1、欢迎光临数学资源网 ,无需登陆，无需注册，即可免费下载北师大版初中数学和新人教版高中数学教案、试卷、课件、学案、电子课本、课文插图及中考高考复习的有关资料。 第 1 页 共 10 页北师大版 2010 年中考压轴题汇编 9姓名_班级_学号_分数_81.(08 广东茂名 25 题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=- 32x+b+c经过 A(0,-4)、 B(x1,0)、 C(x2,0)三点,且 2- 1=5.(1)求 、 c的值;(2)在抛物线上求一点 D,使得四边形 BDCE 是以 BC 为对 角线的菱形;(3)在抛物线上是否存在一点 P,使得四边形 BPOH 是以 OB为对角线的菱形?若
2、存在,求出点 P 的坐标,并判断这个菱形是否为正方形?若不存在,请说明理由.解: (08 广东茂名 25 题解析)解:(1)解法一:抛物线 y=- 32x+b+c经过点 A(0,-4), c=-4 又由题意可知, 1、 2是方程- 3x2+b+c=0 的两个根, x1+ 2= 3b, x=- c=6 由已知得( - 1) 2=25又( x2- ) =(x2+ ) -4x12= 49b-24 49b-24=25 解得 = 31 当 = 时,抛物线与 x轴的交点在 x轴的正半轴上,不合题意,舍去. b=- 314 解法二: x1、 2是方程- 3x2+b+c=0 的两个根,即方程 2x-3b+12
3、=0 的两个根. = 49632, x2- 1= b2=5,解得 = 34 (以下与解法一相同.) (2)四边形 BDCE 是以 BC 为对角线的菱形,根据菱形的性质,点 D 必在抛物线的对称轴上, 又 y=- 32x-14-4=- 32(x+ 7) 2+ 65 抛物线的顶点(- 7, 65)即为所求的点 D (3)四边形 BPOH 是以 OB 为对角线的菱形,点 B 的坐标为(-6,0),根据菱形的性质,点 P 必是直线 x=-3 与（第 25 题图）AxyB C O欢迎光临数学资源网 ,无需登陆，无需注册，即可免费下载北师大版初中数学和新人教版高中数学教案、试卷、课件、学案、电子课本、课文
4、插图及中考高考复习的有关资料。 第 2 页 共 10 页抛物线 y=- 32x-14-4 的交点, 当 =-3 时, =- (-3) 2- 3(-3)-4=4, 在抛物线上存在一点 P(-3,4),使得四边形 BPOH 为菱形 四边形 BPOH 不能成为正方形,因为如果四边形 BPOH 为正方形,点 P 的坐标只能是(-3,3),但这一点不在抛物线上 82.(08 广东肇庆 25 题)已知点 A(a, 1y)、 B(2a,y 2)、 C(3a,y3)都在抛物线 xy125上.(1)求抛物线与 x 轴的交点坐标;(2)当 a=1 时,求 ABC 的面积;(3)是否存在含有 1y、 y 2、 y3
5、,且与 a 无关的等式?如果存在,试给出一个,并加以证明;如果不存在,说明理由.(08 广东肇庆 25 题解析)解:(1)由 5 x12=0, 得 01x, 52.抛物线与 x 轴的交点坐标为(0,0)、( 5,0). (2)当 a=1 时,得 A(1,17)、 B(2,44)、 C(3,81), 分别过点（ ）A B C 作 x 轴的垂线,垂足分别为 D E、 F,则有S=S ADF梯 形 - ADEBS梯 形 - C梯 形 = 2)817(- 21)47(- 21)8(=5(个单位面积)(3)如: )(312yy. 事实上, )3(5a =45a2+36a. 3( 12y)=35(2a)2
6、+122a-(5a2+12a) =45a2+36a. )(312yy. 83.(08 辽宁沈阳 26 题)26.如图所示,在平面直角坐标系中,矩形 ABOC的边 在 x轴的负半轴上,边 OC在 y轴的正半轴上,且 1AB, 3O,矩形 绕点 按顺时针方向旋转 60后得到矩形 EFD.点 的对应点为点 E,点 的对应点为点 F,点 的对应点为点 D,抛物线 2yaxbc过点 ， ， .(1)判断点 是否在 y轴上,并说明理由;(2)求抛物线的函数表达式;(3)在 x轴的上方是否存在点 P,点 Q,使以点 OBPQ， ， ， 为顶点的平行四边形的面积是矩形 ABC面积的 2 倍,且点 在抛物线上,
