勾股定理中的动点题.doc

1、勾股定理中的动点题动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动” ，即把动态问题，变为静态问题来解。一般方法是抓住变化中的“不变量” ，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量 X、Y 的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。 这类题目难度较大从数学知识点来看，一般考察几何图像的判定和性质（如梯形，相似三角形，直角三角形等）以及函数和方程的知识等综合性很强. 从数学思想方法看有：数形结合的思想方法，转化的

2、思想方法，分类讨论的思想方法，方程的数学，函数的思想方法等关键:动点中的分类讨论：抓住运动中的关键点，动中求静.1、如图，在梯形 ABCD 中， ADBC，AB=AD=DC=4 ，A=120动点 P、E、M 分别从B、A、D 三点同时出发，其中点 P 沿 BA 向终点 A 运动，点 E 沿 AD 向终点 D 运动，点 M沿 DC 向终点 C 运动，且它们的速度都为每秒 2 个单位连接 PE、PM、EM ，设动点P、E 、M 运动时间为 t（单位：秒） ，PEM 的面积为 S（1 ）判断PAE 与EDM 是否全等，说明理由；（2 ）连接 BD，求证：EPMABD；（3 ）求 S 与 t 的函数关

3、系式，并求出PEM 的面积的最小值考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；全等三角形的判定；勾股定理；梯形。解答：解：（1）PAEEDM，理由如下：根据题意，得 BP=AE=DM=2t，AB=AD=DC=4，AP=DE=4 2t（1 分）在梯形 ABCD 中，AB=DC ，PAE= EDM；（2 分） 又 AP=DE，AE=DM， PAE EDM （3 分）（2 ）证明：PAEEDM， PE=EM，1= 2（4 分）3+ 2=1+BAD， 3= BAD；（5 分）AB=AD ，；（6 分） EPM ABD （7 分）（3 ）过 B 点作 BFAD ，交 DA 的延长线于 F，过 P 点作

4、 PGAD 交于 G；在 Rt AFB 中， 4=180 BAD=180120 =60，BF=AB sin4=4sin60=S ABD= （8 分）在 Rt APG 中， PG=APsin4=（42t）sin60= （2t） AG=APcos4=（42t）cos60=2 t，GE=AG+AE=2 t+2t=2+t PE2= PG2+ GE2 （2 t）2+ （2+t）2=4t28t+16EPMABD， = （9 分）S EPM=4 =；S 与 t 的函数关系式为 S= （0 t2） （10 分）即 S=当 t=1，S 有最小值，最小值为 （12 分）另一解法（略解）在 RtAPG 中，PG=A

5、Psin4=（42t）sin60=（2t） AG=APcos4=（42t）cos60=2 t在 Rt MFD 中， FM=DMsinMDF=2tsin60=，DF=DMcosMDF=2tcos60=tGF=AG+AD+DF=2t+4+t=6，GE=AG+AE=2t+2t=2+t，EF=ED+DF=42t+t=4t；SEPM=S 梯形 PGFMS PEG S EFM= （0t2）2、 （ 2010湘潭）如图，在直角梯形 ABCD 中，ABDC，D=90，ACBC，AB=10cm，BC=6cm，F 点以 2cm/秒的速度在线段 AB 上由 A 向 B 匀速运动，E 点同时以 1cm/秒的速度在线段

6、 BC 上由 B 向 C 匀速运动，设运动时间为 t 秒（0t5） （1 ）求证：ACDBAC；（2 ）求 DC 的长；（3 ）设四边形 AFEC 的面积为 y，求 y 关于 t 的函数关系式，并求出 y 的最小值考点：二次函数的最值；勾股定理；相似三角形的判定与性质。解答：解：（1）CDAB，BAC=DCA（1 分）又 ACBC，ACB=90，D= ACB=90 ， （2 分）ACD BAC（3 分） （2 ） 4 分ACDBAC 5 分即 解得： 6 分（3 ） 过点 E 作 AB 的垂线，垂足为 G，ACBEGB 7 分 即 故 8 分= 故当 t=时，y 的最小值为 193、 （ 20

