1、http:/- 1 -动图中的函数关系 图形中引入动点以后 ，随着点 的移动，便会引起其他相关量的变化，这样就会出现变量之间的函数关系；而动点在运动过程中，也会引起相关图形的变化，这样就可能产生特定形状、特定位置或特定关系的图形。这些问题就需要借助方程来解决。但不管是动点问题引出的函数。还是由动点引出的方程，却都需要借助于几何计算来建立。因此，几何计算才是图形动点问题得以解决的真正核心基础，也即一、图形中动点形成的函数例 1 如图（1）， 中， 点 P 是 AC 上的动点（PABCRt,5,4,90BAC不与 A，C 重合）。 ，点 P 到 AB 的距离为 。（ 1）求 与 的函数关系式；xy
2、yx（2）试讨论以 P 为圆心，半径为 的圆与 AB 所在直线的位置关系，并指出相应的 取值x范围。（1） （1）【观察与思考】（1）如图（1），若 于 Q，要建立 PQ 和 CP 的函数关系，可ABP以通过 和 APQRtBCt的相似关系。（2）就是讨论P 的半径（即 ）和圆心 P 到 AB 的距离x（即 ）的大小关系。y解：（1）过 P 作 于 Q，如图（1），则 ，yPQ易知 ， ，AQRtCBt AB:图形动点问题通过几何计算（主要是解直角形和三角形的相似关系函数（变化规律）方程（特定形状的图形、特定位置的图形、特定关系的图形）ACBPACBPQhttp:/- 2 -化简得： 。,54
3、3xy)40(5123xy（2）令 ，即 解得 ，此时P 与直线 AB 相切。,x3对应地有： 时，P 与直线 AB 相离； 时，P 与直线 AB 相交。202x【说明】本题的关键就是通过两直角三角形相似关系构成的比例等式导出函数关系式，再通过P 和 AB 相切这一特殊情况来判断P 和 AB 的三种位置关系。例 2 如图（1），已知 P 为 的边 上的一点，以 P 为顶点的 的两边分AOBMN别交射线 于 两点，且 为锐角）。当 以点 P 为OBNM, (旋转中心，从 PM 边与 重合的位置开始，按逆时针方向旋转（ 保持不变）时，两点在射线 上同时以不同的速度向右平行移动。设,， 的面积为 。
4、若 。)0(,xyNxPOS2,3sinOP（1）当 旋转 30（即 ）时，求点 N 移动的距离；MPN30（2）写出 与 之间的关系式； （1）（3）试写出 随 变化的函数关系式，并确定 的取值范围。Sx【观察与思考】首先要把题目的背景分析清楚： 为锐角，且 ，得 ；23sin60 旋转前，PM 边与 边重合，对应的图形为图，其中 是边长为 2 的MPNPOPMN等边三角形。 对于问题（1）， 旋转 30后变为图形，可知此时 和 都是直角MPNPOMN三角形，弄清楚这些特点，问题很容易解决。对于问题（2）和（3），又要回到原题图，借助直角三角形及相似三角形，通过几何计算可求出函数的表达式。解
5、：（1）初始状态时， 是边长为 2 的等边三角形（如图），当 旋转O30到 位置时对应的图形为图（）。PN。30,60,0PONPMBAOAPNBMOAPBNO（M）6060APBN（M）3060 http:/- 3 -在 中， 。OPNRt2,42 ONP点 N 的移动距离为 2。（2）如图（1）在 和 中， 。MPNMOP,60 ， ，即 。PNM2，（）,xyOMO2 xyy2)(过 P 点作 ，垂足为 D（如图），B在 中， ，Rt,160cos 360sinPD。1yND在 中， ，（）Pt 42)()32222 yyNP由（）和（）式得 ，即 。4yxx（3）在 中，OM 边上的高
6、 PD 为 ，（见图）。OM。xxPDS23121即 。,0,y又 的取值范围是 。 （）xx是 的正比例函数，且比例系数 ，即 。S 230,23S30S【说明】、对于运动中变化中的图形，在题目的图示中往往只给出一种一般情况下的图形，但要把题目的全部背景和整个变化过程搞清楚，就需要如本题那样，仔细研究图形变动的每种形态和联系。、由本题的解可以看出，要顺利建立出函数关系式，关键在于发现题目中的三角形之相似关系以及恰当地引用和构造直角三角形。【练习】1、如图，在矩形 中，ABCDP 为 AC 的中点，直线,4,3BCA，且分别与 AB，BC 相交于点 E，F。MN/设 的面积为 ，求 关于 的函
7、,xFEyx数关系式。APN BMODAB CDPNMFEhttp:/- 4 -例 3 如图（1），已知直角梯形 中，ABCD动点cmcmBCAD13,8,12,90,/ P 沿 的路线以 秒的速度向 C 运动，动点 Q 沿 线/路以 秒的速度向 C 运动， P，Q 两点分别从 A，B 同时出发，当其中一点到达 C 点时，/cm另一点也随之停止。设运动时间为 秒， 的面积为 。tyc（1）求 AD 的长及 的取值范围；t（2）求 关于 的函数关系式，并具体描述在 P，Q 运动过程中， 的面积随 变化y PBt而增大或减小的情况。【观察与思考】 首先，要把题目的背景搞清楚，如图（1），将 AB
