1、最短路径问题和最小【方法说明】“和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军饮马问题） 如图所示，在直线 l 上找一点 P 使得 PAPB 最小当点 P 为直线 AB与直线 l 的交点时，PA PB 最小lBA lPBAB【方法归纳】如图所示，在直线 l 上找一点 B 使得线段 AB 最小过点 A 作 ABl，垂足为 B，则线段 AB 即为所求lA lAB如图所示，在直线 l 上找一点 P 使得 PAPB 最小过点 B 作关于直线 l 的对称点 B，BB与直线 l 交于点 P，此时 PAPB 最小，则点 P 即为所求lBA lPBAB如图所示，在AOB
2、 的边 AO，BO 上分别找一点 C，D 使得 PCCD PD 最小过点 P 分别作关于AO，BO 的对称点 E，F，连接 EF，并与 AO，BO 分别交于点 C，D，此时 PCCDPD 最小，则点C，D 即为所求O ABP DCOABPFE如图所示，在AOB 的边 AO，BO 上分别找一点 E，F 使得 DEEFCF 最小分别过点 C，D 作关于 AO，BO 的对称点 D，C ，连接 DC，并与 AO，BO 分别交于点 E，F，此时 DEEFCF 最小，则点 E，F 即为所求CBAO DEFCBAO DD C如图所示，长度不变的线段 CD 在直线 l 上运动，在直线 l 上找到使得 ACBD
3、 最小的 CD 的位置分别过点 A，D 作 AACD，DAAC，AA 与 DA交于点 A，再作点 B 关于直线 l 的对称点 B，连接 AB与直线 l 交于点 D，此时点 D即为所求lABDC lDABBAC如图所示，在平面直角坐标系中，点 P 为抛物线（y x2）上的一点，点 A（0，1）在 y 轴正半轴点14P 在什么位置时 PAPB 最小？过点 B 作直线 l：y 1 的垂线段 BH，BH与抛物线交于点 P，此时PA PB 最小，则点 P 即为所求 yxAOBPyxlPHAOBPH【典型例题】1 （13 广东）已知二次函数 yx 22mx m 21（1）当二次函数的图象经过坐标原点 O（
4、0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当 m2 时，该抛物线与 y 轴交于点 C，顶点为 D，求 C、D 两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点 P，使得 PCPD 最短？若 P 点存在，求出 P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由yxDCO【思路点拨】（1）由二次函数的图象经过坐标原点 O（0，0） ，直接代入求出 m 的值即可；（2）把 m2 代入求出二次函数解析式，令 x0，求出 y 的值，得出点 C 的坐标；利用配方法或顶点坐标公式求出顶点坐标即可；（3）根据当 P、C、D 共线时根据“两点之间，线段最短”得出 PCPD 最短，求出 CD 的直线解析式，令 y
5、 0，求出 x 的值，即可得出 P 点的坐标【解题过程】解：（1）二次函数的图象经过坐标原点 O（0，0） ，代入二次函数 yx 22mxm 2 1，得出：m 210，解得：m1，二次函数的解析式为：yx 22 x 或 yx 22x；（2）m2， 二次函数 yx 22mx m 21 得：y x 24x3（x2） 21，抛物线的顶点为：D（2，1） ，当 x 0 时， y3 ，C 点坐标为：（0，3） ，C（0，3） 、D（2，1） ；（3）当 P、C、D 共线时 PCPD 最短，【方法一】C（0，3） 、D（2，1） ，设直线 CD 的解析式为 ykx3，代入得：2k 31，k2，y2x3，当
6、 y 0 时， 2x30，解得 x ，PCPD 最短时，P 点的坐标为： P（ ，0） 32 32【方法二】过点 D 作 DEy 轴于点 E，PODE， ， ，解得：PO ，PODE COCE PO2 34 32PCPD 最短时，P 点的坐标为：P（ ，0） 32yxPEDCO2 （11 菏泽）如图，抛物线 y x2bx2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A（1，0） 12（1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；（2）判断ABC 的形状，证明你的结论；（3）点 M（m，0）是 x 轴上的一个动点，当 MCMD 的值最小时，求 m 的值y xBCODA【思路点拨】（1