7、07河北）如图，在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC=50，AD=75，BC=135点P 从点 B 出发沿折线段 BAADDC 以每秒 5 个单位长的速度向点 C 匀速运动；点 Q 从点C 出发沿线段 CB 方向以每秒 3 个单位长的速度匀速运动，过点 Q 向上作射线 QKBC，交折线段 CDDA AB 于点 E点 P、Q 同时开始运动，当点 P 与点 C 重合时停止运动，点Q 也随之停止设点 P、Q 运动的时间是 t 秒（t0） （1 ）当点 P 到达终点 C 时，求 t 的值，并指出此时 BQ 的长；（2 ）当点 P 运动到 AD 上时，t 为何值能使 PQDC ；（3 ）设射线

8、 QK 扫过梯形 ABCD 的面积为 S，分别求出点 E 运动到 CD、DA 上时，S 与 t 的函数关系式；（不必写出 t 的取值范围）（4 ） PQE 能否成为直角三角形？若能，写出 t 的取值范围；若不能，请说明理由考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质；平行四边形的判定。解：（1）t =（5075 50）5=35（秒）时，点 P 到达终点 C（1 分）此时，QC=35 3=105，BQ 的长为 135105=30（2 分）（2 ）如图 8，若 PQDC，又 ADBC，则四边形 PQCD为平行四边形，从而 PD=QC，由 QC=3t，BA+AP=5t得 50 75

9、5t=3t，解得 t=经检验，当 t=时，有 PQDC（4 分）（3 ） 当点 E 在 CD 上运动时，如图 9分别过点 A、D作 AFBC 于点 F，DH BC 于点 H，则四边形 ADHF 为矩形，且 ABFDCH，从而 FH= AD=75，于是 BF=CH=30DH=AF=40又 QC=3t，从而 QE=QCtanC=3t=4t （注：用相似三角形求解亦可）S=SQCE =QEQC=6t2；（6 分）当点 E 在 DA 上运动时，如图 8过点 D 作 DHBC 于点 H，由知 DH=40，CH=30，又 QC=3t，从而 ED=QH=QCCH=3t30S= S 梯形 QCDE =(EDQ

10、C)DH =120t600（8 分）（4 ） PQE 能成为直角三角形（9 分）当PQE 为直角三角形时，t 的取值范围是 0t25 且 t或 t=35（12 分）（注：（4）问中没有答出 t 或 t=35 者各扣 1 分，其余写法酌情给分）下面是第（4）问的解法，仅供教师参考：当点 P 在 BA（包括点 A）上，即 0t10 时，如图 9过点 P 作 PGBC 于点 G ，则PG=PBsinB=4t，又有 QE=4t = PG，易得四边形 PGQE 为矩形，此时 PQE 总能成为直角三角形当点 P、E 都在 AD（不包括点 A 但包括点 D）上，即 10t25 时，如图 8由 QKBC 和

11、ADBC 可知，此时，PQE 为直角三角形，但点 P、E 不能重合，即 5t503t 30 75，解得 t当点 P 在 DC 上（不包括点 D 但包括点 C） ，即 25 t35 时，如图 10由 ED25330=45，可知，点 P 在以 QE=40 为直径的圆的外部，故EPQ 不会是直角由PEQ DEQ ，可知PEQ 一定是锐角对于PQE，PQECQE ，只有当点 P 与 C 重合，即 t=35 时，如图 11，PQE=90 ，PQE 为直角三角形综上所述，当PQE 为直角三角形时，t 的取值范围是 0 t25 且 t或 t=354、 （ 2009青岛）如图，在梯形 ABCD 中， ， ，

12、， ，点由 B 出发沿 BD 方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段 EF 由 DC 出发沿 DA 方向匀速运动，速度为 1cm/s，交于 Q，连接PE若设运动时间为（s ） （） 解答下列问题：（1 ）当为何值时，？（2 ）设的面积为（cm2） ，求与之间的函数关系式；（3 ）是否存在某一时刻，使？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由（4 ）连接，在上述运动过程中，五边形的面积是否发生变化？说明理由考点：平行线的判定；根据实际问题列二次函数关系式；三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质。解：（1） 而， ， 当 2 分（2 ） 平行且等于，四边形是平行四边形 ， 过 B 作，

13、交于，过作，交于， 又， ， ， 6 分（3 ） 若，则有， 解得（4 ）在和中， 在运动过程中，五边形的面积不变 12 分5、如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，D=90 ，AD=9cm，CD=12cm，BC=15cm点P 由点 C 出发沿 CA 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，线段 EF 由 AB 出发沿 AD 方向匀速运动，速度为 1cm/s，且与 AC 交于 Q 点，连接 PE，PF当点 P 与点 Q 相遇时，所有运动停止若设运动时间为 t（s） （1 ）求 AB 的长度；（2 ）当 PECD 时，求出 t 的值；（3 ） 设PEF 的面积为 S，求 S 关于 t 的

