1、1动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想1、如图 1，梯形 ABCD 中，AD BC，B=90，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点 P 从A 开始沿 AD 边以 1cm/秒的速度移动，点 Q 从 C 开始沿 CB 向点 B 以 2 cm/秒的速度移动，如果 P，Q 分别从 A，C 同时出发，设移动时间为 t 秒。当 t= 时，四边形是平行四边形；6 当 t= 时，四边形是等腰梯形. 82、如图
2、2，正方形 ABCD 的边长为 4，点 M 在边 DC 上，且 DM=1，N 为对角线 AC 上任意一点，则 DN+MN 的最小值为 53、如图，在 RtABC 中， 906B， ， 2C点 O是 A的中点，过点 O的直线 l从与 重合的位置开始，绕点 O作逆时针旋转，交 B边于点 D过点C作 E 交直线 l于点 E，设直线 l的旋转角为 （1）当 度时，四边形 D是等腰梯形，此时 的长为 ；当 度时，四边形 是直角梯形，此时 的长为 ；（2）当 90时，判断四边形 是否为菱形，并说明理由解：（1）30，1；60，1.5；（2）当=90 0 时，四边形 EDBC 是菱形.=ACB=90 0，B
3、C/ED. CE /AB, 四边形 EDBC 是平行四边形在 Rt ABC 中，ACB=90 0，B=60 0,BC=2, A=30 0.AB=4,AC=2 3. AO=12AC= 3 .在 RtAOD 中，A=30 0，AD=2.BD=2. BD=BC. 又四边形 EDBC 是平行四边形，四边形 EDBC 是菱形 4、在ABC 中，ACB=90 ，AC=BC，直线 MN 经过点 C，且 ADMN 于D，BEMN 于 E.(1)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证： ADCCEB；DE=ADBE ；(2)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时，求证：DE=AD-BE；(
4、3)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时，试问 DE、AD、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等OE CBDAlOCBA（备用图）CBAED图 1NMA BCDEMN图 2ACBEDNM图 32量关系，并加以证明.解：（1） ACD=ACB=90 CAD+ACD=90 BCE+ ACD=90 CAD=BCE AC=BC ADCCEB ADCCEB CE=AD，CD=BE DE=CE+CD=AD+BE (2) ADC=CEB= ACB=90 ACD=CBE 又AC=BC ACDCBE CE=AD，CD=BE DE=CE-CD=AD-BE(3) 当 MN 旋转到图 3 的位置时，DE=
5、BE-AD(或 AD=BE-DE，BE=AD+DE 等) ADC=CEB=ACB=90 ACD= CBE， 又AC=BC ， ACDCBE， AD=CE，CD=BE， DE=CD-CE=BE-AD. 5、数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点90AEF，且 EF 交正方形外角 DCG的平行线 CF 于点 F，求证： AE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接 ME，则 AM=EC，易证MC ，所以 AEF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“
6、点 E 是边 BC 上（除 B， C 外）的任意一点” ，其它条件不变，那么结论“ AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由解：（1）正确证明：在 AB上取一点 M，使 A，连接 MEE 45， 135CF是外角平分线， DCF， F 90， 90EB， （ASA） AF（2）正确 证明：在 BA的延长线上取一点 N使 A，连接 NE NE 45PC四
7、边形 D是正方形， BE FF （ASA） 6、如图, 射线 MB 上,MB=9,A 是射线 MB 外一点,AB=5 且 A 到射线 MB 的距离为 3,动点 P 从 M 沿射线 MB 方向以 1 个单位/ 秒的速度移动，设 P 的运动时间为 t. 求（1） PAB 为等腰三角形的 t 值；（2） PAB 为直角三角形的 t 值；（3） 若 AB=5 且ABM=45 ，其他条件不变，直接写出 PAB 为直角三角形的 t 值A DFC GEB图 1A DFC GEB图 3A DFC GEB图 2A DFC GEBMA DFC GEBN37、如图 1，在等腰梯形 ABCD中， B ， E是 A的中
8、点，过点 E作 FBC 交 D于点 F 46， ， 0 .求：（1）求点 到 C的距离；（2）点 P为线段 E上的一个动点，过 P作 MF交 于点 ，过 M作 NA 交折线ADC于点 N，连结 ，设 x.当点 在线段 上时（如图 2） ， N 的形状是否发生改变？若不变，求出 P 的周长；若改变，请说明理由；当点 在线段 上时（如图 3） ，是否存在点 P，使 N 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 x的值；若不存在，请说明理由解（1）如图 1，过点 E作 GBC于点 E为 AB的中点， 12EAB在 RtB 中， 60 ， 30 2132G， 即点 E到 C的距离为 3 图 1A D
9、EBFCGA DEBFC图 4（备用）A DEBFC图 5（备用）A DEBFC图 1 图 2A DEBFCPNM图 3A DEBFCPNM（第 25 题）4（2）当点 N在线段 AD上运动时， PMN 的形状不发生改变 PMEFG， ， EG BC ， P， 3 同理 4AB 如图 2，过点 作 H于 ， ， 600N ， 132PH 3cos2MPA则 54NM在 RtH 中，222537 PN 的周长 = 74P 当点 在线段 DC上运动时， N 的形状发生改变，但 MNC 恒为等边三角形当 M时，如图 3，作 RM于 ，则 R类似， 2R 23 是等边三角形， 3此时， 612xEPG
