1、2017 年中考压轴题29 （2017 年北京中考）在平面直角坐标系 xOy中的点 P和图形 M，给出如下的定义：若在图形 M上存在一点 Q，使得 P、 两点间的距离小于或等于 1，则称 P为图形 的关联点（1）当 O:的半径为 2 时，在点 1235,0,0PP中， O:的关联点 是_点 在直线 yx上，若 为 的关联点，求点 P的横坐标的取值范围（2） C:的圆心在 轴上，半径为 2，直线 1yx与 轴、 y轴交于点 AB、 若线段 AB上的所有点都是 :的关联点，直接写出圆心 C的横坐标的取值范围【答案】 （1） 23,P， x 2 或 x 32， （2）2x1 或2x2试题解析： （1
2、） 1235,0,OPP,点 1 与的最小距离为 ，点 2 与的最小距离为 1，点 3P与的最小距离为 12，的关联点为 2P和 3根据定义分析，可得当直线 y=-x 上的点 P 到原点的距离在 1 到 3 之间时符合题意； 设点 P 的坐标为 P (x ,-x) ,当 OP=1 时，由距离公式可得，OP= 22(0)()1x ，解得 2x ，当 OP=3时，由距离公式可得，OP= 22()()3 ， 29x,解得 3， 点的横坐标的取值范围为 3 x 或 x 如图 2，当圆与小圆相切时，切点为 D，CD=1 ,如图 3，当圆过点 A 时，AC=1，C 点坐标为(2,0)如图 4,当圆过点 B
3、 时，连接 BC ，此时 BC =3,在 Rt OCB 中，由勾股定理得 OC= 231 , C 点坐标为 (2 2,0) C 点的横坐标的取值范围为 2 cx 2 ； 综上所述点 C 的横坐标的取值范围为 3 cx 2 或 cx 32考点：切线，同心圆，一次函数，新定义.23. （2017 安徽）已知正方形 ，点 为边 的中点.ABCDMAB（1）如图 1，点 为线段 上的一点，且 ，延长 ， 分别与边G90GBG， 交于点 ， .BCDEF求证： ；BECF求证： .2（2）如图 2，在边 上取一点 ，满足 ，连接 交 于点 ，连E2BCEACMG接 延长交 于点 ，求 的值.BGCDFt
4、an【答案】（1）详见解析；（2） 51tan2CBF -=【解析】试题分析：(1)利用 ASA 判定证明两个三角形全等；先利用相似三角形的判定，再利用相似三角形的性质证明；（2）构造直角三角形，求一个角的正切值.(2)解：(方法一)延长 ， 交于点 (如图 1)，由于四边形 是正方形，所以 ，AEDCNABCDABCD ，又 ， ，NB= EB= EN 故 ，即 ，AC ， ， ，由 知， ，AC2 ABD NGFMB=又 ， ，不妨假设正方形边长为 1，MB=FNBE=设 ，则由 ，得 ，Ex2C()21x-解得 ， (舍去)， ，15-25- 52=于是 , 1tanFBEC-=(方法二
5、) 是直角三角形，且 ，AGB 90AGB= 由(1)知 ，于是 .ECF=51tan2FCE-考点： （1）全等三角形的判定；（2）相似三角形的判定及性质；（3）求一个角的三角函数值.25。（13 分）（2017宁德）如图，抛物线 l：y= （xh） 22 与 x 轴交于 A，B 两点（点A 在点 B 的左侧），将抛物线 在 x 轴下方部分沿轴翻折，x 轴上方的图象保持不变，就组成了函数 的图象。（1）若点 A 的坐标为（1， 0）。求抛物线 l 的表达式，并直接写出当 x 为何值时，函数 的值 y 随 x 的增大而增大；如图 2，若过 A 点的直线交函数 的图象于另外两点 P，Q，且 SA
6、BQ =2SABP ，求点 P的坐标；（2）当 2x3 时，若函数 f 的值随 x 的增大而增大，直接写出 h 的取值范围。【考点】HF：二次函数综合题。【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式，由对称性求点 B 的坐标，根据图象写出函数 的值 y 随 x 的增大而增大（即呈上升趋势）的 x 的取值；如图 2，作辅助线，构建对称点 F 和直角角三角形 AQE，根据 SABQ =2SABP ，得QE=2PD，证明PADQAE，则 ，得 AE=2AD，设 AD=a，根据 QE=2FD 列方程可求得 a 的值，并计算 P 的坐标；（2）先令 y=0 求抛物线与 x 轴的两个交点坐标，根据图象中呈
