1、 1 / 6中考数学压轴题型研究（一）动点几何问题下面以具体实例简单的说一说此类题的解题方法。一、利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题例 1：（北京市石景山区 2010 年数学期中练习）在ABC 中，B=60,BA=24CM,BC=16CM,(1)求ABC 的面积；(2)现有动点 P 从 A 点出发，沿射线 AB 向点 B 方向运动，动点 Q 从 C 点出发，沿射线 CB 也向点 B 方向运动。如果点 P 的速度是 4CM/秒，点 Q 的速度是 2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，PBQ 的面积是ABC 的面积的一半
2、？(3)在第（2）问题前提下，P,Q 两点之间的距离是多少？点评：此题关键是明确点 P、Q 在ABC 边上的位置，有三种情况。（1）当 0t6 时，P、Q 分别在 AB、BC 边上；（2）当 6t8 时，P、Q 分别在 AB 延长线上和 BC 边上；（3）当 t 8 时, P、Q 分别在 AB、BC 边上延长线上.然后分别用第一步的方法列方程求解.例 2: (北京市顺义 2010 年初三模考 )已知正方形 ABCD 的边长是 1， E 为 CD 边的中点， P 为正方形 ABCD 边上的一个动点，动点 P 从 A 点出发，沿 A B C E 运动，到达点 E.若点 P 经过的路程为自变量 x，
3、 APE 的面积为函数y， （1）写出 y 与 x 的关系式 (2)求当 y 时， x 的值等于多少？ 3点评:这个问题的关键是明确点 P 在四边形 ABCD 边上的位置,根据题意点 P 的位置分三种情况:分别在AB 上、BC 边上、EC 边上.例 3：(北京市顺义 2010 年初三模考)如图1 ，在直角梯形 ABCD 中，B=90，DCAB，动点 P 从 B 点出发，沿梯形的边由BC D A 运动，设点 P 运动的路程为 x ,ABP 的面积为 y , 如果关于 x 的函数 y 的图象如图 2 所示 ，那么ABC 的面积为（ ）A32 B18 C16 D10 例 4：（09 齐齐哈尔）直线
4、364与坐标轴分别交于 AB、 两点，动点PQ、同时从 O点出发，同时到达 A点，运动停止点 Q沿线段 O运动，速度为每秒 1 个单位长度，点 P沿路线 B 运动 （1）直接写出 、 两点的坐标；（2）设点 的运动时间为 t秒， OP 的面积为 S，求出 与 t之间的函数关系式；（3）当 485S时，求出点 的坐标，并直接写出以点 PQ、 、 为顶点的平行四边形的第四个顶点 M的坐标点评：本题关键是区分点 P 的位置：点 P 在 OB 上，点 P 在 BA 上。例 5：（2009 宁夏）已知：等边三角形 的边长为 4 厘米，长为 1 厘米的线段 在 的边 上沿 方向ABCNABC AB以 1
5、厘米/ 秒的速度向 点运动（运动开始时，点 与点 重合，点 到达点 时运动终止） ，过点 分别作 边的BM、垂线，与 的其它边交于 两点，线段 运动的时间为 秒AC Q、 Nt（1）线段 在运动的过程中， 为何值时，四边形 恰为矩形？并求出该矩形的面积；MNtQPACBxAO QPBy2 / 6（2）线段 在运动的过程中，四边形 的面积为 ，运动的时间为 求四边形 的面积 随运动时间MNMNQPStMNQPS变化的函数关系式，并写出自变量 的取值范围t t解：（1）过点 作 ，垂足为 则 ，CDAB2AD当 运动到被 垂直平分时，四边形 是矩形，即 时，3四边形 是矩形， 秒时，四边形 是矩形
6、MNQP32tMNQP，tan60A=32NPS四 边 形（2） 当 时， 1t1()MQP四 边 形 32t当 时， 2t ()2NPSN四 边 形 当 时，3t1()MQP四 边 形 732t点评：此题关键也是对 P、Q 两点的不同位置进行分类。例 6：（2009 四川乐山） 如图（15） ，在梯形 ABCD中， 906ABAD ， ， 厘米， 4C厘米，BC的坡度 34i ， 动点 从 出发以 2 厘米/ 秒的速度沿 方向向点 运动，动点 Q从点 B出发以 3 厘米/秒的速度沿D方向向点 运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止设动点运动的时间为 t秒（1）
7、求边 的长；（2）当 t为何值时， PC与 BQ相互平分；（3）连结 ， 设 的面积为 y， 探求 与 t的函数关系式，求 t为何值时， y有最大值？最大值是多少？6. 解：（1）作 EA于点 ，如图（3 ）所示，则四边形 AECD为矩形46ACD， 又 34iB ， 812B， 2 分在 RtB 中，由勾股定理得： 210BC（2）假设 P与 Q相互平分由 DA ， 则 PQ是平行四边形（此时 Q在 CD上） 即 3102Ctt， 解得 25， 即 t秒时， 与 B相互平分（3）当 在 B上，即 3t 时，作 FA于 ，则 CEF 图（3 ）CcDcAcBcQcPcEcCPQBA M NCP
8、QBA M NCPQBA M N3 / 6QFBCE， 即 396105ttQF 19(12)25PBQtSF = 281(3)5当 3t秒时， PBS 有最大值为 28厘 米 当 Q在 D上，即 1043t 时， 1(12)6PBQSCEt =3t易知 S随 t的增大而减小故当 t秒时， PB 有最大值为 203厘 米 29541038165436tty， ， 综上，当 t时， PBQS 有最大值为 2815厘 米 二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。例 7：（包头）如图，已知 中， 厘米， 厘米，点 为AC 10B8BCD的中点AB（1）
9、如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， 与 是否全等，P 请说明理由；若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使 与 全等？BPD CQ（2）若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿 三边运动，求经A过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 的哪条边上相遇？AB解：（1） 秒， 厘米，1t31 厘米，点 为 的中点， 厘米0ABD5D又 厘米， 厘米，