8、平移至DE，易得 ，即得 。5EC3AD其次，要把运动全过程搞清楚：首先从时间上来看，点 Q 共可运动 8 秒；点 P在 AD 上运动 秒，在 DC 上运动 秒，也是共运动 8 秒，再看 的变 （1）.15.6B动情况：当 时，点 P 在 AD 上，此阶段图形大致如图（ 2），而在50t时，此阶段图形大致如图（3）。85.t把这些情况都搞清楚了，问题（1）和问题（2）就容易解决了。（1） （2） （3）解：（1）在梯形 中， 过 D 作 于 E 点。ABCD,90,/BBC在 中， ， 。ERt 5123,13,2ECcmc )(3cmA点 P 从出发到点 C 共需 （秒），点 Q 从出发到
9、C 共需 （秒）。838A D C B CA DB CQPA DB C12 13E123 5A DB CQP A DB CEPMQhttp:/- 5 -又 。80,tt（2）当 时，点 P 在 AD 边上，P 到 BC 的垂线段长 。5.1 )(12cmh（ ）。tthBQSyP62 5.10t当 时，点 P 在 DC 上，（图（3 ）， 。85.1t tC26过点 P 作 于 M，得 。CDE，即 又 ，DE),1(32.1236tt tBQttttBQy 96)(212当 时， 的面积随 的增大而增大。5.0t PQBy,06,当 时， 。8.1 13)4(139122ttt当 时， 的面
10、积随 的增大而（继续）增大。4tPB当 时， 的面积随 的增大而减小。Qt【说明】本题突现了函数表达式的分段情况源起于对图形动点引出的相关图形不同的变化形态，足见深入和全面审题的重要。二、图形中动点形成的方程图形动点 几何计算 方程例 1 如图，（1），在等腰梯形 中，ABCD，点 P 从点 A 出发，以 的速度沿 ABcmADCcmABD6,2,8,/ scm/2向终点 B 运动，点 Q 从点 C 出发，以 的速度沿 CD，DA 向终点 A 运动。（P，Qs/两点中，有一个点运动到终点时，所有运动终止）。设 P，Q 同时出发并运动了 秒。t（1）当 PQ 将梯形 分成两个直角梯形时，求 的值
11、；t（2）试问是否存在这样的 ，使四边形 的面积是梯形 面tBBCD积的一半？若存在，求出这样的 的值；若不存在，请说明理由。 特定形状图形特定位置图形特定数量图形A BCDPQA DB CEPMQhttp:/- 6 -（1）【观察与思考】第一，搞清楚背景图形：略；第二，搞清楚运动的全过程：从时间上来看，点 P 共运动4 秒钟，而点 Q 在 CD 上运动 2 秒，在 DA 上需运动 6 秒。这样，它们共同运动的时间为 4 秒，即点 Q 在 DA 上最多运动到 处。再从对应的图形来看，在 时，对应图形如原图（1），而cmD2 20t在 时，对应的图形就像图（1）。t有了以上的研究，再来看看相应问
12、题的解决方向和方法：对于问题（1），对应的图形如图（1），可通过 构造EPD关于 的方程来求解。 （1）t对于问题（2），应计算出 来（是关于 的代数式），令它BPCQS四 边 形 t等于 ，从所得方程解出相应的 值。但应特别注意，在计算ABCDS梯 形1时，需分点 Q 在 CD 上还是在 DA 上两种情况来讨论。PQ四 边 形解：（1）过 D 作 于 E，过 C 作 于 F，如图（1 ）。 （1）AB，BFRtAEt)(328(1. cmA若四边形 APQD 是直角梯形，则四边形 DEPQ 为矩形，有 ，EPDQ即 。35,2tt当 秒时，PQ 将 分成两个直角梯形。ABCD（2）在 中，
13、，ERt)(362cm（8+2） 。1ABCDS梯 形 153当 时，ABCDPQS梯 形四 边 形 2如图（1），若点 Q 在 CD 上，即 ，则 。20t tBPtCQ28,，解得 （舍去）。315)8(2ttSPBC四 边 形 t如图（1），若点 在 上，即 。 （1）AD42tA BCDPQA BCDPQFEA BCDPQHGhttp:/- 7 -由图（1）易知 ，236sinADE过点 作 于 ，其反向延长线交 的延长线于 ，如图（1），QBGCH在 中， ，ARt2)8(3sin,8tAQt 在 中， 。DHt )(i,2tDHt设 ，也即 ，得ABCDPBCQSS四 边 形四 边
14、 形 1ABCDCQAPSS梯 形21即 。,352)(32)8(31ttt ,079t42t解得 （不合题意，舍去）， ）。191t 31(2t存在 ，使四边形 PBCQ 的面积是梯形 ABCD 面积的一半。23t【说明】由本题可以看出：求动点引起的特定形状（PQ 将梯形 ABCD 分成两个直角梯形）、特定数量（四边形 PBCQ 的面积为梯形面积的一半）的图形，都是通过构造相应的方程来解决。【练习】2、如图，等边三角形 中， ，点 P 是 AB 边上的任意一点（点 P 可ABC2以与点 A 重合，但不与点 B 重合），过点 P 作 ，垂足为 E；过点 E 作BCE，垂足为 F；过点 F 作
