1、BAODCE图 8七年级下三角形综合题归类一、 双等边三角形模型1. （1）如图 7，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD，连结 AC 和 BD，相交于点 E，连结 BC求AEB 的大小；（2 ）如图 8，OAB 固定不动，保持 OCD 的形状和大小不变，将 OCD 绕着点 O 旋转（OAB 和 OCD 不能重叠） ，求AEB 的大小.2. 已知:点 C 为线段 AB 上一点，ACM,CBN 都是等边三角形，且 AN、BM 相交于 O. 求证：AN=BM 求 AOB 的度数。 若 AN、MC 相交于点 P，BM
2、 、NC 交于点 Q，求证：PQ AB 。（湘潭中考题）同类变式： 如图 a，ABC 和CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点 C，连接 AF 和 BE.(1)线段 AF 和 BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图 a 中的CEF 绕点 C 旋转一定的角度，得到图 b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图 a 中的ABC 绕点 C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形 c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.图 cC BOD图 7AEA BCMNOP Q3. 如图 9，若 和 为等边三角形， 分别为 的中点，易证：AB
3、CDE,MN,EBCD， 是等边三角形CDEMN（1）当把 绕 点旋转到图 10 的位置时， 是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由； （2）当 绕 点旋转到图 11 的位置时， 是否还是等边三角形？若是，AAN请给出证明，若不是，请说明理由 同类变式：已知，如图所示，在 ABC 和 DE 中， ABC， DAE，BACDE，且点 ， ， 在一条直线上，连接 MN， ， ， 分别为，的中点（1 ）求证： ； ；NM（2 ）在图的基础上，将 AE 绕点 按顺时针方向旋转 180，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立 . 图 9 图 10 图 11图
4、8CENDABM图CAEMB DN图4. 如图，四边形 ABCD 和四边形 AEFG 均为正方形，连接 BG 与 DE 相交于点 H（1）证明： ABG ADE ；（2）试猜想 BHD 的度数，并说明理由；（3）将图中正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转（0 BAE 180） ，设 ABE 的面积为 ， ADG 的面积为 ，判断 与 的大小关系，并给予证明1S2S125.已知：如图， 是等边三角形，过 边上的点 作 ，交 于点 ，ABC ABDGBC AG在 的延长线上取点 ，使 ，连接 GDEDE，（1 ）求证： ； （2 ）过点 作 ，交 于点 ，请你连接 ，并判断 是怎样的三角F FE
5、F形，试证明你的结论 C G A E D B F 二、 垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）考点 1：利用垂直证明角相等1. 如图，ABC 中， ACB 90，AC BC，AE 是 BC 边上的中线，过 C 作 CFAE，垂足为 F，过 B 作 BDBC 交 CF 的延长线于 D求证：（1）AECD； （2）若 AC12 cm，求 BD 的长 CFGEDBAH2. （西安中考）如图(1), 已知ABC 中, BAC=90 0, AB=AC, AE 是过A 的一条直线, 且 B、C 在 A、E 的异侧, BDAE 于 D, CEAE 于 E 。 图(1) 图(2) 图(3)(1)
6、试说明: BD=DE+CE.(2) 若直线 AE 绕 A 点旋转到图(2)位置时(BDCE), 其余条件不变, 问 BD 与 DE、CE 的关系如何? 写出结论,可不说明理由。3. 直线 CD 经过 BCA的顶点 C，CA=CB E 、 F 分别是直线 CD 上两点，且BECFA（1 ）若直线 CD 经过 的内部，且 E、 F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：如图 1，若 ，则 BA（填“ ”， “”或90,“”号） ；如图 2，若 18BCA，若使中的结论仍然成立，则 与 C 应满足的关系是 ；（2 ）如图 3，若直线 CD 经过 的外部， BCA，请探究 EF、与 BE、 AF 三条
7、线段的数量关系，并给予证明ABCE F D DABCE FADFCEB图 1 图 2 图 3考点 2：利用角相等证明垂直1. 已知 BE，CF 是ABC 的高，且 BP=AC，CQ=AB，试确定 AP 与 AQ 的数量关系和位置关系2. 如图，在等腰 Rt ABC 中， ACB=90， D 为 BC 的中点， DE AB，垂足为 E，过点 B作 BF AC 交 DE 的延长线于点 F，连接 CF(1)求证：CD=BF；(2)求证：ADCF；(3)连接 AF，试判断 ACF 的形状.拓展巩固：如图 9 所示，ABC 是等腰直角三角形，ACB90 ，AD 是 BC 边上的中线，过 C 作 AD 的
8、垂线，交 AB 于点 E，交 AD 于点 F，求证： ADC BDEBACEFQPDA BCDEF图 9（提示：对比此题的条件和上面那题的条件，对比此题的图形和上题的图像，有什么区别和联系？）3. 如图1，已知正方形 的边 在正方形 的边 上，连接 ， .ABCDDEFGAEGC（1 ）试猜想 与 有怎样的位置关系，并证明你的结论；EG（2 ）将正方形 绕点 按顺时针方向旋转，使 点落在 边上，如图2 ，连接FB和 .你认为（ 1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理A由.4.如图 1， 的边 BC 在直线 上， 且 的边 也ABCl,ACB,CEFP在直线 上，边 与边
9、重合，且lEFEFP（1） 在图 1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出 与 所满足的A数量关系和位置关系；（2） 将 沿直线 向左平移到图 2 的位置时， 交 于点 ,连接Pl Q.猜想并写出 与 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；,APBQBA（3）将 沿直线 向左平移到图 3 的位置时， 的延长线交 的延长EFl EPC线于点 Q,连结 ,你认为（2）中所猜想的 与 的数量关系和位置关系和位BQA置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由. l(1)AB (F)(E)C PABECF PQ(2) l三、 等腰三角形（中考重难点之一）考点 1：等腰三角形性质的应用1.