14、函数关系式；如图 2，当PEF 的外接圆圆心 O 恰在 EF 的中点时，则 t 的值是多少？（直接写出答案）考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；等腰三角形的判定；勾股定理；直角梯形；三角形的外接圆与外心。解：（1）过 A 作 AMBC 于 M，则四边形 AMCD 是矩形；AD=MC=9cm，AM=CD=12cm；RtABM 中， AM=12cm，BM=BCMC=6cm；由勾股定理，得：AB=6cm（只写答案给 1 分） （3 分）（2 ） D=90，AD=9cm，CD=12cm，AC=15cmAP=15t 当 PECD 时AEPADC= 即 解得 （符合题意） 当 PECD 时，t=4

15、5/8（3 ） 过点 E，F 作 EGAC 于 G，FHAC 于 H因为 AC=BC；EFAB 易证 AQ=AE=t（1分）在 RTADC 中， sinDAC=DC/AC=12/15 EG=AEsinDAC=12/15t ；ADBC ACB =DAC FH=CFsin ACB=CFsinDAC=12/15(15-t)=12-12/15tPQ=15-2t EG+FH=12S PEF=SPQE+SPQF=+= = 12t+90；易知：AE=CP=t ，AP=CF=CQ=15 t，EAP=FCP，AEPCPF，EP=PF；EF 是O 的直径 EPF=90 ；EPF 是等腰直角三角形；易知 EF=AB

16、=6cm；S=1/26 3=45cm2；代入的函数关系式，得：12t+90=45，解得 t= （3 分）点评：此题考查了直角梯形的性质、勾股定理、圆周角定理、等腰三角形和相似三角形的判定和性质等知识的综合应用能力6、如图，在直角梯形中 OABC，已知 B、C 两点的坐标分别为 B（8，6 ） 、C（10 ，0 ） ，动点M 由原点 O 出发沿 OB 方向匀速运动，速度为 1 单位/ 秒；同时，线段 DE 由 CB 出发沿 BA方向匀速运动，速度为 1 单位 /秒，交 OB 于点 N，连接 DM若设运动时间为 t（s） （0t8） （1 ）当 t 为何值时，以 B、D 、M 为顶点的三角形OAB

17、 与相似？（2 ）设DMN 的面积为 y，求 y 与 t 之间的函数关系式；（3 ）连接 ME，在上述运动过程中，五边形 MECBD 的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；直角梯形。专题：综合题；动点型；分类讨论。解：（1）分类讨论。 若 BAOBDM，则， （1 分）在直角梯形中 OABC 由 B（8，6 ） 、C （10，0 ）可知 AB=8，OA=6 ：OB=OC=108/t=10/10-t 解得 t=40/9 （2 分）若BAOBMD， ， （3 分）即 8/10-t=，解得 t=；（4 分）所以当 t= 40/9 t=

18、50/9，以 B，D，M 为顶点的三角形与OAB 相似（2 ）过点 M 作 MFAB 于 F，则BFMBAO；从而 MF/6=(10-t)/10，所以 MF=65/3 t， （5 分）S BDM=1/2BDMF=1/2t（65/3t） ， （6 分）容易证BDN OBCS OBC=1/2106=30，S BDM / SOBC =（）2，所以 SBDN=t2（7 分）当 0t 5 时， y=SDMN=SBDMSBDN=t（6 t）t2=t2+3t；当 5t 8 时， y=SDMN=SBDNS BDM=t2 t（6t）= （8 分）（3 ）在BDM 与OME 中，BD=OM=t，MBD=EOM，B

19、M=EO=10t，所以BDM OME；（9 分）从而五边形 MECBD 的面积等于三角形 OBC 的面积，因此它是一个定值，SMECBD=30 （10 分）点评：此题考查的知识点有：直角梯形的性质、相似三角形及全等三角形的判定和性质、图形面积的求法等知识， （2）题中一定要根据 M、N 的不同位置分类讨论，以免漏解7、如图，梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC=AD=4 ，BDCD，E 是 BC 的中点（1 ）求DBC 的度数；（2 ）求 BC 的长；（3 ）点 P 从点 B 出发沿 BC 以每秒 3 个单位的速度向点 C 匀速运动，同时点 Q 从点 E 出发沿 ED 以每秒 1 个单位的

