1、 个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司 湖墅校区 1学生： 科目： 数 学 教师： 刘美玲 一、二次函数和特殊多边形形状二、二次函数和特殊多边形面积三、函数动点引起的最值问题四、常考点汇总1、两点间的距离公式： 22BABAxy2、中点坐标：线段 的中点 的坐标为：BCy，直线 （ ）与 （ ）的位置关系：1bxky02bxky0（1）两直线平行 且 （2）两直线相交11 21k（3）两直线重合 且 （4）两直线垂直2121 213、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： 用 和参数的其他要求确定参数的取值范围； 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） 分析求解：若是分式，分母
2、是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。例：关于 x的一元二次方程 有两个整数根， 且 为整数，求 的值。0122 mxx5mm课 题 函数的综合压轴题型归类教学目标 1、 要学会利用特殊图形的性质去分析二次函数与特殊图形的关系2、 掌握特殊图形面积的各种求法重点、难点 1、 利用图形的性质找点2、 分解图形求面积教学内容个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司 湖墅校区 24、二次函数与 轴的交点为整数点问题。 （方法同上）x例：若抛物线 与 轴交于两个不同的整数点，且 为正整数，试确定312xmy m此抛物线的解析式。5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如
3、下：已知关于 的方程 （ 为实数） ，求证：无论 为何值，方程总x23(1)230xm有一个固定的根。解：当 时， ；0m当 时， ， ， 、 ；032x21x32112x综上所述：无论 为何值，方程总有一个固定的根是 1。6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线 （ 是常数） ，求证：不论 为何值，该抛物线总经过一个22mxy m固定的点，并求出固定点的坐标。解：把原解析式变形为关于 的方程 ；xxy12 ，解得： ；012xy1 抛物线总经过一个固定的点（1，1） 。（题目要求等价于：关于 的方程 不论 为何值，方程恒成立）mxmxy12小结：关于 的方程 有无数解xba0 ba7、路径
4、最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）（1）如图，直线 、 ，点 在 上，分别在 、 上确定两点 、 ，使得1l2A2l1l2MN之和最小。MNA个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司 湖墅校区 3（2）如图，直线 、 相交，两个固定点 、 ，分别在 、 上确定两点 、 ，使得1l2AB1l2MN之和最小。ANMB（3）如图， 是直线 同旁的两个定点，线段 ，在直线 上确定两点 、 （ 在BA、 l alEF的左侧 ） ，使得四边形 的周长最小。FEF8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法三角形的面积求解常用方法：如右图，S PAB =1/2 PMx=1/2 ANy9、函数的
5、交点问题：二次函数（ ）与一次函数（ ）cbxay 2 hkxy（1）解方程组 可求出两个图象交点的坐标。hkxyca 2（2）解方程组 ，即 ，通过 可判断两个图象的交b 202 hcxkba点的个数有两个交点 0仅有一个交点 没有交点 10、方程法（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度（2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量（3）列方程或关系式个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司 湖墅校区 411、几何分析法特别是构造“平行四边形” 、 “梯形” 、 “相似三角形” 、 “直角三角形” 、 “等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。几何要求 几何分析 涉及公式
6、应用图形跟平行有关的图形 平移 、2121kl 21xy平行四边形矩形梯形跟直角有关的图形勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等22BABAy直角三角形直角梯形矩形跟线段有关的图形利用几何中的全等、中垂线的性质等。22BABAx等腰三角形全等等腰梯形跟角有关的图形利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等【例题精讲】一 基础构图：y= （以下几种分类的函数解析式就是这个）32x和最小，差最大 在对称轴上找一点 P，使得 PB+PC 的和最小，求出 P 点坐标在对称轴上找一点 P，使得 PB-PC 的差最大，求出 P 点坐标求面积最大 连接 AC,在第四象限找一点 P，使得 面
7、积最大，求出 P 坐标AC 讨论直角三角 连接 AC,在对称轴上找一点P，使得 为直角三角形，ACO xyABCDO xyABCDO xyABCD个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司 湖墅校区 5求出 P 坐标或者在抛物线上求点 P，使ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形 讨论等腰三角 连接 AC,在对称轴上找一点 P，使得 为等腰三角形，AC求出 P 坐标 讨论平行四边形 1、点 E 在抛物线的对称轴上，点 F 在抛物线上，且以 B，A ，F， E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点 F 的坐标二 综合题型例 1 (中考变式）如图，抛物线 cbxy2与 x 轴交与 A(1,0),B(
8、-3，0)两点，顶点为D。交 Y 轴于 C(1)求该抛物线的解析式与ABC 的面积。(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点 M，使MBC 是以BCM 为直角的直角三角形，若存在，求出点 P 的坐标。若没有，请说明理由(3)若 E 为抛物线 B、C 两点间图象上的一个动点(不与 A、B 重合)，过 E 作 EF 与 X 轴垂直 ，交BC 于 F，设 E 点横坐标为 x.EF 的长度为 L，O xyABCD个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司 湖墅校区 6求 L 关于 X 的函数关系式？关写出 X 的取值范围？当 E 点运动到什么位置时，线段 EF 的值最大，并求此时 E 点的坐标？(4)在（