7、）把点 A 的坐标代入求出 b 的值，即可得出抛物线的解析式，通过配方法即可求出顶点 D 的坐标；（2）观察发现ABC 是直角三角形，可以通过勾股定理的逆定理证明由抛物线的解析式，分别求出点B，C 的坐标，再得出 AB，AC，BC 的长度，易得 AC2BC 2AB 2，得出ABC 是直角三角形；（3）作出点 C 关于 x 轴的对称点 C，连接 CD 交 x 轴于点 M，根据“两点之间，线段最短”可知MCMD 的值最小求出直线 CD 的解析式，即可得出点 M 的坐标，进而求出 m 的值【解题过程】解：（1）点 A（1，0）在抛物线 y x2bx2 上， （1 ） 2b（1）20，解得12 12b
8、 ，32抛物线的解析式为 y x2 x2 （x ） 2 ，顶点 D 的坐标为 （ ， ） 12 32 12 32 258 32 258（2）当 x0 时 y2，C（0，2） ，OC2当 y 0 时， x2 x20，x 11，x 24，B （4，0） ， OA1，OB4，AB512 32AB 225 ，AC 2OA 2OC 25，BC 2OC 2OB 220，AC 2 BC2AB 2ABC 是直角三角形（3）作出点 C 关于 x 轴的对称点 C，则 C（0，2） ，OC2，连接 CD 交 x 轴于点 M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MCMD 的值最小【方法一】设直线 CD 的解析式为 y
9、kxn，则 ，解得： y x2n 232k n 258) n 2k 4112) 4112当 y0 时， x20，x m 4112 2441 2441【方法二】设抛物线的对称轴交 x 轴于点 E EDy 轴，OC M EDM， COMDEM，COM DEM ， ，m OMEM OCED m32 m 2258 2441 yxEMC BCODA3 （11 福州）已知，如图，二次函数 yax 22ax3a（a0）图象的顶点为 H，与 x 轴交于 A、B 两点（B 在 A 点右侧） ，点 H、B 关于直线 l：y x 对称33 3（1）求 A、B 两点坐标，并证明点 A 在直线 l 上；（2）求二次函数
10、解析式；（3）过点 B 作直线 BKAH 交直线 l 于 K 点，M、N 分别为直线 AH 和直线 l 上的两个动点，连接HN、 NM、MK，求 HNNMMK 和的最小值 yxKHBA O【思路点拨】（1）二次函数 yax 22ax3a（a0）中只有一个未知参数 a，令 y0，解出方程ax2 2ax3a0 （a0） ，即可得到点 A，B 的坐标把点 A 的坐标代入直线 l 的解析式即可判断 A 是否在直线上；（2）根据点 H、B 关于过 A 点的直线 l：y x 对称，得出 AHAB4，过顶点 H 作 HCAB 交 AB33 3于 C 点，得 AC AB2，利用勾股定理求出 HC 的长，即可得
11、出点 H 的坐标，代入二次函数解析式，求12出 a，即可得到二次函数解析式；（3）直线 BKAH 易得直线 BK 的解析式，联立直线 l 的解析式方程组，即可求出 K 的坐标因为点H，B 关于直线 AK 对称，所以 HNBN，所以根据“两点之间，线段最短”得出 HNMN 的最小值是MB作点 K 关于直线 AH 的对称点 Q，连接 QK，交直线 AH 于 E，所以 QMKM，易得 BMMK 的最小值为 BQ，即 BQ 的长是 HNNMMK 的最小值，求出 QB 的长即可【解题过程】解：（1）依题意，得 ax22ax 3a0（a0） ，解得 x13，x 21，B 点在 A 点右侧，A 点坐标为（3
