的两个动点，且点 P 在第二象限，点 Q 在第四象限， POQ=135.(1) 求AOB 的周长；(2) 设 AQ=t0.试用含 t 的代数式表示点 P 的坐标；(3) 当动点 P，Q 在直线 l 上运动到使得AOQ 与BPO 的周长相等时，记作 AOQ=m，
10、若过点 A 的二次函数y=ax2+bx+c 同时满足以下两个条件： 6a+3b+2c=0; 当 mxm+2 时，函数 y 的最大值等于 ，求二次项系数 a 的值.m2六、与圆的性质有关的综合题9.（2016 巴中第 31 题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=mx2+4mx5m（m0）与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧） ，该抛物线的对称轴与直线 y= x 相交于点 E，与 x 轴相交于点 D，点 P 在直线 y= x 上（不与原点重合） ，连接 PD，过点 P 作PFPD 交 y 轴于点 F，连接 DF（1）如图 所示，若抛物线顶点的纵坐标为 6 ，求抛物线的解析式；（2
11、）求 A、B 两点的坐标；（3）如图 所示，小红在探究点 P 的位置发现：当点 P 与点 E 重合时，PDF 的大小为定值，进而猜想：对于直线y= x 上任意一点 P（不与原点重合） ，PDF 的大小为定值请你判断该猜想是否正确，并说明理由6七、与阅读理解有关的综合题10.（2016 长沙第 25 题）若抛物线 L：y =ax2+bx+c(a，b，c 是常数，abc0) 与直线 l 都经过 y 轴上的一点 P，且抛物线L 与顶点 Q 在直线 l 上，则称此直线 l 与该抛物线 L 具有“一带一路”关系，此时，直线 l 叫做抛物线 L 的“带线” ，抛物线 L 叫做直线 l 的“ 路线”.(1)
12、 若直线 y=mx+1 与抛物线 y=x22x+n 具有“一带一路”关系，求 m，n 的值；(2) 若某“路线”L 的顶点在反比例函数 的图像上，它的 “带线” l 的解析式为 y=2x4，求此“ 路线”L 的解析式；6(3) 当常数 k 满足 k2 时，求抛物线 L: y=ax2+(3k22k+1)x+ k 的“带线” l 与 x 轴，y 轴所围成的三角形面积的取21值范围.11.（2016 丽水第 23 题）如图 1，地面 BD 上两根等长立柱 AB，CD 之间悬挂一根近似成抛物线 y= x2 x+3 的绳子7（1）求绳子最低点离地面的距离；（2）因实际需要，在离 AB 为 3 米的位置处
13、用一根立柱 MN 撑起绳子（如图 2） ，使左边抛物线 F1 的最低点距 MN 为1 米，离地面 1.8 米，求 MN 的长；（3）将立柱 MN 的长度提升为 3 米，通过调整 MN 的位置，使抛物线 F2 对应函数的二次项系数始终为 ，设 MN 离AB 的距离为 m，抛物线 F2 的顶点离地面距离为 k，当 2k2.5 时，求 m 的取值范围八、与方程根和关系的关系、函数值大小比较有关的综合题12.（2016 株洲第 26 题）已知二次函数 22(1)(0)yxkxk(1)当 时，求这个二次函数的顶点坐标；12k(2)求证：关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根；x22(1)=0xkxk
14、(3)如图，该二次函数与 轴交于 A、B 两点(A 点在 B 点的左侧)，与 轴交于 C 点，P 是 轴负半轴上一点，且yyOP=1，直线 AP 交 BC 于点 Q，求证：2211OAB yxOQCBAP813.（2016 杭州第 22 题）已知函数 .在同一平面直角坐标系中.212,0yaxbyaxb（1）若函数 的图像过点（ -1,0），函数 的图像过点（1,2），求 a，b 的值.1y(2)若函数 的图像经过 的顶点.求证： ；当 时，比较 , 的大小. 21y20ab312x1y214.（2016 泰州第 26 题）已知两个二次函数 和 .对于函数 ，当 x=2 时，21yxbc2yxm1y该函数取最小值.（1） 求 b 的值； （2） 若函数 y1 的图像与坐标轴只有 2 个不同的公共点，求这两个公共点间的距离；（3） 若函数 y1、y 2 的图像都经过点（1，-2） ，过点（0 ，a-3） （a 为实数）作 x 轴的平行线，与函数 y1、y 2 的图像共有 4 个不同的交点，这 4 个交点的横坐标分别是 x1、x 2、x 3、x 4，且x1x2x3x4，求 x4-x3+x2-x1 的最大值.
