1、9.15 十字相乘法教学目标：1.理解十字相乘法的概念，掌握用十字相乘法分解二次项系数为 1的二次三项式的方法。2.通过复习导入，启发学生从现有的知识探索新知。3.通过课堂交流思考，形成从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质，让学生在学习中体验成功的喜悦。教学重点：能较熟练地用十字相乘法把形如 的二次三项式qpx2分解因式。教学难点：把 分解因式时，准确地找出 a、b ，使qpx2 qba。pba教学过程：一、 复习导入：师：前几节课我们学习了因式分解，首先请同学们先回忆一下什么叫做因式分解。1.复习因式分解因式分解：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多
2、项式分解因式。实质是(和差化积) 与（整式乘法）是“积化和差”的过程正好（相反）2.师：之前我们都学习了哪些分解因式的方法？答：提取公因式法，公式法，在日常生活中，如取款，上网等都需要密码，有一种用因式分解法产生的密码，方便记忆，原理是如对于多项式 ，因式分解的4nm结果是 ，取 时，则各个因式的值是)(2nmn7,n于是便可把“01498”作为一个密码，98,14,0)m那么对于 ，取 时，用上述方法产生的密码可以2256yx,6yx是_.师：要想知道密码是什么，关键要将上式分解因式，那能用提取公因式法和公式法来因式分解吗？不能！那类2256yx似于这样的多项式又该如何分解呢？这就是我们今天
3、这节课要学习的一种新的分解因式的方法十字相乘法。 （在讲新课之前我们先看几个小练习）3.填空：)4(3x )4(3x4. 问题：你有什么快速计算类似多项式的方法吗?答:仔细观察分析各题，我们可以得出，在整式的乘法中,有 填 空 abxbxa)()(2二、探索新知：1、观察与发现等式的左边是两个一次二项式相乘,右边是二次三项式,这个过程将积的形式转化成和差形式,进行的是整式乘法运算。反过来可得 2xabxxab等式的左边是（二次三项式）,右边是两个(一次二项式)相乘,这个过程将( 和差) 的形式转化成(积)的形式,进行的是(因式分解).师：既然从左到右进行的是因式分解，那么我们可不可以利用上面等
4、式左右两边形式上的关系来将和等式左边具有相同特点的多项式进行因式分解呢？（答：可以）师：方法是什么呢？（教师启发）等式右边是因式分解的结果，结果是两个二项式相乘，在这两个二项式中有一项是相同的，都是x，相乘正好得到 ，还剩下 a 和 b，那么要想确定因式分解的结果，2x我们关键要确定什么呢？（确定 a 和 b）那么 a 和 b 如何确定呢？满足什么条件呢？(它们的乘积等于常数项，它们的和等于一次项系数) 这样我们就可以把这个二次三项式因式分解了。提问：试一试，现在有一个多项式 让你分解因式，我们该342x如何分解呢？分析：根据总结的方法，要找到 a+b=一次项系数 4 ab=常数项 3（板书）
5、各种情况师：能否找到两个整数使它们同时满足和为 4，积为 3 呢？答：能！所以 )3(1342xx师：那么通过上面的尝试，你能说一说在寻找这两个整数的时候我们是从它们的和着手较方便还是从它们的积着手方便呢？答：乘积。师：在对 进行因式分解的时候，我们还可以借助画十字交342x叉线来分解， 分解为 常数项 3 可分解为 ，把它们用交叉线,x 31来表示： +1 x+3按十字交叉相乘，它们积的和就是 恰好等于一次项，所以x43得到 )3(1342xx定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。2、小结步骤：师：那么讲了这么多，我们能不能来总结一下用十字相乘法进行因式分
6、解的步骤呢？关键：（1）列出常数项分解成两个因数的积的各种可能情况；（2）尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数；3、例题分析接下来我们通过几个例题来加深一下理解：例 1：分解因式1. 2. 3. 4. 272x 1282x122x（注：其中 1.2.3 教师板书讲解，4 学生练习，1 题如果我写验证一下我分解的对不对，该如何检验呢？按照整式乘法从右向左乘回去。）练一练：在下列各式的横线上填入“+”和“”号。)4_)(31272xx264)(82 xx2x)1_)(2(12 xx师：由上述练习请你说一说你寻找的两数的符号是如何确定的？在 中，)(2 bxaqpx当 q0 时， a、b（ 同
7、号 ） ，且 a、b 的符号和 p 的符号（ 相同 ）.当 q0 时， a、b（ 异号 ） ，且绝对值较大的因数与 p 的符号（ 相同 ).师：如果分的更加详细些，又该如何呢？思考 1：例如，若二次三项式 能找到两数 a、b 使它分解为qpx2，则：)(2 bxaqpx ）且（ 或且时 ， 则） 当（ ）且（ 或且时 ， 则） 当（ 时 ， 则） 当（ 时 ， 则） 当（ babaabapq ,0;_,0_,0,43,（这留作我们今天课后的第一个思考题，希望同学们利用中午的时间讨论一下。 ）例 2：分解因式1. 2. 3. 2245yx4524x3. 练：1. 4)(5)(2yxyx 362.
8、 3)2()2(xx（注：其中 3 和 4 小题，应用数学中的整体思想）思考 2：我们现在所研究的都是二次项系数是 1 的二次三项式用十字相乘法进行因式分解，那么当二次项的系数不是 1，而是其他数字时呢？例如： 123x这是我们今天这节课的第二个思考题。4、拓展练习：问题：若 ，下面两个结论对吗？0BA（1） A 和 B 同时都为 0，即 A=0 且 B=0；（2） A 和 B 中至少有一个为 0，即 A=0 或 B=0。请结合上面的结论，运用十字相乘法解下列一元二次方程：1） ； 2） ； 0672x127x分析：此例是运用十字相乘法因式分解，先把等号左边因式分解，然后再求解。三分层布置作业：四本课小结：这节课主要学了什么？用十字相乘法进行因式分解，步骤是：（1）列出常数项分解成两个因数的积的各种可能情况；（2）尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数；师：还记不记得我们刚刚上课时提到的那个密码问题，那么密码究竟是什么呢？我们一起来看一下！思考 3：老师在读书的时候学到十字相乘法时，曾经心里有这样一个疑惑，是不是所有的二次三项式都可以用十字相乘法进行因式分解呢？如果不是，那满足什么条件的二次三项式可以用十字相乘法进行因式分解呢？这留作我们今天这节课的第三个思考题。