12、，0） ，B 点坐标为（1，0） ，直线 l：y x ，当 x3 时，y (3) 0，点 A 在直线 l 上33 3 33 3（2）点 H、B 关于过 A 点的直线 l：y x 对称，AHAB4，33 3过顶点 H 作 HCAB 交 AB 于 C 点，则 AC AB2，HC2 ，12 3顶点 H（1，2 ） ，代入二次函数解析式，解得 a ，332二次函数解析式为 y x2 x ，32 3 332（3）直线 AH 的解析式为 y x3 ，直线 BK 的解析式为 y x3 ，3 3 3 3由 ，解得 ，即 K（3，2 ） ，则 BK4， y 33x 3y 3x 3) x 3y 23) 3点 H、
13、B 关于直线 AK 对称，HN MN 的最小值是 MB，KDKE2 ，3过点 K 作直线 AH 的对称点 Q，连接 QK，交直线 AH 于 E，则QMMK ，QE EK2 ，AE QK，3BM MK 的最小值是 BQ，即 BQ 的长是 HNNMMK 的最小值，BKAH，BKQHEQ90，由勾股定理得 QB8，HN NMMK 的最小值为 8yxKHBA OCyxQKHBA O DMN4 （14 海南）如图，对称轴为直线 x2 的抛物线经过 A（1，0 ） ，C（0，5）两点，与 x 轴另一交点为B已知 M（0， 1） ，E （a，0） ，F（a1，0） ，点 P 是第一象限内的抛物线上的动点（1
14、）求此抛物线的解析式；（2）当 a1 时，求四边形 MEFP 的面积的最大值，并求此时点 P 的坐标；（3）若PCM 是以点 P 为顶点的等腰三角形，求 a 为何值时，四边形 PMEF 周长最小？请说明理由yxFEMACBOP yxFEMACBO P【思路点拨】（1）由对称轴为直线 x2，可以得出顶点横坐标为 2，设二次函数的解析式为 ya（x2） 2k ，再把点 A，B 的代入即可求出抛物线的解析式；（2）求四边形 MEFP 的面积的最大值，要先表示出四边形 MEFP 面积直接求不好求，可以考虑用割补法来求，过点 P 作 PNy 轴于点 N，由 S 四边形 MEFPS 梯形 OFPNS PM
15、N S OME 即可得出；（3）四边形 PMEF 的四条边中，线段 PM，EF 长度固定，当 MEPF 取最小值时，四边形 PMEF 的周长取得最小值将点 M 向右平移 1 个单位长度（EF 的长度） ，得到点 M1（1，1） ，作点 M1 关于 x 轴的对称点 M2（1，1） ，连接 PM2，与 x 轴交于 F 点，此时 MEPF PM 2 最小【解题过程】解：（1）对称轴为直线 x2，设抛物线解析式为 ya（x2） 2k 将 A（1，0） ，C（0，5）代入得： ，解得 ，9a k 04a k 5) a 1k 9)y（x 2） 29x 24x 5（2）当 a1 时，E（1，0） ，F（2，
16、0） ，OE1，OF 2设 P（x，x 24x5） ，如答图 2，过点 P 作 PNy 轴于点 N，则 PNx，ONx 24x5，MNONOMx 24x 4S 四边形 MEFPS 梯形 OFPNS PMN S OME （PNOF）ON PNMN OMOE12 12 12 （x 2） （x 24x5） x（x 24x4） 1112 12 12x 2 x 92 92（x ） 2 94 15316当 x 时，四边形 MEFP 的面积有最大值为 ，此时点 P 坐标为（ ， ） 94 15316 9415316（3）M（0，1） ，C（0，5） ，PCM 是以点 P 为顶点的等腰三角形，点 P 的纵坐标
17、为 3令 yx 24x53，解得 x2 点 P 在第一象限，P （ 2 ，3） 6 6四边形 PMEF 的四条边中， PM、EF 长度固定，因此只要 MEPF 最小，则 PMEF 的周长将取得最小值如答图 3，将点 M 向右平移 1 个单位长度（ EF 的长度） ，得 M1（1，1） ；作点 M1 关于 x 轴的对称点 M2，则 M2（1，1） ；连接 PM2，与 x 轴交于 F 点，此时 MEPFPM 2 最小设直线 PM2 的解析式为 ymxn ，将 P（2 ，3） ，M 2（1，1）代入得：6，解得：m ，n ，y x (2 r(,6)m n 3m n 1 ) 46 45 46 45 4
