1、1利用导数研究存在性与任意性1对 ，都有 令 ，则 ；，都有 ； ，都有； 2 ，使得 ，则 ； ，使得； ，都有 ；3 ， ，使得 ； ， ，使得 ； ， ，使得且 21.（ 12 分）已知函数 是 的一个极值点.2(),1xfxeabx()f（1 ）若 是 的唯一极值点，求实数 的取值范围；xf（2 ）讨论 的单调性；()f（3 ）若存在正数 ，使得 ，求实数 的取值范围.0x0()fxa21.（ 1） ， 是极值点()12xfeb1x，故 ， 0fx0aa()1(2)xfe是唯一的极值点x恒成立或 恒成立20xea20xea由 恒成立得 ，又 x xxe0a2由 恒成立得 ，而 不存在最
2、小值， 不可能恒成立. 20xea2xaex 20xea4 分（2 ）由（1 ）知，当 时， ， ； ， .0a1x()0fx1x()0fx在 递减，在 上递增.()fx,)(,)当 时，02ealn(2)1a， ； ， ； ， .ln()xfxl()1x()0fx1()0fx在 、 上递增，在 上递减。f,l(2)a1,ln2,a当 时， 在 、 上递增，在 递减。ea()fx,)(l),(ln2),1a时， 在 上递增. 8 分2()fR（3）当 时， ，满足题意；0a1fea当 时， ，满足题意；2e()f当 时，由（2）知需 或 ，来源:学。科。网 Z。X。X。Ka(0)fa(ln2)
3、fa当 时， ，而 ，故存在 使得 ，这样(0)fa(1)fe10x1()fxa时 的值域为 从而可知满足题意1,x()fx2,a当 时，得 或者 解得 ；(ln2)faln()1ln(2)3a32e当 时， 可得满足题意.e(0)2f3的取值范围 或 . 12 分a32ea例 1已知函数 f(x)(ax 2xa)e x，g(x)bln xx(b0)(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)当 a 时，若对任意 x1(0,2) ，存在 x21,2，使 f(x1)g(x 2)0 成立，12求实数 b 的取值范围解：(1)由题意得 f(x) (x1)(axa1)e x当 a0 时，f (x)(x1)
4、e x，当 x(， 1)时，f(x)0，f(x)在(，1)上单调递增；当 x(1，)时， f(x)0，f(x)在(1，)上单调递减当 a0 时，令 f(x)0，则 x1 或 x1 ，1a当 a0 时，因为1 1，1a所以 f(x)在( ，1) 和 上单调递增，在 上单调递( 1 1a， ) ( 1， 1 1a)减；当 a0 时，因为1 1，1a所以 f(x)在 和(1，)上单调递减，在 上单调递( ， 1 1a) ( 1 1a， 1)增(2)由(1)知当 a 时，f (x)在(0,1)上单调递减，在(1,2) 上单调递增，12因此 f(x)在(0,2) 上的最小值为 f(1)04由题意知，对任
5、意 x1(0,2)，存在 x21,2，使 g(x2)f(x 1)成立，因为f( x1)max0，所以 bln x2 x20，即 b x2ln x2令 h(x) ，x1,2，xln x则 h(x) 0，ln x 1ln x2因此 h(x)minh (2) ，所以 b ，2ln 2 2ln 2即实数 b 的取值范围是 2ln 2， )例 2(2017南昌模拟)已知函数 f(x)ln xax 2a2(aR ，a 为常数)(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)若存在 x0 (0,1，使得对任意的 a(2,0，不等式 meaf(x 0)0(其中 e为自然对数的底数)都成立，求实数 m 的取值范围解：(
6、1)函数 f(x)的定义域 为(0， ) ，f(x) 2ax ，当 a0 时，f(x)0，1x 1 2ax2x所以函数 f(x)在区间(0，)上单调递增；当 a0 时，由 f(x)0 且 x0，解得 0x ，12a所以函数 f(x)在区间 上单调递增，在区间 上单调递减(0， 12a 12a， )5(2)由(1)知，当 a(2,0 时，函数 f(x)在区间(0,1上单调递增，所以 x(0,1时，函数 f(x)的最大值是 f(1)22a，对任意的 a(2,0，都存在 x0(0,1，不等式 meaf (x0)0 都成立，等价于对任意的 a(2,0，不等式 mea22a0 都成立，不等式mea22a
