1、1二面角求法正方体是研究立体几何概念的一个重要模型，中学立体几何教学中，求平面与平面所成的二面角是转化为平面角来度量的，也可采用一些特殊的方法求二面角，而正方体也是探讨求二面角大小方法的典型几何体。笔者通过探求正方体中有关二面角，分析求二面角大小的八种方法：（1）平面角定义法；（2）三垂线定理法；（3）线面垂直法；（4）判定垂面法；（5）异面直线上两点间距离公式法；（6）平行移动法；（7）投影面积法；（8）棱锥体积法。一、 平面角定义法此法是根据二面角的平面角定义，直接寻求二面角的大小。以所求二面角棱上任意一点为端点，在二面角两个平面内分别作垂直于棱的两条射线所成角就是二面角的平面角，如图二面
2、角 -l- 中，在棱 l 上取一点 O，分别在 、两个平面内作 AOl，BOl，AOB 即是所求二面角的平面角。例题 1：已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中，O、O 1是上下底面正方形的中心，求二面角 O1-BC-O的大小。例题 2：已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F 为 A1D1、C 1D1的中点，求平面 EFCA 与底面ABCD 所成的二面角。BAO lH OGFEADD1C1B1A1CBO1O EADD1C1B1A1CB2二、 利用三垂线定理法此方法是在二面角的一个平面内过一点作另一个面的垂线，再由垂足（或仍是该点）作棱的垂线，连接该点和棱上的垂足（或连两垂足）两点线
3、，即可得二面角的平面角。如图二面角 -l- 中，在平面 内取一点 A，过 A 作 AB平面 ，B 是垂足，由 B（或 A）作 BO（或 AO）l，连接 AO（或 BO）即得 AO 是平面 的斜线，BO 是 AO 在平面 中的射影，根据三垂线定理（或逆定理）即得 AOl，BOl，即AOB 是 -l- 的平面角。例题 3：已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中，求二面角 B-AC-B1的大小。例题 4：已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中，求平面 ACD1与平面 BDC1所成的二面角。三、 线面垂直法此法利用直线垂直平面即该直线垂直平面内任何直线的性质来寻求二面角的平面角。方法是过所求二面角
4、的棱上一点，作棱的垂面，与两个平面相交所得两条交线的所成角即是二面角的平面角。如图在二面角 -l- 的棱上任取一点 O，过 O 作平面 l，=AO，=BO，得AOB 是平面角，l，lAO，lBO。AOB 是二面角的平面角。BAO lOADD1C1B1A1CBlBA OHGFOEADD1C1B1A1CB3例题 5：已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中，求二面角 B-A1C-D 的大小。例题 6：已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别是 BB1、DD 1的中点，求平面 BC1D 与平面EC1F 所成的二面角。四、 判定垂面法此法根据平面垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角
5、是直二面角，那么这两个平面垂直，反之，若能判定两个平面垂直，则这两个平面所成的二面角是 900，无须寻作二面角的平面角。如图若已知或证得 a ,a。则二面角 -l- 的大小即是 900。可见判定面面垂直是求二面角的一种特殊情况。例题 7：已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中，求平面 BDC1与平面ACC1A1所成的二面角。例题 8：已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中，O 1、O 是上下底面正方形的中心，V 是 OO1的中点，求平面 AVB 与平面 CVD 所成的二面角。OADD1C1B1A1CBVOO1HGADD1C1B1A1CBHADD1C1B1A1CBlGEFHADD1C1B1A
6、1CB4五、 异面直线上两点间距离公式法此法按高中立体几何课本 P45 页例 2 证明的公式，求二面角大小，题意是已知两条异面直线a、b 上分别取点 E、F，设 AE=m，AF=n，求 EF。如图公式是：EF= （注意cos22mndE、F 在 AA1同侧时取“-” ，EF 在 AA1异侧时取“+”号。 ）应用该公式是求异面直线上两点间的距离，若把所求二面角当作 角，即是异面直线 a、b 和公垂线 AA1确定的两个平面所成的二面角，用函数观念来理解公式中五个量，已知其中四个量即可求第五个量，若已知或易求知 EF、d、m、n 则求 cos， 即是所求二面角。例题 9：已知正方体 ABCD-A1B
7、1C1D1中，H 是 BC 棱上一点且 BH：BC=1：3，求二面角 H-AA1-C1的大小。例题 10：已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中，O 1、O 是上下底面正方形的中心，E 是 AB 棱上一点，且 AE：EB=1：2，求二面角 A1-O1O-E 的大小。六、 平行移动法若所求二面角的棱线隐含未知或难寻作棱时，可采用将二面角中的一个平面平行移动到适当位置，作得新的二面角大小与所求二面角相等，并可求得新的二面角大小。如图将所求平面 abAGFnEmA1dmn HADD1C1B1A1CBEOO1ADD1 C1B1A1CB5与平面 所成的二面角中 平面平行移动到平面 位置处，即求 与 所
8、成的二面角即是所求二面角大小。例题 11：已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中，G、E、F 是所在棱的中点，求平面 EFG 与平面 ABCD 所成的二面角。例题 12：已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中，O 1是上底面正方形的中心，E、F 是 AB、CD 的中点，求平面 AO1D 与平面 EO1F 所成的二面角。七、 投影面积法在二面角一个平面内若已知一个任意多边形的面积为 S，该多边形在另一个平面内投影面积为 S 射 ，该二面角大小 可用 来计算。如图所示，此结论证明本文略。S射cos高中课本 P68 页习题八中 11 题就是类似证明习题。此方法E1EGFO1OADD1 C1B1A
9、1CBGO1FOEADD1 C1B1A1CBS 射SD1C1B1FA6适合求二面角中易解得 S、S 射 时用。例题 13：已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 是 BC 的中点，F 在 AA1上，且 A1F：FA=1：2，求平面 B1EF 与底面 A1B1C1D1所成的二面角。例题 14：已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 是 CC1的中点，求平面 AED1与平面 ABCD 所成二面角。EE1FA1D1D CBAC1B1EADD1 C1B1A1CB7八、 棱锥体积法此方法把所求二面角看作为求棱锥的一个侧面与底面所成的二面角，在已知或易求棱锥底面面积、侧面一个面面积和体积前提下
10、，即可用锥体体积公式 V=，来探求二面角大小。hS底31如图已知三棱锥 V-ABC 中，VO 是高线，若已得底面面积是S，AB=a，一个侧面ABV 面积是 S1，体积是 V，求二面角 C-AB-V 大小。现设所求 C-AB-V 平面角是如图中的VDO，ABV 面积 S1= ，sinVDO= ，VDa2DOVD= ， ，利用棱锥体积公式，Osin1，VaSaSSV sin32i31 11sinVDO= ，即求出了二面角 C-AB-V 的大小。12V例题 15：已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中，求二面角 A-A1C-D 的大小。O BDACVADD1 C1B1A1CB8例题 16：已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M、N 是所在棱的中点，求平面 MDN 与底面 ABCD 所成二面角。GNHMADD1 C1B1A1CB