18、6 45 46 45当 y 0 时，解得 x F（ ，0） a1 ，a 6 54 6 54 6 54 6 14a 时，四边形 PMEF 周长最小6 14 yxFEMACBOPN yxFEM2M1MACO P图 1 图 22 （14 福州）如图，抛物线 y (x 3)2 1 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点12C，顶点为 D 了（1）求点 A，B ，D 的坐标；（2）连接 CD，过原点 O 作 OECD ，垂足为 H，OE 与抛物线的对称轴交于点 E，连接 AE，AD求证：AEO ADC；（3）以（2）中的点 E 为圆心，1 为半径画圆，在对称轴右侧的
19、抛物线上有一动点 P，过点 P 作E 的切线，切点为 Q，当 PQ 的长最小时，求点 P 的坐标，并直接写出点 Q 的坐标 xyHAEDBCO xyADBCO【思路点拨】（1）由顶点式直接得出点 D 的坐标，再令 y0，得 (x 3)2 10 解出方程，即可得出点 A，B 的坐标；12（2）设 HD 与 AE 相交于点 F，可以发现HEF 与ADF 组成一个“8 字型” 对顶角HFEAFD，只要FHE FAD 即可因为 EHF90，只需证明EAD 90即可由勾股定理的逆定理即可得出ADE 为直角三角形，得 FHEFAD90即可得出结论；（3）先画出图形因为 PQ 为 E 的切线，所以PEQ 为
20、直角三角形，半径 EQ 长度不变，当斜边 PE 最小时，PQ 的长度最小设出点 P 的坐标，然后表示出 PE，求出 PE 的最小值，得到点 P 的坐标，再求出点 Q 的坐标即可【解题过程】解：（1）顶点 D 的坐标为（3，1） 令 y0，得 (x3)210，解得 x13 ，x 23 12 2 2点 A 在点 B 的左侧，A 点坐标(3 ，0)，B 点坐标（3 ，0） 2 2（2）过 D 作 DGy 轴，垂足为 G则 G（0，1） ，GD 3令 x0，则 y ，C 点坐标为72（0，） 72GC (1) 设对称轴交 x 轴于点 MOE CD，GCDCOH 9072 92MOECOH90，MOEG
21、CD又CGDOMN 90，DCGEOM ，即 EM2，即点 E 坐标为(3 ，2)，ED 3CGOMDGEM 923 3EM由勾股定理，得 AE26，AD 23，AE 2AD 2639ED 2AED 是直角三角形，即 DAE90设 AE 交 CD 于点 FADCAFD 90又AEOHFE90，AFD HFE，AEOADC（3）由E 的半径为 1，根据勾股定理，得 PQ2EP 21要使切线长 PQ 最小，只需 EP 长最小，即 EP2 最小设 P 坐标为（x，y） ，由勾股定理，得 EP2(x 3) 2(y 2) 2y (x3) 21，(x 3) 22y2EP 22y2y 24y4(y1) 25
22、12当 y 1 时， EP2 最小值为 5把 y1 代入 y (x3) 21，得 (x3) 2 11，解得12 12x1 1，x 25又点 P 在对称轴右侧的抛物线上，x 11 舍去点 P 坐标为(5，1) 此时 Q 点坐标为（3，1）或( ， ) 195 135xyFHADBCOG E xyEQ1ADBCO PQ26 （14 遂宁）已知：直线 l：y2，抛物线 yax 2bxc 的对称轴是 y 轴，且经过点（0，1） ，（2，0） （1）求该抛物线的解析式；（2）如图，点 P 是抛物线上任意一点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q，求证：POPQ （3）请你参考（2）中结论解决下列问题：（i）如图，过原点作任意直线 AB，交抛物线 yax 2bxc 于点 A、B ，分别过 A、B 两点作直线 l 的垂线，垂足分别是点 M、N，连结 ON、OM，求证：ON OM（ii ）已知：如图，点 D（1，1） ，试探究在该抛物线上是否存在点 F，使得 FDFO 取得最小值？若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 y xl EOPQy xl B AON My xl DOF【思路点拨】（1）因为抛物线的对称轴是 y 轴，所以 b0，再代入点（0，1） ， （2，0）即可求出抛物线的解析式；
