1、借助方程求解数轴上动点问题湖北省黄石市下陆中学 宋毓彬数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。为了便于初一年级学生对这类问题的分析，不妨先明确以下几个问题：1数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。即数轴上两点间的距离=右边点表示的数左边点表示的数。2点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向作运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。即一个点表示的数为 a，向左运动 b 个单位后表示的数为 ab；向右运动 b 个单位后所表示的数为 a+b。3数轴是数形结合的产物
2、，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。例 1已知数轴上有 A、B、C 三点，分别代表24，10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从 A、C 两点同时相向而行，甲的速度为 4 个单位/秒。问多少秒后，甲到 A、B、C 的距离和为 40 个单位？若乙的速度为 6 个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从 A、C 两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？在的条件下，当甲到 A、B、C 的距离和为 40 个单位时，甲调头返回。问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由。分析：如图 1，易求得 AB=14，BC=20 ，AC=3
3、4设 x 秒后，甲到 A、B、C 的距离和为 40 个单位。此时甲表示的数为24+4x。甲在 AB 之间时，甲到 A、B 的距离和为 AB=14甲到 C 的距离为 10（24+4x）=344x依题意，14+（344x）=40 ，解得 x=2甲在 BC 之间时，甲到 B、 C 的距离和为 BC=20，甲到 A 的距离为 4x依题意，20+4x）=40 ，解得 x=5即 2 秒或 5 秒，甲到 A、B、C 的距离和为 40 个单位。是一个相向而行的相遇问题。设运动 t 秒相遇。依题意有，4t+6t=34，解得 t=3.4相遇点表示的数为24+43.4=10.4 （或：1063.4=10.4）甲到
4、A、B、C 的距离和为 40 个单位时，甲调头返回。而甲到 A、B、C 的距离和为 40 个单位时，即的位置有两种情况，需分类讨论。甲从 A 向右运动 2 秒时返回。设 y 秒后与乙相遇。此时甲、乙表示在数轴上为同一点，所表示的数相同。甲表示的数为：24+424y；乙表示的数为：10626y依题意有，24+424y=10626y，解得 y=7相遇点表示的数为：24+424y=44 （或：10626y=44）甲从 A 向右运动 5 秒时返回。设 y 秒后与乙相遇。甲表示的数为：24+454y；乙表示的数为：10656y依题意有，24+454y=10656y，解得 y=8（不合题意，舍去）即甲从
5、A 点向右运动 2 秒后调头返回，能在数轴上与乙相遇，相遇点表示的数为44。点评：分析数轴上点的运动，要结合数轴上的线段关系进行分析。点运动后所表示的数，以起点所表示的数为基准，向右运动加上运动的距离，即终点所表示的数；向左运动减去运动的距离，即终点所表示的数。例 2如图，已知 A、B 分别为数轴上两点，A 点对应的数为20，B 点对应的数为100。求 AB 中点 M 对应的数；现有一只电子蚂蚁 P 从 B 点出发，以 6 个单位/ 秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 A 点出发，以 4 个单位/ 秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的 C点相遇，求 C 点对应的数；若当电子
6、蚂蚁 P 从 B 点出发时，以 6 个单位/ 秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 A 点出发，以 4 个单位/ 秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的 D点相遇，求 D 点对应的数。分析：设 AB 中点 M 对应的数为 x，由 BM=MA所以 x（20）=100x，解得 x=40 即 AB 中点 M 对应的数为 40易知数轴上两点 AB 距离，AB=140，设 PQ 相向而行 t 秒在 C 点相遇，依题意有，4t+6t=120，解得 t=12（或由 P、Q 运动到 C 所表示的数相同，得20+4t=100 6t，t=12）相遇 C 点表示的数为：20+4t=28（或 100