10、 8C， 8PPCBD又 ， ， CBQ ， ，PQv又 ， ，则 ，BD 45PB，点 ，点 运动的时间 秒， 厘米/秒43Bt 51QCvt（2）设经过 秒后点 与点 第一次相遇，由题意，得 ，解得 秒xP204x83xAQCDB P4 / 6点 共运动了 厘米P803 ，点 、点 在 边上相遇，经过 秒点 与点 第一次在边 上相遇24PQAB803PQAB例 8：（09 济南）如图，在梯形 中， 动点 从CD5425ADC ， ， ， ， M点出发沿线段 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 运动；动点 同时从 点出发沿线段 以每秒 1 个单位长度的速BCND度向终点 运动设运动的时间为
11、秒Dt（1）求 的长 （2）当 时，求 的值 （3）试探究： 为何值时， 为等腰三角形MNAB ttMN解：（1）如图，过 、 分别作 于 ， 于 ，则四边形 是矩形KHBAHK 在 中，3KHA Rt 2sin454A在， 中，由勾股定理得，2cos454BARtCD 2543C 310CC（2）如图，过 作 交 于 点，则四边形 是平行四边形DGAB CADGB MN 31037由题意知，当 、 运动到 秒时，t 2NtMt， 又 即 解得，C C57tt517（3）分三种情况讨论：当 时，如图，即 N02tt3当 时，如图，过 作 于MNCNEMC解法一：由等腰三角形三线合一性质得 10
12、252tt在 中， 又在 中， 解得RtE 5costNCRDH 3cosC5t258t（图）A DCB K H（图）A DCB G MNA DCB MN（图） （图）A DCB MNH E5 / 6ABOCDPQ 即 90CDHNEC ， DHC NE53t28t当 时，如图，过 作 于 点.MNMF12Ft解法一：（方法同中解法一）解得132cos05tFC6017t解法二： 9MDHC ， MFDHC 即 HC1235tt6017综上所述，当 、 或 时， 为等腰三角形0t8ttN例 9：（呼和浩特）如图，在直角梯形 ABCD 中，AD BC，ABC 90，AB12cm，AD8cm，BC
13、22cm，AB 为O 的直径，动点 P 从点 A 开始沿 AD 边向点 D 以 1cm/s 的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度运动，P、Q 分别从点 A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为 t(s)(1)当 t 为何值时，四边形 PQCD 为平行四边形？(2)当 t 为何值时， PQ 与O 相切？解：(1)直角梯形 B， AC P当 PDQC时，四边形 D为平行四边形由题意可知： 2tt，82t， 38t，当 ts时，四边形 PQCD为平行四边形 （2）解：设 与 O 相切于点 H， 过点 作 PEBC， 垂足
14、为直角梯形 AB， PE由题意可知： 2Btt， 2Qt23QtAB为 O 的直径， 90ACDABC、 为 O 的切线 APHQB，2PHPBQttt（图）A DCB HNMFOA P DB Q COA P DB Q CHE6 / 6在 RtPEQ 中， 22PQ221(3)()tt即： 8140t2180， ()90t29t， 7 分因为 在 AD边运动的时间为 81A秒，而 8tt（舍去）当 2t秒时， PQ与 O 相切例 10.如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm，P，Q，M ，N 分别从 A， B，C，D 出发沿 AD，BC ，CB ，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点
15、先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止已知在相同时间内，若 BQ=xcm( )，则0AP=2xcm，CM =3xcm，DN =x2cm（1）当 x 为何值时，以 PQ，MN 为两边,以矩形的边（AD 或 BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当 x 为何值时，以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形；（3）以 P，Q，M，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形 ?如果能，求 x 的值；如果不能，请说明理由解：（1）当点 P 与点 N 重合或点 Q 与点 M 重合时，以 PQ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或 BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形当点 P 与点 N 重合时，212
16、01xxx由 ， 得 ，（舍去） 因为 BQ+CM= 34(21)0x，此时点 Q 与点 M 不重合所以 符合题意当点 Q 与点 M 重合时，320,5xx由 得此时 250DNx，不符合题意故点 Q 与点 M 不能重合所以所求 x 的值为 1 （2）由（1）知，点 Q 只能在点 M 的左侧，当点 P 在点 N 的左侧时，由 220(3)0()xx，解得 120()xx舍 去 ， 当 x=2 时四边形 PQMN 是平行四边形当点 P 在点 N 的右侧时，由 2()()， 解得 12()4舍 去 ， 当 x=4 时四边形 NQMP 是平行四边形所以当 4x或 时，以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形 （3）过点 Q，M 分别作 AD 的垂线，垂足分别为点 E，F 由于 2xx，所以点 E 一定在点 P 的左侧若以 P， Q，M，N 为顶点的四边形是等腰梯形， 则点 F 一定在点 N 的右侧，且 PE=NF，即 23xx解得 120()4x舍 去 ， 由于当 x=4 时， 以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，所以,以 P，Q，M，N 为顶点的四边形不能为等腰梯形 ABDCPQ MN