7、 0 可化为 m ，2a 2ea记 g(a) (a(2,0)，2a 2ea则 g(a) 0，2ea 2a 2eae2a 4 2aea所以 g(a)的最大 值是 g(0)2，所以实数 m 的取值范围是(2，)例 3(2017沈阳质监)已知函数 f(x) x2aln xb(aR) 12(1)若曲线 yf( x)在 x1 处的切线的方程为 3xy30，求实数 a，b 的值；(2)若 x1 是函数 f(x)的极值点，求实数 a 的值；(3)若2a 0，对任意 x1，x 2(0,2 ，不等式|f(x 1)f(x 2)|m 恒成|1x1 1x2|立，求 m 的最小值解：(1)因为 f(x) x2a ln
8、xb，12所以 f (x)x ，ax因为曲线 y f(x)在 x1 处的切线的方程为 3xy 30，6所以Error!即Error!解得Error!(2)因为 x1 是函数 f(x)的极 值点，所以 f (1)1a0，所以 a1当 a1 时，f (x) x2ln xb，定 义域为(0 ， )，12f(x)x ，1x x2 1x x 1x 1x当 0x1 时，f (x)0，f(x)单调递减，当 x1 时，f (x)0，f (x)单调递增，所以 a1(3)因为2 a0,0x2，所以 f(x)x 0，ax故函数 f(x)在(0,2 上单调递 增，不妨设 0x 1x 22，则|f(x 1)f( x2)
9、|m 可化为 f(x2) f (x1) ，|1x1 1x2| mx2 mx1设 h(x)f( x) x2aln xb ，mx 12 mx则 h(x1)h(x 2)所以 h(x)为(0,2 上的减函数，即 h(x) x 0 在(0,2上恒成立，ax mx2等价于 x3axm0 在(0,2上恒成立，即 mx 3ax 在(0,2 上恒成立，又2a0，所以 ax2x，所以 x3axx 32x，7而函数 yx 32x 在(0,2上是增函数，所以 x32x12(当且仅当 a2，x2 时等号成立)所以 m12，即 m 的最小值为 128练 1.设函数 f（x）=xlna x2ax（a0，a1）（1）当 a=
10、e 时，求函数 f（x）的图象在点（0，f（0）的切线方程；（2）若存在 x1，x 21，1，使得|f （x 1）f（x 2）| e 1（e 为自然对数的底数），求实数 a 的取值范围9练 2.设 f(x) xln x，g(x)x 3x 23ax(1)如果存在 x1，x 20,2，使得 g(x1)g(x 2)M 成立，求满足上述条件的最大整数 M；(2)如果对于任意的 s，t ，都有 f(s)g(t) 成立，求实数 a 的取值范围12，2解 (1)存在 x1，x20,2，使得 g(x1)g (x2)M 成立，等价于g( x1)g(x 2)maxM由 g(x)x 3 x23，得 g(x) 3 x
11、22x3x (x 23)由 g(x) 0 ，解得 0x ；23由 g(x) 0 ，解得 x0 或 x 23又 x0,2，所以 g(x)在区 间 上单调递减，在区间 上单调递增，0，23 23，2又 g(0)3 ，g(2)1，故 g(x)maxg(2) 1，g(x)ming (23) 8527所以g (x1)g(x 2)maxg(x) maxg(x) min101 M，8527 11227则满足条件的最大整数 M4(2)对于任意的 s，t ，12，2都有 f(s)g(t)成立，等价于在区间 上，12，2函数 f(x)min g(x)max由(1)可知在区 间 上，g(x)的最大值为 g(2)112，2在区间 上，f( x) xln x1 恒成立等价于 axx 2ln x 恒成立12，2 ax设 h(x)xx 2ln x，x ，12，2则 h(x) 12xln xx，易知 h(x) 在区间 上是减函数，12，2又 h(1)0，所以当 1 x2 时， h(x)0；当 x1 时，h (x)012所以函数 h(x)xx 2ln x 在区间 上单调递增，在区间1,2上单调递减，12，1所以 h(x)maxh(1) 1，所以实数 a 的取值范围是1，)练 3.已知函数 f(x)ln xax 1(aR)1 ax