20、速度向点 D 匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动设运动时间为 t（s） ，连接 PQ当 t 为何值时PEQ 为等腰三角形考点：梯形；等腰三角形的判定。解：（1）设DBC=x，因为 ADBC，AB=AD，所以ABD= ADB=x，四边形 ABCD 为等腰梯形，BCD=2x，又 BD CD， 所以 x+2x=90，即 x=30即DBC=30（2 ）在 RtBCD 中，E 是 BC 的中点，所以 DE=BE=CE又C=60，所以CDE 为等边三角形所以 DE=DC=4，即 BC=2DE=8（3 ）若点 P 在 BE 上，因为PEQ=120，所以 PE=QE；即 43t=t，解之 t=1

21、s；若 P 在 EC 上，因为PEQ=60，所以 PE=QE，即 3t4=t，解之 t=2s所以当 t=1s 或 t=2s 时，PEQ 是等腰三角形8、 （ 2009乐山）如图在梯形 ABCD 中，DC AB，A=90，AD=6 厘米，DC=4 厘米，BC 的坡度 i=3：4 ，动点 P 从 A 出发以 2 厘米/秒的速度沿 AB 方向向点 B 运动，动点 Q 从点 B 出发以 3 厘米/秒的速度沿 BCD 方向向点 D 运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止设动点运动的时间为 t 秒（1 ）求边 BC 的长；（2 ）当 t 为何值时， PC 与 BQ 相互平分

22、；（3 ）连接 PQ，设 PBQ 的面积为 y，探求 y 与 t 的函数关系式，求 t 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？考点：梯形；二次函数的最值。专题：分类讨论。解：（1）作 CEAB 于 E，则四边形 ADCE 是矩形 又 .2 分在中，由勾股定理得：3 分（2 ）要使 PC 与 BQ 相互平分由，只需保证四边形 CPBQ 是平行四边形，此时在上）由（1） ，得 AB=4+8=12，则 PB=122t即解得即秒时，与相互平分（3 ） 当在上，即时，作于，则即 8 分= 9 分当秒时，有最大值为 10 分当在上，即时，=易知随的增大而减小故当秒时， 有最大值为综上，当时，有最大值为 1

23、2 分9、如图，在梯形 ABCD 中， ADBC，AB=DC ，AD=6 ，BC=12，梯形 ABCD 的面积为 36，动点 P 从 D 点出发沿 DC 以每秒 1 个单位的速度向终点 C 运动，动点 Q 从 C 点出发沿 CB 以每秒 2 个单位的速度向点 B 运动，两点同时出发，点 P 到达点 C 时，Q 点随之停止运动（1 ）线段 CD 的长为 5 ；（2 ）设 P、Q 运动时间为 t（0 t 5 ）秒，PQ 与梯形 ABCD 的边 DC、BC 所围成的三角形的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式；（3 ）是否存在某一时刻，使以 P、Q、C 三点为顶点的三角形是直角三角形，若有，

24、请求出相应时间；若没有，请说明理由考点：梯形；一次函数综合题；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质。专题：代数几何综合题；存在型；分类讨论。分析：（1）作 AEBC，DFBC，则四边形 ADFE 是矩形， ABEDCF，由勾股定理可求得 CD 的值；（2 ）过点 P 作 PGBC 于点 G，则 PG 是PCQ 的高，由平行线的性质可求得高 PG 用 t 表示的代数式，而 CQ=2t，故可求得 S 与 t 的关系式；（3 ）分两种情况讨论：当 PQBC 时，作 DEBC 于 E，由平行线分线段成比例可求解；当 QPCD 时，可由相似三角形的性质求解解答：解：（1）作 AEBC，DFBC，垂

25、足分为点 E、F，则四边形 ADFE 是矩形，EF=AD=6，AE=DF，由题意四边形 ABCD 是等腰梯形，AB=CD，AEB=DFC，ABEDCF，CF=BE=（BCEF）2=3梯形的面积为 36，DF=36 2（ AD+BC）=362 （6+12）=4在 Rt CDF 中，由勾股定理得 CD=5；（2 ）过点 P 作 PGBC 于点 G，则 PG 是PCQ 的高，有 PGDF ，PG：DF=CP：CD，DP=t，CD=5，DF=4 ，PC=CDDPPG=，CQ=2t ，S PCQ=CQPG=2t=（3 ）当 P、Q 、 C 三点构成的三角形是直角三角形时，有两种情况：当 PQBC 时，作