9、5）的情况下直线 BC 与抛物线的对称轴交于点 H。当 E 点运动到什么位置时,以点E、F、H、D 为顶点的四边形为平行四边形？(5)在（5）的情况下点 E 运动到什么位置时，使三角形 BCE 的面积最大？个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司 湖墅校区 7例 2 考点： 关于面积最值 如图，在平面直角坐标系中，点 A、C 的坐标分别为( 1， 0)、(0， )，点 B 在 x 轴上已知某3二次函数的图象经过 A、B、C 三点，且它的对称轴为直线 x1，点 P 为直线 BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点 P 与 B、C 不重合） ，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 F（1）求该
10、二次函数的解析式；（2）若设点 P 的横坐标为 m，试用含 m 的代数式表示线段 PF 的长；（3）求PBC 面积的最大值，并求此时点 P 的坐标例 3 考点：讨论等腰如图，已知抛物线 y x 2bx c 与 y 轴相交于 C，与 x 轴相交于 A、B ，点 A 的坐标为（2，0） ，1点 C 的坐标为（0，1） （1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是线段 AC 上一动点，过点 E 作 DEx 轴于点 D，连结 DC，当DCE 的面积最大时，求点 D 的坐标；（3）在直线 BC 上是否存在一点 P，使ACP 为等腰三角形，若存在，求点 P 的坐标，若不存在，说明理由DBCO AyxEBCO
11、A备用图yxyxBA FPx1CO个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司 湖墅校区 8例 4 考点：讨论直角三角 如图，已知点A（一1，0 ）和点B（1，2），在坐标轴上确定点P，使得ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（ ）(A）2个 （B）4个 （C） 6个（D）7个 已知：如图一次函数 y x1 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B；二次函数 y x 2 212bxc 的图象与一次函数 y x1 的图象交于 B、C 两点，与 x 轴交于 D、E 两点且 D 点坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形 BDEC 的面积 S；（3）在 x 轴上是否存在点
12、P，使得PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点 P，若不存在，请说明理由例 5 考点：讨论四边形已知：如图所示，关于 x 的抛物线 y ax 2xc（a0）与 x 轴交于点 A（ 2，0） ，点 B（6，0） ，与 y 轴交于点 C（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点 D，使四边形 ABDC 为等腰梯形，写出点 D 的坐标，并求出直线 AD 的解析式；（3）在（2）中的直线 AD 交抛物线的对称轴于点 M，抛物线上有一动点 P，x 轴上有一动点Q是否存在以 A、M、P 、Q 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点 Q 的坐标；如果不存在
13、，请说明理由OAByCxD E2BAyOCx个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司 湖墅校区 9综合练习：1、 平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 与 x 轴交于点 A、点 B，与 y 轴的正半轴24yaxac交于点 C，点 A 的坐标为(1, 0)，OB OC，抛物线的顶点为 D。(1) 求此抛物线的解析式；(2) 若此抛物线的对称轴上的点 P 满足APB ACB，求点 P 的坐标；(3) Q 为线段 BD 上一点，点 A 关于AQB 的平分线的对称点为 ，若 ，求点 Q 的A2BQ坐 标和此时 的面积。2、 在平面直角坐标系 中，已知二次函数 的图像与 轴交于点 ，与xOy2+yaxcy3
14、 0，C轴交于 A、B 两点，点 B 的坐标为 。x0 3，（1） 求二次函数的解析式及顶点 D 的坐标；（2） 点 M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线 OM 把四边形 ACDB 分成面积为 1 ：2 的两部分，求出此时点 的坐标；（3） 点 P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点 P 在何处时 的面积最大？最大面积CB是多少？并求出此时点 P 的坐标。3、 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴负半轴交于点 ，顶点为 ，xOyxmy2AB且对称轴与 轴交于点 。xC（1）求点 的坐标（用含 的代数式表示） ；Bm（2） 为 中点，直线 交 轴于 ，若 （0，2） ，求抛物线的解析
15、式；DADyE（3）在（2）的条件下，点 在直线 上，且使得 的周长最小， 在抛物线上， 在MOBAMCPQ直线 上，若以 为顶点的四边形是平行四边形，求点 的坐标。BCQP、个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司 湖墅校区 104、 已知关于 的方程 。x2(1)(4)30mx（1） 若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围；（2） 若正整数 满足 ，设二次函数 的图象与 轴交于82(1)(4)3ymxx两点，将此图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一AB、个新的图象；请你结合这个新的图象回答：当直线 与此图象恰好有三个公共点k时，求出 的值（只需要求出两个
16、满足题意的 k 值即可） 。k5 如图，抛物线 y=ax2+2ax+c（a0）与 y 轴交于点 C（0，4） ，与 x 轴交于点 A（4，0）和 B（1）求该抛物线的解析式；（2）点 Q 是线段 AB 上的动点，过点 Q 作 QEAC，交 BC 于点 E，连接 CQ当CEQ 的面积最大时，求点 Q 的坐标；（3）平行于 x 轴的动直线 l 与该抛物线交于点 P，与直线 AC 交于点F，点 D 的坐标为（ 2，0） 问是否有直线 l，使 ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在，请说 明理由三、中考二次函数代数型综合题题型一、抛物线与 x 轴的两个交点分别位于某定点的两侧例 1已知二次函数 y x 2( m1) x m2 的图象与 x 轴相交于 A（ x1，0） ， B（ x2，0）两点，且x1 x2（1）若 x1x20，且 m 为正整数，求该二次函数的表达式；（2）若 x11， x21，求 m 的取值范围；（3）是否存在实数 m，使得过 A、 B 两点的圆与 y 轴相切于点 C（0，2） ，若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由；（4）若过点 D（0，）的直线与（1）中的二次函数图象相交于 M、 N 两点，且 ，求该直线12 MDDN 13的表达式
