1、二次函数与面积之铅垂高一教学目的1.让学生经历探索的过程，观察图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，促进培养学生解决问题的能力2理解用“鉛锤高，水平宽”求不规则三角形面积的方法，并用此方法解决二次函数与几何图形的综合题中有关三角形面积计算的问题。二重点难点1 灵活应用铅垂高进行二次函数与几何图形的综合题中有关三角形面积计算的问题。2 铅垂高的寻找方法，以及用坐标表示线段三教学方法先让学生阅读理解，自主探究，引导学生掌握方法，讲练结合四教学过程例 1 阅读材料：如图 12-1，过ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC 的“水平宽”(a) ，中间的这条
2、直线在ABC 内部线段的长度叫 ABC 的“铅垂高(h) ”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法： ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.ahSABC21解答下列问题：如图 12-2，抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x 轴于点 A(3,0)，交 y 轴于点 B.(1)求抛物线和直线 AB 的解析式；(2)点 P 是抛物线(在第一象限内 )上的一个动点，连结 PA，PB，当 P 点运动到顶点 C 时，求CAB 的铅垂高 CD 及 ；CABS(3)是否存在一点 P，使 SPAB = SCAB ，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，89请说明理由.图 12-2xCOyABD11BC铅
3、垂高水平宽h a 图 12-1A2例 1 解：(1)设抛物线的解析式为： 1 分4)1(21xay把 A（3,0）代入解析式求得所以 3 分34)(221xy设直线 AB 的解析式为： bkxy2由 求得 B 点的坐标为 4 分321xy ),0(把 ， 代入 中)0,3(A),(kxy2解得： bk所以 6 分2xy(2)因为 C 点坐标为(,4)所以当 x时，y 14，y 2 2所以 CD4-22 8 分(平方单位 ) 10 分3CABS(3)假设存在符合条件的点 P，设 P 点的横坐标为 x，PAB 的铅垂高为 h，则 12 分xyh 3)()2( 221 由 SPAB = SCAB89
4、得： 389)(322x化简得： 014解得， x将 代入 中，23321xy解得 P 点坐标为 14 分)45,(总结：求不规则三角形面积时不妨利用铅垂高。铅垂高的表示方法是解决问题的关键，要学会用坐标表示线段。例 2（2010 广东省中考拟）如图 10，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为 D 点，与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A、B 两点，)0(acbxyA 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0） ，OBOC ，tanACO 31（1）求这个二次函数的表达式（2）经过 C、D 两点的直线，与 x 轴交于点 E，在该抛物线上是否存在这样的点 F，使以点 A、C、E、F 为
5、顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由（3）若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于 M、N 两点，且以 MN 为直径的圆与 x 轴相切，求该圆半径的长度（4）如图 11，若点 G（2，y）是该抛物线上一点，点 P 是直线 AG 下方的抛物线上一动点，当点 P 运动到什么位置时，APG 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和APG 的最大面积.1）方法一：由已知得：C（0，3） ，A（1，0） 将 A、B、C 三点的坐标代入得 39cba解得： 321cba所以这个二次函数的表达式为： 32xy方法二：由已知得：C（0，3） ，A（1，0） 设该表达式为： )(
6、xay将 C 点的坐标代入得： 所以这个二次函数的表达式为： 32xy_y_x_O_E_D_C_B_A图 10 _G_A _B_C_D_O _x_y图 11（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）（2）方法一：存在，F 点的坐标为（2，3） 理由：易得 D（1，4） ，所以直线 CD 的解析式为： 3xyE 点的坐标为（3，0） 由 A、C、E、F 四点的坐标得：AECF2，AECF以 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形存在点 F，坐标为（2，3） 方法二：易得 D（1，4） ，所以直线 CD 的解析式为： 3xyE 点的坐标为（3，0） 以 A、C、E、F 为顶点的四边形
7、为平行四边形F 点的坐标为（2，3）或（2，3）或（4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，3）符合存在点 F，坐标为（2，3） （3）如图，当直线 MN 在 x 轴上方时，设圆的半径为 R（R0） ，则 N（R+1，R） ，代入抛物线的表达式，解得 217R当直线 MN 在 x 轴下方时，设圆的半径为 r（r0） ，则 N（r+1，r） ，代入抛物线的表达式，解得 217r圆的半径为 或 217（4）过点 P 作 y 轴的平行线与 AG 交于点 Q，易得 G（2，3） ，直线 AG 为 1xy设 P（x， ） ，则 Q（x，x1） ，PQ x 2x3)2(SSGPAQG当 时，APG 的