26、 DEBC 于 E，PQDE ，=， t=（7 分）当 QPCD 时，QPC=DEC=90，C=C，QPC DEC ，=，=，t=（9 分）由、知：当 t=或时，P 、 Q、C 三点构成的三角形是直角三角形点评：本题考查了等腰梯形的性质，利用了平行线分线段成比价的性质、相似三角形的知识注意处级（3）小题要分两种情况讨论10、菱形 ABCD 的边长为 24 厘米，A=60，质点 P 从点 A 出发沿着 ABBDDA 作匀速运动，质点 Q 从点 D 同时出发沿着线路 DCCBBD 作匀速运动（1 ）求 BD 的长；（2 ）已知质点 P、Q 运动的速度分别为 4cm/秒、5cm/ 秒，经过 12 秒

27、后，P、Q 分别到达M、 N 两点，若按角的大小进行分类，请问AMN 是哪一类三角形，并说明理由考点：菱形的性质。专题：计算题；动点型。分析：（1）根据菱形各边长相等和 A=60即可求证 ABD 为等边三角形；（2 ）根据菱形的边长和 P、Q 的移动速度可以求得 M、N 的位置，即可求得AMN 的形状解答：解：（1）菱形各边长相等，边长为 24cm，A=60，ABD 为等边三角形，BD=24 厘米，（2 ） P 点的移动速度为 4cm/秒、Q 的移动速度为 5cm/秒，故 12 秒后 P 与 D 重合、Q 点为线段 BD 的中点， AMN 为直角三角形点评：本题考查了菱形各边长相等的性质，考查

28、了等边三角形的判定，考查了等腰三角形的腰长相等的性质，本题中正确求得 M、N 的位置是解题的关键11、如图矩形 ABCD 中，AB=10cm ，AD=6cm，在 BC 边上取一点 E，将ABE 沿 AE 翻折，使点 B 落在 DC 边上的点 F 处（1 ）求 CF 和 EF 的长；（2 ）如图 2，一动点 P 从点 A 出发，以每秒 1cm 的速度沿 AF 向终点 F 作匀速运动，过点P 作 PMEF 交 AE 于点 M，过点 M 作 MNAF 交 EF 于点 N设点 P 运动的时间为t（0t10） ，四边形 PMNF 的面积为 S，试探究 S 的最大值？（3 ）以 A 为坐标原点，AB 所在

29、直线为横轴，建立平面直角坐标系，如图 3，在（2）的条件下，连接 FM，若AMF 为等腰三角形，求点 M 的坐标考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质。专题：代数几何综合题；动点型；分类讨论。分析：（1）根据翻折对称性 EF=BE，AF=AB，利用勾股定理求出 DF 的长，CF=AB DF，在CEF 中，设 EF 为 x，则 CE=6x，利用勾股定理列式求解即可求出 EF；（2 ）根据相似三角形对应边成比例求出 PM 的长，矩形的面积等于 PMPF，再根据二次函数最值问题求解；（3 ）因为三角形的腰不明确，分 AM=MF 和 AM=AF 两种情况讨论

30、，当 AM=MF 时，根据等腰三角形三线合一的性质点 M 是 AE 的中点，根据三角形中位线定理即可求出点 M 的坐标；当 AM=AF 时，根据相似三角形对应边成比例求解点 M 的坐标解：（1）由题意，得 AB=AF=10，AD=6 ，DF=8 ，CF=2 （2 分）设 EF=x，则 BF=EF=x，CE=6x在 Rt CEF 中， 22+（6x ）2=x2 解得， ，；（4 分）（2 ） PMEF，APM AFE， 即， ，PMNF 是矩形，S=PMPF=（6 分），当时， ；（8 分）（3 ） 若 AM=FM，则，过点 M 作 MGAB 于 G，则AMGAEB， ，M（5， ） ；（11 分）若 AM=AF=10，过点 M 作 MHAB 于 H，由AMHAEB，得 AH=3， MH=，M （3， ） 故点 M 的坐标为（5， ）或（3 ， ） 点评：本题综合性较强，主要利用勾股定理，等腰三角形的性质，二次函数最值问题求解，相似三角形对应边成比例的性质，熟练掌握各定理和性质并灵活运用是解