7、若存在,请求出点 ,点 的坐标;若不存在,请说明理由.(08 辽宁沈阳 26 题解析)解:(1)点 E在 y轴上 理由如下:连接 AO,如图所示,在 RtABO 中, 1, 3B, 2AO1sin2B, 30由题意可知: 6E69OA点 B在 x轴上, 点 在 y轴上 (2)过点 D作 M轴于点1, 30在 RtO 中, 12, 3点 D在第一象限,点 的坐标为 3， yxO第 26 题图DECFAB欢迎光临数学资源网 ,无需登陆，无需注册，即可免费下载北师大版初中数学和新人教版高中数学教案、试卷、课件、学案、电子课本、课文插图及中考高考复习的有关资料。 第 3 页 共 10 页由(1)知 2
8、EOA,点 E在 y轴的正半轴上点 的坐标为 (0)，点 的坐标为 31， 抛物线 2yaxbc经过点 E,c由题意,将 (31)A， , 2D， 代入 2yaxb中得3124ab解得8953b所求抛物线表达式为: 289yx (3)存在符合条件的点 P,点 Q 理由如下: 矩形 ABOC的面积 3BA以 ， ， ， 为顶点的平行四边形面积为 2.由题意可知 为此平行四边形一边,又 3OB边上的高为 2 依题意设点 P的坐标为 ()m，点 在抛物线 28539yx上28539解得, 10m, 25381()P，, 2，以 OBQ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形, 3,当点 1P的坐标为
9、(02)， 时,点 Q的坐标分别为 1， , 2()Q， ;当点 2的坐标为 538， 时,点 的坐标分别为 312， , 4328， 84.(08 辽宁 12 市 26 题)26.如图 16,在平面直角坐标系中,直线 与 轴交于点3yx,与 轴交于点 ,抛物线 经过AyC23(0)yaxca三点.B， ，(1)求过 三点抛物线的解析式并求出顶点 的坐标;， ， F(2)在抛物线上是否存在点 ,使 为直角三角形,若存在,直PAB接写出 点坐标;若不存在,请说明理由;P(3)试探究在直线 上是否存在一点 ,使得 的周长最小,若ACM存在,求出 点的坐标;若不存在,请说明理由.M(08 辽宁 12
10、 市 26 题解析)解:(1) 直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 .3yxAyC, (10)A， ()C，点 都在抛物线上,，yxODECFAB MA O xyBFC图 16欢迎光临数学资源网 ,无需登陆，无需注册，即可免费下载北师大版初中数学和新人教版高中数学教案、试卷、课件、学案、电子课本、课文插图及中考高考复习的有关资料。 第 4 页 共 10 页230ac3a抛物线的解析式为 233yx顶点 41F，(2)存在 1(03)P，2，(3)存在 理由:解法一:延长 到点 ,使 ,连接 交直线 于点 ,则点 就是所求的点.BCBCFACM过点 作 于点 .HA点在抛物线 上,233yx(0
11、)B，在 中, ,RtBOC tanB, ,3023在 中, ,tH 1, , 6BO(23)B，设直线 的解析式为Fykxb解得234kb362k362yx解得 362yx3710xy， 3107M，在直线 上存在点 ,使得 的周长最小,此时 ACMBF 37，解法二:过点 作 的垂线交 轴于点 ,则点 为点 关于直线 的对称点.连接 交FyHACBH于点 ,则点 即为所求 A过点 作 轴于点 ,则 , .GOBFG ,90BOCFCH同方法一可求得 .(3)，在 中, , ,可求得 ,RtBC 3tanB30OBC 3GHC为线段 的垂直平分线,可证得 为等边三角形,GFHF垂直平分 .A