7、6t=28）设运动 y 秒，P、Q 在 D 点相遇，则此时 P 表示的数为 1006y，Q 表示的数为204y。P、Q 为同向而行的追及问题。依题意有，6y4y=120，解得 y=60（或由 P、Q 运动到 C 所表示的数相同，得204y=1006y，y=60）D 点表示的数为：204y=260 （或 1006y=260）点评：熟悉数轴上两点间距离以及数轴上动点坐标的表示方法是解决本题的关键。是一个相向而行的相遇问题；是一个同向而行的追及问题。在、中求出相遇或追及的时间是基础。例 3已知数轴上两点 A、B 对应的数分别为1，3，点 P 为数轴上一动点，其对应的数为 x。若点 P 到点 A、点
8、B 的距离相等，求点 P 对应的数；数轴上是否存在点 P，使点 P 到点 A、点 B 的距离之和为 5？若存在，请求出 x 的值。若不存在，请说明理由？当点 P 以每分钟一个单位长度的速度从 O 点向左运动时，点 A 以每分钟 5 个单位长度向左运动，点 B 一每分钟 20 个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后 P 点到点 A、点 B 的距离相等？分析：如图，若点 P 到点 A、点 B 的距离相等，P 为 AB 的中点，BP=PA。依题意，3x=x（1），解得 x=1由 AB=4，若存在点 P 到点 A、点 B 的距离之和为 5， P 不可能在线段 AB 上，只能在 A 点左侧，或 B
9、 点右侧。P 在点 A 左侧， PA=1x，PB=3x依题意，（1x）+（3x）=5，解得 x= 1.5P 在点 B 右侧，PA=x （1）=x+1，PB=x3依题意，（x+1）+ （x3）=5，解得 x=3.5点 P、点 A、点 B 同时向左运动，点 B 的运动速度最快，点 P 的运动速度最慢。故P 点总位于 A 点右侧， B 可能追上并超过 A。P 到 A、B 的距离相等，应分两种情况讨论。设运动 t 分钟，此时 P 对应的数为t ，B 对应的数为 320t，A 对应的数为15t。B 未追上 A 时，PA=PA，则 P 为 AB 中点。B 在 P 的右侧，A 在 P 的左侧。PA=t（15
10、t）=1+4t，PB=320t（t）=319t依题意有，1+4t=319t，解得 t=B 追上 A 时，A、B 重合，此时 PA=PB。A 、B 表示同一个数。依题意有，15t=3 20t，解得 t=即运动 或 分钟时，P 到 A、B 的距离相等。点评：中先找出运动过程中 P、A、B 在数轴上对应的数，再根据其位置关系确定两点间距离的关系式，这样就理顺了整个运动过程。例 4点 A1、A 2、A 3、A n（n 为正整数）都在数轴上，点 A1 在原点 O 的左边，且 A1O=1，点 A2 在点 A1 的右边，且 A2A1=2，点 A3 在点 A2 的左边，且 A3A2=3，点 A4 在点 A3
11、的右边，且 A4A3=4， ，依照上述规律点 A2008、A 2009 所表示的数分别为（ ）。A2008，2009 B2008，2009 C1004，1005 D1004，1004分析：如图，点 A1 表示的数为1；点 A2 表示的数为1+2=1；点 A3 表示的数为1+2 3=2；点 A4 表示的数为1+2 3+4=2 点 A2008 表示的数为1+2 3+42007+2008=1004点 A2009 表示的数为1+2 3+42007+20082009=1005点评：数轴上一个点表示的数为 a，向左运动 b 个单位后表示的数为 ab；向右运动b 个单位后所表示的数为 a+b。运用这一特征探
12、究变化规律时，要注意在循环往返运动过程中的方向变化。练习题：1已知数轴上 A、B 两点对应数分别为2，4，P 为数轴上一动点，对应数为 x。若 P 为线段 AB 的三等分点，求 P 点对应的数。数轴上是否存在 P 点，使 P 点到 A、B 距离和为 10？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由。若点 A、点 B 和 P 点（P 点在原点）同时向左运动。它们的速度分别为 1、2、1 个单位长度/分钟，则第几分钟时 P 为 AB 的中点？（参考答案：0 或 2；4 或 6；2）2电子跳蚤落在数轴上的某点 K0，第一步从 K0 向左跳一个单位到 K1，第二步由 K1向右跳 2 个单位到 K2，第三步由 K2 向左跳 3 个单位到 K3，第四步由 K3 向右跳 4 个单位到 K4按以上规律跳了 100 步时，电子跳蚤落在数轴上的 K100 所表示的数恰是 19.94。试求电子跳蚤的初始位置 K0 点表示的数。（提示：设 K0 点表示的数为 x，用含 x 的式子表示出 K100 所表示的数，建立方程，求得 x=30.06）