10、 如图， 中， ， ， 是 中点， ， 与 交ABCA90BCDBCEFDAB于 ， 与 交于 求证： ， EFDFEAF AB CDEF2. 两个全等的含 ， 角的三角板 和三角板 ，如图所示放置， 三点306ADEBC,EAC在一条直线上，连结 ，取 的中点 ， 连结 试判断 的形状，并BM,M说明理由MEDCBA压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知 中， ， ， 为RtABC90C边的中点， ， 绕 点旋转，它的两边分别交 、 （或它们的AB90EDFFDB延长线）于 、 当 绕 点旋转到 于 时（如图 1） ，易证 当ACE12DEFCACSS绕 点旋转到 和 不垂直时，在图 2 和
11、图 3 这两种情况下，上述结论是否成EF立? 若成立，请给予证明；若不成立， ， ， 又有怎样的数量关系？请写出DEFSCABC你的猜想，不需证明ABECF Pl(3)QFE DC BA1AEC FBD2AEC FBD3提示：此题为上面题目的综合应用，思路与第一题相似。3. 已知：如图，ABC 中，ABC=45，CDAB 于 D， BE 平分ABC ，且 BEAC 于 E，与 CD 相交于点 F，H 是 BC 边的中点，连结 DH 与 BE 相交于点 G。(1) BF=AC (2) CE= 12BF (3)CE 与 BC 的大小关系如何。考点 2：等腰直角三角形（45 度的联想）1. 如图 1
12、，四边形 ABCD 是正方形，M 是 AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点 D，且直角顶点 E 在 AB 边上滑动（点 E 不与点 A，B 重合） ，另一条直角边与CBM的平分线 BF 相交于点 F. 如图 141，当点 E 在 AB 边的中点位置时： 通过测量 DE，EF 的长度，猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是 ； 连接点 E 与 AD 边的中点 N，猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是 ； 请证明你的上述两猜想. 如图 142，当点 E 在 AB 边上的任意位置时，请你在 AD 边上找到一点 N, 使得 NE=BF，进而猜想此时 DE 与 EF 有怎样的数量关系并证明
13、2. 在 RtABC 中， ACBC，ACB 90，D 是 AC 的中点，DG AC 交 AB 于点 G.（1 ）如图 1，E 为线段 DC 上任意一点，点 F 在线段 DG 上，且 DE=DF，连结 EF 与 CF，过点 F 作 FHFC，交直线 AB 于点 H求证：DG=DC判断 FH 与 FC 的数量关系并加以证明（2）若 E 为线段 DC 的延长线上任意一点，点 F 在射线 DG 上，(1)中的其他条件不变，借助图 2 画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变 （本小题直接写出结论，不必证明）同类变式：（期末考试原题哦） 已知：ABC 为等边
14、三角形，M 是 BC 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点 A，且 60 角的顶点 E 在 BC 上滑动， （点 E 不与点 B、C 重合），斜边与ACM 的平分线 CF 交于点 F（1 ）如图（1 ）当点 E 在 BC 边得中点位置时猜想 AE 与 EF 满足的数量关系是 . 1A DBCGE图 2G HFED CBA图 1连结点 E 与边得中点，猜想和满足的数量关系是 . 2请证明你的上述猜想； 3（）如图（）当点在边得任意位置时，和 EF 有怎样的数量关系，并说明你的理由？四、 角平分线问题1. 如图：E 在线段 CD 上，EA、EB 分别平分DAB 和CBA, AEB=90,设
15、AD , xBC ，且 满足y,x268250yx（1）求 AD 和 BC 的长；（2）你认为 AD 和 BC 还有什么关系？并验证你的结论；（3）你能求出 AB 的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由.2. 如图，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1 ）如图，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分别是BAC 、BCA的平分线，AD 、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；（2 ）如图，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。3.(北京市中考模拟题)如图，在四边形 中， 平分 ，过 作 ，ABCDBADCEAB于并且 ，则 等于多少？1()2AEBD1N FMCBAE2FMCBAEACBDE(第 23 题图 )O PAMNEBCDFA CEFBD图 图 图