12、即点 为点 关于 的对称点. A530H，设直线 的解析式为 ,由题意得BykxbA O xy BFC图 9HB M A O xy BFC图 10H MG欢迎光临数学资源网 ,无需登陆，无需注册，即可免费下载北师大版初中数学和新人教版高中数学教案、试卷、课件、学案、电子课本、课文插图及中考高考复习的有关资料。 第 5 页 共 10 页解得035kb539k39y解得 53xy3710xy3107M，在直线 上存在点 ,使得 的周长最小,此时 ACMBF 37，85.(08 内蒙古赤峰 25 题)在平面直角坐标系中给定以下五个点 17(30)(14(03(0)24ABCDE， ， ， ， ， ，
13、 ， ， ，.(1)请从五点中任选三点,求一条以平行于 y轴的直线为对称轴的抛物线的解析式;(2)求该抛物线的顶点坐标和对称轴,并画出草图;(3)已知点 154F， 在抛物线的对称轴上,直线7y过点 7G， 且垂直于对称轴.验证:以(10)E，为圆心, F为半径的圆与直线 174y相切.请你进一步验证,以抛物线上的点 2D， 为圆心 F为半径的圆也与直线 174y相切.由此你能猜想到怎样的结论.(08 内蒙古赤峰 25 题解析)25.解:(1)设抛物线的解析式为 2yaxbc,且过点 (30)(10)ACE， ， ， ， ， ,由 ， 在 2yaxbcH .则 c.得方程组 930c,解得 1
14、2ab， .抛物线的解析式为 23yx(2)由 23(1)4yx得顶点坐标为 (14)， ,对称轴为 x. (3)连结 EF,过点 作直线 74y的垂线,垂足为 N,则 74NHG.在 Rt 中, 2, 15,2EF,N,以 点为圆心, 为半径的 EA与直线 174y相切. 连结 D过点 作直线 174y的垂线,垂足为 M.过点 D作 QGH垂足为 ,则 052MQG.在 RtF 中, 3, 82F.2D.以 点为圆心 为半径的 DA与直线 174y相切. 以抛物线上任意一点 P为圆心,以 F为半径的圆与直线 174y相切. yO x(30)A，(03)C， 1724D，()E，GF(14)B
15、，HyO x(30)A，(03)C， 1724D，()E，F(14)B，HQ7G，M N欢迎光临数学资源网 ,无需登陆，无需注册，即可免费下载北师大版初中数学和新人教版高中数学教案、试卷、课件、学案、电子课本、课文插图及中考高考复习的有关资料。 第 6 页 共 10 页86.(08 青海西宁 28 题)如图 14,已知半径为 1 的 与 轴交于 两点, 为 的OAxB， OM1A切线,切点为 ,圆心 的坐标为 ,二次函数 的图象经过 两点.M1O(20)， 2ybc，(1)求二次函数的解析式;(2)求切线 的函数解析式;(3)线段 上是否存在一点 ,使得以 为顶点的三PA， ，角形与 相似.若
16、存在,请求出所有符合条件的点 的坐1 P标;若不存在,请说明理由.(08 青海西宁 28 题解析)解:(1) 圆心 的坐标为 ,1O(20)，半径为 1, , 1OA(10A， 3)B，二次函数 的图象经过点 ,2yxbcAB，可得方程组 930解得: 二次函数解析式为 4bc243yx(2)过点 作 轴,垂足为 MFxF是 的切线, 为切点, (圆的切线垂直于经过切点的半径).O1A1OM在 中,1Rt 11sin2为锐角, 1130,1cos302OMA在 中, .RtF 3cos02OA.1sin302A点 坐标为 M32，设切线 的函数解析式为 ,由题意可知 , O(0)ykx32k3
17、切线 的函数解析式为 3(3)存在 过点 作 轴,与 交于点 .可得 (两角对应相等两三A1PxOM1P11RttAOM 角形相似), 113tanta01，过点 作 ,垂足为 ,过 点作 ,垂足为 .A2PO2P2HOA可得 (两角对应相等两三角开相似)1RttM 在 中, , ,2t 23cos02A在 中, ,2RtOPH 22s4PO, 22231sin4A23，符合条件的 点坐标有 , P， ，87.(08 青海省卷 28 题)王亮同学善于改进学习方法,他发现对解题过程进行回顾反思,效果会更好.某一天他利用 30 分钟时间进行自主学习.假设他用于解题的时间 x(单位:分钟)与学习收益