8、面积最大21xRRrr11NNMMA BDO xy此时 P 点的坐标为 ， 415,2827的 最 大 值 为APGS随堂练习 1 （2010 江苏无锡）如图，矩形 ABCD 的顶点 A、B 的坐标分别为（-4，0）和（2，0） ，BC= 设直线 AC 与直线 x=4 交于点 E23（1）求以直线 x=4 为对称轴，且过 C 与原点 O 的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点 E；（2）设（1）中的抛物线与 x 轴的另一个交点为 N，M 是该抛物线上位于 C、N 之间的一动点，求CMN 面积的最大值 x=4 xy ED CBA O【答案】解：（1）点 C 的坐标 设抛物线的函数关系式为
9、，(2,3)2(4)yaxm则 ，解得60423am8,.6am所求抛物线的函数关系式为 233(4)yx设直线 AC 的函数关系式为 则 ，解得 ,ykxb023kb34,kb直线 AC 的函数关系式为 ，点 E 的坐标为348(,)把 x=4 代入式，得 ，此抛物线过 E 点283()6y（2） （1）中抛物线与 x 轴的另一个交点为 N（8，0） ，设 M（x，y） ，过 M 作 MGx 轴于 G，则 SCMN=SMNG+S 梯形 MGBCSCBN=1(8)(23)(2)32xyxA=2 234338()385836yxxxx=29(5),当 x=5 时，SCMN 有最大值932课下练习
10、 1(本题满分 12 分 )已知：如图一次函数 y 12x1 的图象与 x 轴交于点 A，与y 轴交于点 B；二次函数 y 12x2bxc 的图象与一次函数 y x1 的图象交于 B、C两点，与 x 轴交于 D、E 两点且 D 点坐标为(1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形 BDEC 的面积 S；(3)在 x 轴上是否存在点 P，使得PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点 P，若不存在，请说明理由3 （2010 山东临沂）如图，二次函数 的图象与 轴交于 ,2yxabx1(0)2A两点，且与 轴交于点 .(2,0)ByC（1）求该抛物线的解析式，并判断 的形
11、状；AB（2）在 轴上方的抛物线上有一点 ,且以 四点为顶点的四边形是等腰梯xDB、形，请直接写出 点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点 ,使得以 四点为顶点的四边形是直角梯形？PP若存在，求出 点的坐标；若不存在，说明理由.第 24 题图第 26 题图【答案】解：根据题意，将 A（ ,0）,B（2,0）代入 y=-x2+ax+b 中，12得10,42.ab解这个方程，得 全品中考网3,1.b所以抛物线的解析式为 y=-x2+ x+1.32当 x=0 时，y=1.所以点 C 的坐标为（0，1） 。所以在AOC 中，AC= = .2OA5在BOC 中，BC= = .BAB=OA+OB= .15
12、2因为 AC2+BC2= .24AB所以ABC 是直角三角形。（2）点 D 的坐标是 .3,12（3）存在。由（1）知，ACBC, 若以 BC 为底边，则 BCAP,如图（1）所示，可求得直线 BC 的解析式为.2yx直线 AP 可以看作是由直线 AC 平移得到的，所以设直线 AP 的解析式为 ，12yxb将 A（ ,0）代入直线 AP 的解析式求得 b= ,所1214以直线 AP 的解析式为 .12yx因为点 P 既在抛物线上，又在直线 AP 上，所以点 P 的纵坐标相等，即-x2+ x+1=32.124x解得 （不合题意，舍去）.125当 x= 时，y= .3所以点 P 的坐标为（ ， ）
13、.52若以 AC 为底边，则 BPAC，如图（2）所示，可求得直线 AC 的解析式为.21yx直线 BP 可以看作是由直线 AC 平移得到的，所以设直线 BP 的解析式为 ，2yxb将 B（2,0）代入直线 BP 的解析式求得 b=-4,所以直图 1图 2 线 BP 的解析式为 y=2x-4.因为点 P 既在抛物线上，又在直线 BP 上，所以点 P 的纵坐标相等，即-x2+ x+1=2x-432解得 （不合题意，舍去）.125,x当 x=- 时，y=-9.所以点 P 的坐标为（- ，-9）.52综上所述，满足题目的点 P 的坐标为（ ， ）或（- ，-9）523522(本题 10 分) 如图，
14、已知二次函数 y= 的图象与 y 轴交于点 A，与 x 轴41x交于 B、C 两点，其对称轴与 x 轴交于点 D，连接 AC(1)点 A 的坐标为 _ ，点 C 的坐标为_ ；(2)线段 AC 上是否存在点 E，使得EDC 为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点 E 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点 P 为 x 轴上方的抛物线上的一个动点，连接 PA、PC，若所得 PAC 的面积为S，则 S 取何值时，相应的点 P 有且只有 2 个?解：（1）A（0，4） ，C（ 8，0） 2 分（2）易得 D（3，0） ，CD=5设直线 AC 对应的函数关系式为 ykxb，则,8.bk解得1,24
15、.kb142yx 3分 当 DE=DC 时， OA=4 ，OD=3DA =5， 1E（0， 4） 4分当 ED=EC 时，可得 2E（1，54） 5 分当 CD=CE 时，如图，过点 E 作 EGCD，则CEG CAO，GCOA即 5EG， 25， 3（ 825， ） 6分综上，符合条件的点 E 有三个： 1（0，4） ， 2E（1，54） ， 3E（ 825， ） （3）如图，过 P 作 PHOC ，垂足为 H，交直线 AC 于点 Q设 P（m，2134） ，则 Q（ m， ） 当 08时， PQ=（2） (142)=2， 28)(4)16APCQAPSS，7 分 016； 8 分当 2m时， PQ=（ 4） (2134m)=21，228()()6APCQAPSS， 029分故 16时，相应的点 P 有且只有两个
