1、 初中数学十字相乘法因式分解 要点：一、 型的因式分解2()xpqx特点是：（1）二次项的系数是 1（2）常数项是两个数之积（3）一次项系数是常数的两个因数之和。对这个式子先去括号，得到： )(2 )()(22 pqxxpqx)(因此： 2qpx利用此式的结果可以直接将某些二次项系数是 1的二次三项式分解因式。二、一般二次三项式 的分解因式2axbc大家知道， 。2111212()()()axcaxc反过来，就可得到： 12 12()()a我们发现，二次项系数 分解成 ，常数项 分解成 ，把 写成12 21,c，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到 ，那么 就可以分12ac121cbx解成 .
2、12()()xac这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法。【典型例题】例 1 把下列各式分解因式。（1） （2）32x672x分析：（1） 的二次项的系数是 1，常数项 ，一次项系数 ，232x 113这是一个 型式子。pq)(（2） 的二次项系数是 1，常数项 ，一次项系数67 )6()(，这也是一个 型式子，因此可用公式)6(x)(2 pqxx)(2分解以上两式。qxp解：（1）因为 ，并且 ，所以123)132x（2）因为 ，并且 ，所以)6()6(17)6(1672例 2 把下列各式因式分解。（1） （2）2x52x分析：（1） 2的二次项系数是
3、1，常数项 ，一次项系数)1(，这是一个 型式子。)(pq)(（2） 的二次项系数是 1，常数项 ，一次项系数152 35)5(2，这也是一个 型式子。3xpx2以上两题可用 式子分解。)()(x解：（1）因为 ，并且 ，所以2)1(2xx（2）因为 ，并且 ，所以3513535注意：（1）当常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们和一次项系数的符号相同。（2）当常数项是负数时，它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数和一次项系数的符号相同。例 3 把下列各式因式分解。（1） （2） （3）372x5762x2286yx解：（1） )12(372xx 1237)(1)3(（2） )53(2
4、5762xx 531)(（3） )45)(286522 yxyx y45216)()4(1例 4 将 分解因式。4032yx分析：可将 看成是一个字母，即 ，于是上式可化为 二次项系ayx4032a数是 1，常数 ，一次项系数 ，所以可用5)8(05)8(3)(qpxx式子分解。)(qpxq解：因为 ，并且 ，所以4)(40)(32yx )5)(8()( yyxyx例 5 把 分解因式。265y分析：多项式各项有公因式 ，第一步先提出各项公因式 ，得到：2x，经分析 它符合 型式)(22x 652pq)(子，于是可继续分解。第二步，按 型二次三项式分解，得到：pqyy)(216)5(xy解：
5、)1(5(6222 xy例 6 将 分解因式。x18解： 15 49()8224 yxy)39(2x注意：多项式分解因式的一般步骤是：（1）如果多项式各项有公因式，那么先提出公因式。（2）在各项提出公因式后，或各项没有公因式的情况下，可考虑运用公式法，对于四项式多项式可以考虑运用分组分解法。（3）要分解到每个多项式不能再分解为止。【模拟试题】一. 填空题：1. （ ）（ ） 2. （ 2832x 2235yx)7(x）3. （ ） 4. （ ）（2140y)7(yx198）15. （ ）（ ） 6. （ ）（ 6352mn 2356a）7. （ ）（ ） xk3k8. ，则 )25)(74(1
6、42yxym9. ，则 ， 20nn10. 分解因式 。16382二. 选择题：1. 分解因式为（ ）162xA. B. C. D. )( )8(2x)8(2x)8(2x2. 分解为（ ）230yA. B. C. D. 15(y310(y15y3. 把 分解因式为（ ）5962xA. B. C. D. )(7)27x)5273x)3(72x4. 把 分解因式为（ ）24nmA. B. )(nmC. D. )(xx)5. 在下列二次三项式中，不是 型式子的是（ ）pqxx)(2A. B. C. D. 20121091432 5292x三. 解答题：1. 将下列各式因式分解。（1） （2） （3）
7、 1）652x2x02x（3） （4） （5）18256a23y2. 将下列各式因式分解。（1） （2） （3）724m44073yx145b（4） （5） （6） 23x22a3. 因式分解。（1） （2）4)7(10)7(22x 2224 )()(zyzx4. 已知 ，求 的值。02847152yxyx5. 已知 （ ， ），求 的值。622baabba6. 已知 ，求 的值。09232试题答案一.1. ； 2. 3. 4. 7x4yx5yx59x5. ； 6. ； 7. ；635mn2a753328. 9. ； 10. 201 22)()1(二.1. A 2. D 3. B 4. B 5
8、. B三.1. 解：（1） （2）)1(652xx )5(630xx（3） 4102. 解：（1） 17)17878 22224 mmm)(（2） )53)(537 2242 yxyxyxyx （3） )422353. 解：（1） 76(56 24 nnknkknk aaaa（2） (18)148(2 xxx4. 解：（1） )27)7(70)7( 2222 4)3xx（2） 2)()( zyxzyxzyz 5. 解： 8522 0)45(3 或 当 时，（1） yx3754yx737y（2）当 时， y6. 解： 062ba0)2(3baba32当 时，31当 时， 22ba7. 解： 02692ba 0)169()12(2ba)13()( 3b(