18、量 y的关系如图甲所示,用于回顾反思的时间 x(单位:分钟)与学习收益量 y的关系如图乙所示(其中 OA是抛物线的一部分, A为抛物线的顶点),且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间.图 14yxO A BMO1yAH FMOP1P2O1 xB欢迎光临数学资源网 ,无需登陆，无需注册，即可免费下载北师大版初中数学和新人教版高中数学教案、试卷、课件、学案、电子课本、课文插图及中考高考复习的有关资料。 第 7 页 共 10 页(1)求王亮解题的学习收益量 y与用于解题的时间 x之间的函数关系式,并写出自变量 x的取值范围;(2)求王亮回顾反思的学习收益量 与用于回顾反思的时间 之间的函数关系式;
19、(3)王亮如何分配解题和回顾反思的时间,才能使这 30 分钟的学习收益总量最大?(学习收益总量 解题的学习收益量 回顾反思的学习收益量)(08 青海省卷 28 题解析)解:(1)设 ykx,把 (24)， 代入,得 2k.yx.自变量 的取值范围是: 03x . (2)当 05 时,设 2()yax,把 ， 代入,得 0, 1a.22(5)yxx. 当 1 时,即20(5)51xxy .(3)设王亮用于回顾反思的时间为 (015)x 分钟,学习效益总量为 Z,则他用于解题的时间为 (30)x分钟.当 05x 时,2221()860(4)76Z x.当 4时, 76最 大 . 当 5x 时,2(
20、30)285Zx. 随 的增大而减小,当 5x时, 7最 大 .综合所述,当 4时, 6Z最 大 ,此时 3026x. 即王亮用于解题的时间为 26 分钟,用于回顾反思的时间为 4 分钟时,学习收益总量最大.88.(08 山东济宁 26 题)ABC中, 90, 6A, 2Ccm.长为 1cm 的线段 MN在 ABC 的边 上沿方向以 1cm/s 的速度向点 B运动(运动前点 与点 A重合).过 ， 分别作 的垂线交直角边于 PQ， 两点,线段 MN运动的时间为 ts.(1)若 的面积为 y,写出 与 t的函数关系式(写出自变量 t的取值范围);(2)线段 N运动过程中,四边形 QP有可能成为矩
21、形吗?若有可能,求出此时 t的值;若不可能,说明理由;(3)t为何值时,以 C， ， 为顶点的三角形与 ABC 相似?(08 山东济宁 26 题解析)解:(1)当点 P在 上时, Mt, tg603PAt.213(01)2yttA O Oy yx xA2 5 15第 28 题图图甲 图乙4 25欢迎光临数学资源网 ,无需登陆，无需注册，即可免费下载北师大版初中数学和新人教版高中数学教案、试卷、课件、学案、电子课本、课文插图及中考高考复习的有关资料。 第 8 页 共 10 页当点 P在 BC上时, 3tan0(4)MtA.2133(4)(1)26yttttA (2),. 413BNMNtt.ta
22、n30()QNBt由条件知,若四边形 MQP为矩形,需 Q,即 3()tt,34t.当 s 时,四边形 N为矩形 (3)由(2)知,当 ts 时,四边形 QP为矩形,此时 AB ,PQCAB 除此之外,当 30时, C ,此时 3tan0CQP.1cos602MAP, 2APMt. 2t 3BNQ, 3()2BNQt.又 23C, 3()3tt 23t, 12t.当 ts 或 4s 时,以 CPQ， ， 为顶点的三角形与 ABC 相似 89.(08 四川巴中 30 题)30.已知:如图 14,抛物线234yx与 轴交于点 A,点 B,与直线b相交于点 ,点 C,直线yx与 y轴交于点 E.(1