10、BC 当 MPN时，如图 4，这时 3MCNP 此时， 6135xEPGM当 时，如图 5， 0 则 120N ， 又 0C ， 180 因此点 与 F重合， C 为直角三角形 tan3CA 此时， 64xEG综上所述，当 2x或 4 或 3时， 为等腰三角形 8、如图，已知 B 中， 10AC厘米， 8B厘米，点 D为 AB的中点(1）如果点 P 在线段 BC 上以 3cm/s 的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A点运动若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， P 与 是否全等，请说明理由；图 3A DEBFCPNM图 4A D
11、EBFCPMN图 5A DEBF（P）CMNGGRG图 2A DEBFCPNMGH5若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使 BPD 与CP全等？（2）若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿AB三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 AC 的哪条边上相遇？解：（1） 1t秒， 31B厘米， 0厘米，点 D为 A的中点， 5D厘米又 8PC， 厘米， 8C厘米， PBD又 AB， ， P PQv， BQ， 又 BQ ， C，则45CD，点 P，点 运动的时间43Pt秒， 5143QCv
12、t厘米/秒。（2）设经过 x秒后点 与点 第一次相遇， 由题意，得2104x，解得803x秒点 P共运动了803厘米 802，点 P、点 Q在 AB边上相遇，经过 秒点 与点 Q第一次在边 AB上相遇9、如图所示，在菱形 ABCD 中，AB=4，BAD=120，AEF 为正三角形，点 E、F 分别在菱形的边BCCD 上滑动，且 E、F 不与 BCD 重合（1）证明不论 E、F 在 BCCD 上如何滑动，总有 BE=CF；（2）当点 E、F 在 BCCD 上滑动时，分别探讨四边形 AECF 和CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值【答案】解：（1）证明
13、：如图，连接 ACAQCDB P6四边形 ABCD 为菱形，BAD=120，BAE+EAC =60，FAC+EAC =60，BAE =FAC 。BAD=120，ABF =60。ABC 和ACD 为等边三角形。ACF=60 ， AC=AB。ABE=AFC 。在ABE 和ACF 中， BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC，ABE ACF（ASA ） 。BE=CF 。（2）四边形 AECF 的面积不变，CEF 的面积发生变化。理由如下：由（1）得ABEACF，则 SABE =SACF 。S 四边形 AECF=SAEC +SACF =SAEC +SABE =SABC ，是定值。作 AHBC 于
14、H 点，则 BH=2， 2AECFB1ABCH432四边。由“垂线段最短” 可知：当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短故AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化，且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小，又 SCEF =S 四边形 AECFS AEF ，则此时CEF 的面积就会最大S CEF =S 四边形 AECFS AEF 。2143233CEF 的面积的最大值是 。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。【分析】（1）先求证 AB=AC，进而求证ABC、ACD 为等边三角形，得ACF =60，AC=
15、AB，从而求证ABE ACF，即可求得 BE=CF。（2）由ABEACF 可得 SABE =SACF ，故根据 S 四边形 AECF=SAEC +SACF =SAEC +SABE=SABC 即可得四边形 AECF 的面积是定值。当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最7短AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化，且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小，根据 SCEF=S 四边形 AECFS AEF ，则CEF 的面积就会最大。10、如图，在AOB 中，AOB=90，OA=OB=6，C 为 OB 上一点，射线 CDOB 交 AB 于点D，OC=2点 P 从点 A
16、 出发以每秒 个单位长度的速度沿 AB 方向运动，点 Q 从点 C 出发以每秒 2个单位长度的速度沿 CD 方向运动，P、Q 两点同时出发，当点 P 到达到点 B 时停止运动，点 Q 也随之停止过点 P 作 PEOA 于点 E，PFOB 于点 F，得到矩形 PEOF以点 Q 为直角顶点向下作等腰直角三角形 QMN，斜边 MNOB，且 MN=QC设运动时间为 t（单位：秒） （1）求 t=1 时 FC 的长度（2）求 MN=PF 时 t 的值（3）当QMN 和矩形 PEOF 有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形面积 S 与 t 的函数关系式（4）直接写出QMN 的边与矩形 PEOF 的边有三个公
17、共点时 t 的值考点： 相似形综合题709388 分析： （1）根据等腰直角三角形，可得 ，OF=EP=t，再将 t=1 代入求出 FC 的长度；（2）根据 MN=PF，可得关于 t 的方程 6t=2t，解方程即可求解；（3）分三种情况：求出当 1t2 时；当 2t 时；当 t3 时；求出重叠（阴影）部分图形面积 S 与 t 的函数关系式；（4）分 M 在 OE 上；N 在 PF 上两种情况讨论求得 QMN 的边与矩形 PEOF 的边有三个公共点时 t 的值解答： 解：（1）根据题意，AOB、AEP 都是等腰直角三角形 ，OF=EP=t，当 t=1 时，FC=1；（2）AP= t，AE=t，PF=OE=6 tMN=QC=2t6t=2t解得 t=2故当 t=2 时，MN=PF；（3）当 1t2 时，S=2t 24t+2；8当 2t 时， S= t2+30t32；当 t3 时， S=2t2+6t；（4）QMN 的边与矩形 PEOF 的边有三个公共点时 t=2 或 点评： 考查了相似形综合题，涉及的知识有等腰直角三角形的性质，图形的面积计算，函数思想，方程思想，分类思想的运用，有一定的难度