15、，垂足为 Q。设 。CEF yAx,（1）写出 与 之间的函数关系式；yx（2）当 BP 的长等于多少时，点 P 与点 Q 重合。AB CPQEFhttp:/- 8 -例 2 如图，在 中， ，动点 P 从点 A 出发沿 ACABCRt16,2,90BCA边向点 C 以每秒 3 个单位长的速度运动，动点 Q 从点 C 出发沿 CB 边向点 B 以每秒 4 个单位长的速度运动。P，Q 分别从点 A，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。在运动过程中， 关于直线 PQ 对称的图形是 。设运动时间为PDQ（秒）。t（1） 为何值时，四边形 是梯形？B（2）是否存在时刻 ，使得 ？
16、若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。tAD/t【观察与思考】首先，搞清楚背景图形（略）；其次，搞清运动全过程，在这里重点是搞清楚四边形 是由 和它关于 PQ 对PCQD称的图形 组成的。对于问题（1），应以 ，这一特征构造关于 的方程来PQAB/ t解决。对于问题（2），应像图（1）那样，用 来反映 ，MRttABPD/并由此构造关于 的方程来解决。t(1) （1）解：（1）如图（1），若 是梯形，由于 AB 与 BQ 显然不平行，PQBA故应以 ，即 。/CRtt，tPCBAP 312,4,16,2. ，解得 。16423tt当 秒时，四边形 是梯形。 （1）tPQA（2）设存在时刻
17、，使得 ，延长 PD 交 BC 于点 M，如图（1），则tBD/A B CCC CC Q CCP CC D CC A B CCC CC Q CCP CC D CC M CCA B CCC CCQCCP CCDCChttp:/- 9 - ， ，QMDRtABCtAQDM。tM320,162,1,4 又，若 ，即有 ，则P/PRtCBt即 ，解得 。,CBA163021t当 秒时， 。1tABPD/【说明】在本题，研究动点在运动过程中何时使“四边形 是梯形”变化中成为PQBA特定形状的图形，能否使“ ”变化成为特定位置关系的图形，都是借助构造/方程来解决的。三、图形中动点形成的函数和方程在更多情况
18、下，是同时研究图形引入动点形成的函数及方程问题。例 1 如图， 中， ，点 M 在边 AB 上，且ABCRt5,12,90BCA。6AM（1）动点 D 在边 AC 上运动，且与点 A，C 均不重合，设 。xD设 与 的面积之比为 ，求 与 之间的函数 My关系式（写出自变量的取值范围）。当 取何值时， 是等腰三角形？写出你的理由。xA（2）如图，以图中的 BC，CA 为一组邻边的矩形 中，ACBED 在矩形边上运动一周，能使 是以 为顶角的等腰D三角形共有多少个？（直接写出结果，不要求说明理由。）【观察与思考】第一，搞清楚背景图形，如在图中， ； 13第二，搞清楚运动全过程，在（1）中，点 D
19、 在 AC 上运动， ADM的边 DA 的长随之变化，但该边上的高不变，边 AM 也是不变的；在（ 2）中，点 D 可以运动至矩形 上的任意一点，所以 的形状也相应地变化着，但 AM 这条边是ACBEA不变的。解：（1） ，又 。过点 M 作3051221S 13BACB D M ACB EMDACBDMHhttp:/- 10 -于 H。（如图 ）ACM ，得B,/ABC。 13056136。)2()2(21xxDSAM （其中 ）。,16)(1350yABC 0要使 为等腰三角形，只有以下三种可能：D、 ，此时 。6AM612CDx、 ，即在图中应有 ，而AH，37,13BCH也即 。72D
20、x1x、 （如图）。若过 D 作 于点 E，易知AM ，且 。ERtt 3AE即 ，得 。,BC1324。 45Dx综上可知：当 时， 都可以是等腰三角形。,6xADM（2）注意到要求 为等腰三角形，且以 为顶角，也就是要求 ，AMMAD那么 A 和 D 都应以点 M 为圆心，以 MA 的长为半径的圆周上，为此，作草图如图 ，该圆与矩形的边共有 5 个交点（包括点 A），这些点中和 M，A 构以 M 为顶角顶点的等腰三角形共有 4 个，如图中的 。4321,D【说明】在本题中，（1）中的是转化为函数，（1）中的是转化为方程。而对于（2），则主要通过分析图形 的几何性质与画草图来解决。ACBDMEACB EM1D234D