23、)写出直线 B的解析式.(2)求 A 的面积.(3)若点 M在线段 上以每秒 1 个单位长度的速度从 向 运动(不与 ， 重合),同时,点 N在射线 C上以每秒 2 个单位长度的速度从 B向 C运动.设运动时间为 t秒,请写出 的面积 S与 t的函数关系式,并求出点 运动多少时间时, M 的面积最大,最大面积是多少?(08 四川巴中 30 题解析)解:(1)在 234yx中,令 0y2304x1, 2()A，, (B， 又 点 在 34yxb上02bBC的解析式为 342yx (2)由234yx,得19y20 xyA BCEMD PNO欢迎光临数学资源网 ,无需登陆，无需注册，即可免费下载北师
24、大版初中数学和新人教版高中数学教案、试卷、课件、学案、电子课本、课文插图及中考高考复习的有关资料。 第 9 页 共 10 页914C， , (20)B，A, D 924BCS(3)过点 N作 PM于点EO B由直线 342yx可得: 30E，在 BEO 中, , ,则 52B253tNP, 65t 1(4)StA205t3()t此抛物线开口向下, 当 2t时, 125S最 大当点 M运动 2 秒时, NB 的面积达到最大,最大为 90.(08 四川自贡 26 题)抛物线 的顶点为 M,与 轴的交点为（ ）)0(2acbxy xAB(点 B 在点 A 的右侧),ABM 的三个内角M、（ ）AB
25、所对的边分别为 m、 a、b 若关于 的一元二次方程 有0)(2)(amba两个相等的实数根(1)判断ABM 的形状,并说明理由(2)当顶点 M 的坐标为(-2,-1)时,求抛物线的解析式,并画出该抛物线的大致图形(3)若平行于 轴的直线与抛物线交于 CD 两点,以 CD 为直径的圆恰好与 轴相切,求该圆的x x圆心坐标(08 四川自贡 26 题解析)解:(1)令 0)(4)2(amb得 22mba由勾股定理的逆定理和抛物线的对称性知ABM 是一个以 、 为直角边的等腰直角三角形(2)设 1)2(xyABM 是等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半又顶点 M(-2,-1) ,即 AB=212
26、ABA(-3,0),B(-1,0)将 B(-1,0) 代入 中得1)2(xaya抛物线的解析式为 ,即342xy图略(3)设平行于 轴的直线为 kyx解方程组错误!不能通过编辑域代码创建对象得 , (121k12)线段 CD 的长为以 CD 为直径的圆与 轴相切x据题意得 k1 2k解得 51欢迎光临数学资源网 ,无需登陆，无需注册，即可免费下载北师大版初中数学和新人教版高中数学教案、试卷、课件、学案、电子课本、课文插图及中考高考复习的有关资料。 第 10 页 共 10 页圆心坐标为 和)251,()251,(91.(08 新疆自治区 24 题)某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房.如图,
27、板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成,矩形长为 12m,抛物线拱高为 5.6m.(1)在如图所示的平面直角坐标系中,求抛物线的表达式.(2)现需在抛物线 AOB 的区域内安装几扇窗户,窗户的底边在 AB 上,每扇窗户宽 1.5m,高 1.6m,相邻窗户之间的间距均为 0.8m,左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m.请计算最多可安装几扇这样的窗户?(08 新疆自治区 24 题解析)24.解:(1)设抛物线的表达式为 2yax 点 (65.)B， 在抛物线的图象上. 3a74抛物线的表达式为 2745yx (2)设窗户上边所在直线交抛物线于 C D 两点, D 点坐标为( k,t)已知窗户高 1.6m, .6(1.)4t 2745k12.0.7 ， (舍去) 14CD (m) 又设最多可安装 n 扇窗户 1.508(1).4 46n.答:最多可安装 4 扇窗户 (本题不要求学生画出 4 个表示窗户的小矩形)
