1、 中考数学压轴题精选( 二次函数)11、 （10 广东茂名 25 题） （本题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= 32x+ b+ c经过 A（0，4） 、B（ x1，0） 、 C（ x2，0）三点，且 2- 1=5（1）求 b、 c的值；（4 分）（2）在抛物线上求一点 D，使得四边形 BDCE 是以 BC 为对 角线的菱形；（3 分）（3）在抛物线上是否存在一点 P，使得四边形 BPOH 是以 OB为对角线的菱形？若存在，求出点 P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由 （3 分）解：（1）解法一：抛物线 y= 32x+ b+ c经过点 A（0，4）
2、， c=4 1 分又由题意可知， 、 2是方程 3x2+ b+ c=0 的两个根， x1+ 2= 3b， x1= c=62 分由已知得（ - ） 2=25又（ x2- 1） =（ x2+ 1） 24 x12= 9b24 49b224=25 解得 b= 34 3 分当 = 时，抛物线与 x轴的交点在 x轴的正半轴上，不合题意，舍去 = 1 4 分解法二： x1、 2是方程 3x2+ b+c=0 的两个根，即方程 2 3 b+12=0 的两个根 x= 4962， 2 分 2 1= 2b=5，（第 25 题图）AxyB C O中考数学压轴题精选( 二次函数)2解得 b= 3143 分（以下与解法一相
3、同 ） （2）四边形 BDCE 是以 BC 为对角线的菱形，根据菱形的性质，点 D 必在抛物线的对称轴上， 5 分又 y= 32x 144= 32（ x+ 7） 2+ 65 6 分抛物线的顶点（ 7， 65）即为所求的点 D 7 分（3）四边形 BPOH 是以 OB 为对角线的菱形，点 B 的坐标为（6，0） ，根据菱形的性质，点 P 必是直线 x=-3 与抛物线 y= 32x- 14-4 的交点， 8 分当 =3 时， = （3） 2 14（3）4=4， 在抛物线上存在一点 P（3，4） ，使得四边形 BPOH 为菱形 9 分四边形 BPOH 不能成为正方形，因为如果四边形 BPOH 为正方
4、形，点 P 的坐标只能是（3，3） ，但这一点不在抛物线上10 分2、 （08 广东肇庆 25 题） （本小题满分 10 分）已知点 A（a， 1y） 、B（2a，y 2） 、C（3a，y 3）都在抛物线 xy125上.（1）求抛物线与 x 轴的交点坐标；（2）当 a=1 时，求ABC 的面积；（3）是否存在含有 1y、y 2、 y 3，且与 a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.解：（1）由 5 x2=0， （1 分）得 0x， 2 （2 分）抛物线与 x 轴的交点坐标为（0，0） 、 （ 512，0） （3 分）（2）当 a=1 时，得 A（1，17） 、
5、B（2，44） 、C（3，81） ， （4 分）分别过点 A、B、C 作 x 轴的垂线，垂足分别为 D、E、F，则有S=S DF梯 形 - AEBS梯 形 - FC梯 形 （5 分）= 2)817(- 1)4(- 2)8(（6 分）=5（个单位面积） （7 分）中考数学压轴题精选( 二次函数)3（3）如： )(312yy （8 分）事实上， )3(52a =45a2+36a 3（ 12y）=35（2a） 2+122a-（5a 2+12a） =45a 2+36a （9 分） )(y （10 分）3、 （08 辽宁沈阳 26 题） （本题 14 分）26如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的
6、边 在 x轴的负半轴上，边 OC在 y轴的正半轴上，且 1AB，矩形 绕点 按顺时针方向旋转 60后得到矩形 EFOD点 的对应点为点 E，点 的对应点为点 F，点 的对应点为点 ，抛物线2yaxbc过点 AD， ， （1）判断点 是否在 y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在 x轴的上方是否存在点 P，点 Q，使以点 OBPQ， ， ， 为顶点的平行四边形的面积是矩形 ABC面积的 2 倍，且点 在抛物线上，若存在，请求出点 ，点 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）点 E在 y轴上 1 分理由如下：连接 O，如图所示，在 RtO 中， 1AB， 3O，2A1sinB，
7、30A由题意可知： 60E69EE点 在 x轴上， 点 在 y轴上 3 分（2）过点 D作 Mx轴于点1O， 30 在 RtDOM 中， 12， 3O点 在第一象限， 点 的坐标为 32， 5 分由（1）知 2EA，点 E在 y轴的正半轴上点 的坐标为 (0)，点 的坐标为 31， 6 分yxO第 26 题图DECFAB中考数学压轴题精选( 二次函数)4抛物线 2yaxbc经过点 E， 2c由题意，将 (31)A， ， D， 代入 yaxb中得3214ab解得8953ab所求抛物线表达式为： 289yx9 分（3）存在符合条件的点 P，点 Q 10 分理由如下： 矩形 ABOC的面积 3BA以
8、 ， ， ， 为顶点的平行四边形面积为 2由题意可知 为此平行四边形一边， 又 OB边上的高为 2 11 分依题意设点 P的坐标为 ()m，点 在抛物线 28539yx上 285329m解得， 10， 21(0)P， ， 2，以 OBPQ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形， 3，当点 1的坐标为 (02)， 时，点 Q的坐标分别为 1， ， 2()Q， ；当点 2P的坐标为 538， 时，点 的坐标分别为 312， ， 4328， 14 分yxODECFAB M中考数学压轴题精选( 二次函数)54、 （08 辽宁 12 市 26 题） （本题 14 分）26如图 16，在平面直角坐标系中，