7、上升趋势的部分，有两部分：分别讨论，并列不等式或不等式组可得 h 的取值。【解答】解：（1）把 A（ 1，0）代入抛物线 y= （xh） 22 中得：（xh ） 22=0，解得：h=3 或 h=1，点 A 在点 B 的左侧，h0，h=3，抛物线 l 的表达式为：y= （x 3） 22，抛物线的对称轴是：直线 x=3，由对称性得：B（5，0），由图象可知：当 1x3 或 x5 时，函数 的值 y 随 x 的增大而增大；如图 2，作 PDx 轴于点 D，延长 PD 交抛物线 l 于点 F，作 QEx 轴于 E，则PDQE，由对称性得：DF=PD，S ABQ =2SABP ， ABQE=2 ABPD
8、，QE=2PD，PDQE，PAD QAE， ，AE=2AD，设 AD=a，则 OD=1+a，OE=1+2a，P（1+a， （1+a 3） 22），点 F、Q 在抛物线 l 上，PD=DF= （1+a 3） 22，QE= （1+2a3） 22， （1+2a3） 22=2 （1+a 3） 22，解得：a= 或 a=0（舍），P（ ， ）；（2）当 y=0 时， （x h） 22=0，解得：x=h+2 或 h2，点 A 在点 B 的左侧，且 h0，A（h2，0），B （h+2，0），如图 3，作抛物线的对称轴交抛物线于点 C，分两种情况：由图象可知：图象 f 在 AC 段时，函数 f 的值随 x 的
9、增大而增大，则 ，3h4，由图象可知：图象 f 点 B 的右侧时，函数 f 的值随 x 的增大而增大，即：h+22，h0，综上所述，当 3h4 或 h0 时，函数 f 的值随 x 的增大而增大。【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的增减性问题、三角形相似的性质和判定，与方程相结合，找等量关系。25已知直线 y=2x+m 与抛物线 y=ax2+ax+b 有一个公共点 M（1，0），且 ab（）求抛物线顶点 Q 的坐标（用含 a 的代数式表示）；（）说明直线与抛物线有两个交点；（）直线与抛物线的另一个交点记为 N（）若1a ，求线段 MN 长度的取值范围
10、；（）求QMN 面积的最小值【考点】HF：二次函数综合题【分析】（）把 M 点坐标代入抛物线解析式可得到 b 与 a 的关系，可用 a 表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标；21 世纪教育网版权所有（）由直线解析式可先求得 m 的值，联立直线与抛物线解析式，消去 y，可得到关于 x的一元二次方程，再判断其判别式大于 0 即可；21 教育网（）（i）由（）的方程， 可求得 N 点坐标，利用勾股定理可求得 MN2，利用二次函数性质可求得 MN 长度的取值范围；（ii）设抛物线对称轴交直线与点 E，则可求得 E 点坐标，利用 SQMN =SQEN +SQEM 可用 a 表示出QMN 的面积
11、，再整理成关于 a 的一元二次方程，利用判别式可得其面积的取值范围，可求得答案【解答】解：（）抛物线 y=ax2+ax+b 过点 M（1，0），a+a+b=0，即 b=2a，y=ax 2+ax+b=ax2+ax2a=a（x+ ） 2 ，抛物线顶点 Q 的坐标为（ ， ）；（）直线 y=2x+m 经过点 M（1，0），0=21+m，解得 m=2，联立直线与抛物线解析式，消去 y 可得 ax2+（a 2）x2a+2=0 （*）=（a 2） 24a（2a +2）=9a 212a+4，由（）知 b=2a，且 ab，a0，b0，0，方程（*）有两个不相等的实数根，直线与抛物线有两个交点；（）联立直线与抛物线解析式，消去 y 可得 ax2+（a 2）x2a+2=0，即 x2+（1 ）x2+ =0，（x1 ）x （ 2）=0，解得 x=1 或 x= 2，N 点坐标为（ 2， 6），（i）由勾股定理可得 MN2=（ 2）1 2+（ 6） 2= +45=20（ ） 2，1 a ，2 1，MN 2 随 的增大而减小，当 =2 时，MN 2 有最大值 245，则 MN 有最大值 7 ，当 =1 时，MN 2 有最小值 125，则 MN 有最小值 5 ，线段 MN 长度的取值范围为 5 MN 7 ；（ii）如图，设抛物线对称轴交直线与点 E，