9、直线与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线3yxAyC经过 三点2(0)acaB， ，（1）求过 三点抛物线的解析式并求出顶点 的坐标；ABC， ， F（2）在抛物线上是否存在点 ，使 为直角三角形，若存在，PA直接写出 点坐标；若不存在，请说明理由；P（3）试探究在直线 上是否存在一点 ，使得 的周长最MB小，若存在，求出 点的坐标；若不存在，请说明理由M解：（1） 直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点3yxAyC， 1 分(0)A， ()，点 都在抛物线上，23ac3a抛物线的解析式为 3 分233yx顶点 4 分41F，（2）存在 5 分7 分1(03)P，9 分2，（3）存在 10 分理
10、由：解法一：延长 到点 ，使 ，连接 交直线 于点 ，则点 就是所求的BCBCFACM点11 分过点 作 于点 HA点在抛物线 上，B233yx(0)B，在 中， ， ， ，RtOC tanBOC23A O xyBFC图 16A O xyBFC图 9HB M中考数学压轴题精选( 二次函数)6在 中， ，RtBH 123B， ， 12 分36O()，设直线 的解析式为Fykxb解得234kb36213 分362yx解得 362yx3710xy， 3107M，在直线 上存在点 ，使得 的周长最小，此时 14 分ACMBF 37，5、 （08 青海西宁 28 题）如图 14，已知半径为 1 的 与
11、轴交于 两点， 为OAxB， OM的切线，切点为 ，圆心 的坐标为 ，二次函数 的图象经过1OA1O(20)， 2ybxc两点B，（1）求二次函数的解析式；（2）求切线 的函数解析式；M（3）线段 上是否存在一点 ，使得以 为顶点的PA， ，三角形与 相似若存在，请求出所有符合条件的点 的坐1O P标；若不存在，请说明理由解：（1） 圆心 的坐标为 ， 半径为 1， ，1(20)， 1OA(0)A，1 分(30)B，二次函数 的图象经过点 ，2yxbcB，可得方程组 2 分093 图 14y xO A BM O1中考数学压轴题精选( 二次函数)7解得： 二次函数解析式为 3 分43bc243y
12、x（2）过点 作 轴，垂足为 4 分MFxF是 的切线， 为切点， （圆的切线垂直于经过切点的半径）O1A1OM在 中，1Rt 11sin2为锐角， 5 分1OM130O，1cos302A在 中， RtF 3cos02A13sin302MOA点 坐标为 6 分，设切线 的函数解析式为 ，由题意可知 ， 7 分O(0)ykx32k3切线 的函数解析式为 8 分M3（3）存在 9 分过点 作 轴，与 交于点 可得 （两角对A1PxO1P11RttAOM 应相等两三角形相似）， 10 分113tanta0O13，过点 作 ，垂足为 ，过 点作 ，垂足为 A2PM2P2HOA可得 （两角对应相等两三角
13、开相似）1RttO 在 中， ， ，2tO 23cos02AyAH FMOP1P2O1 xB中考数学压轴题精选( 二次函数)8在 中， ，2RtOPH 223cos4PAO， 11 分22231sin4A2，符合条件的 点坐标有 ， 12 分P， 3，6、 （08 山东济宁 26 题） （12 分）ABC中， 90， 6A， 2Ccm长为 1cm 的线段 MN在 ABC 的边 上沿 方向以 1cm/s 的速度向点 B运动（运动前点 与点 重合） 过 ， 分别作 的垂线交直角边于 PQ， 两点，线段 MN运动的时间为 ts（1）若 AM 的面积为 y，写出 与 t的函数关系式（写出自变量 t的取
14、值范围） ；（2）线段 N运动过程中，四边形 NQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时 t的值；若不可能，说明理由；（3） t为何值时，以 C， ， 为顶点的三角形与 ABC 相似？解：（1）当点 P在 A上时， Mt， tg603Pt23(01)2ytt 2 分当点 P在 BC上时， 3tan0(4)BtA2133(4)(1)26yttttA 4 分（2） ， 4 413NMNtttan30()QNBt 6 分由条件知，若四边形 MQP为矩形，需 Q，即 3()tt， 34中考数学压轴题精选( 二次函数)9当 34ts 时，四边形 MNQP为矩形 8 分（3）由（2）知，当 34ts 时，
15、四边形 为矩形，此时 PQAB ，PQCAB 9 分除此之外，当 30时， QPC ，此时 tan30P 1cos62AM， 2AMt 2t 10 分30BNQ， 3()2BNQt又 23C， 3()3tt 11 分23t， 12t当 ts 或 4s 时，以 CPQ， ， 为顶点的三角形与 ABC 相似 12 分7、 （08 四川巴中 30 题） （12 分）30已知：如图 14，抛物线 23yx与 轴交于点 A，点 B，与直线4b相交于点 ，点 C，直线 34yxb与 y轴交于点 E（1）写出直线 B的解析式（2）求 A 的面积（3）若点 M在线段 上以每秒 1 个单位长度的速度从向 运动（
16、不与 ， 重合） ，同时，点 N在射线 BC上以每秒 2 个单位长度的速度从 向 C运动设运动时间为t秒，请写出 N 的面积 S与 t的函数关系式，并求出点运动多少时间时， B 的面积最大，最大面积是多少？xyA BCEMD PNO中考数学压轴题精选( 二次函数)10解：（1）在 234yx中，令 0y2304x1， 2()A， ()B， 1 分又 点 在 yxb上 302b32C的解析式为 342 分（2）由234yx，得19xy204 分91C， (20)B，4A， D5 分92BCS6 分（3）过点 N作 PMB于点EO 7 分B8 分由直线 342yx可得： 302E，在 BEO 中， ， ，则 52B253tNP， 65t9 分1(4)StA205t10 分3()t11 分此抛物线开口向下， 当 2t时， 125S最 大
