1、圆锥曲线单元测试卷时间：120 分钟，满分 150 分一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若抛物线 上一点 到焦点 的距离是 ，则 点的坐标是（ ）24yxPF10PA B C D9,6,6,96,2. 点 在圆 上运动，则点 运动的轨迹方程是（ ）,Pmn21xy,2QmnA B21()y21()xyC D22xyx 2x3. 若椭圆 与直线 交于 两点，过原点与线段 的中点的直线的斜1mn10y,ABAB率为 ，则 的值为（ ）A B C D223294. 双曲线的离心率 ，虚轴长为 ， 是它的左右右焦点，若过
2、 的直线与双曲线交于e61,F1F两点，且 成等差数列，则 的长为（ ）,AB22,FBAA B C D836435. 设 ，则关于 的方程 所表示的是（ ）1k,xy2211kxykA长轴在 轴上的椭圆 B长轴在 轴上的椭圆C实轴在 轴上的双曲线 D实轴在 轴上的双曲线yx6. 如果方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是（ ）2xkykA B C D0,0,1,0,17. 双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离等于（ ）2916xyA B C D3428. 椭圆 的弦被点 平分，则此弦所在的直线方程是（ ）21369xy4,2A B C D031xy28xy9. 已知动点 满足 ，则
3、点的轨迹是（ ）,Pxy2104PA椭圆 B双曲线 C抛物线 D两相交直线10. 若方程 表示双曲线，则 的取值范围是（ ）2215xymmA B C D全体实数5或11. 过抛物线 的焦点 作倾斜角为 的直线，交抛物线于 两点，则2(0)ypxF0135,AB的面积为（ ）OA B C D2p22212. 已知椭圆的一个焦点和对应的准线分别是抛物线 的焦点与准线，则椭圆短轴的右端点的2yx轨迹方程是（ ）A B C D21(0)xy2(1)0xyx21(0)4824二、填空题：本大题共 4 小题，第小题 5 分，共 20 分13. 若方程 的曲线是椭圆，则 的取值范围是 。221xkyk()
4、Rk14.椭圆 的一个焦点为 ，点 在椭圆上，如果线段 的中点 在 轴上，则 点213y1FP1PFMy的纵坐标是 。15. 若椭圆的两个焦点为 ， ，长轴长为 ，则椭圆的方程为 。1,02,016. 给出如下四个命题：方程 表示的图形是圆；椭圆椭圆 的离1xy213xy心率 ；抛物线 的准线的方程是 ；双曲线 的渐近线方程是53e2xy18x21495yx。其中所有不正确命题的序号是 。7yx三、解答题：本大题 6 小题，共 70 分17. （本题满分 10 分）已知抛物线 ，过焦点 的弦的倾斜角为 且与抛物线交于2ypxF0，求弦长 。,AB18. 求证：以抛物线的一条焦点弦为直径的圆必与
5、其准线相切。19. （本题满分 10 分）椭圆 的焦点为 ，点 为其上的动点，当 为钝角2164xy12,FP12FP时，求 点的横坐标的取值范围。P20. （本题满分 12 分）椭圆 上有一个动点，若 为长轴的右端点， 为21(0)xyabAB短轴的上端点，求四边形 的面积的最大值及此时的点 的坐标。OAPBP21.（本题满分 12 分）(本小题满分 12 分) 直线 与双曲线 相交于点 ，1yax231xy,AB问是否存在这样的实数 ，使得 关于直线 对称？如果存在，求出实数 ，如果不存在，请说a,AB2a明理由。22. (本小题满分 14 分)已知 是椭圆 的一条弦， 是 的中,AB21
6、(0)xyab2,1MAB点，以 为焦点，以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线 交于 ， （1）设双曲线的离心MAB4,N率为 ，试将 表示为椭圆的半长轴长的函数；（2）当椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数时，求椭圆e的方程；（3）求出椭圆的长轴长的取值范围。答案部分：1解析：设 ，则 ， ， 。故选 。0,Pxy0109x06yB2解析：点 在圆 上，所以 ，设点 的坐标为 ，则 ，解,mn221mnQ,xy2mn出 代入 化简得 。故选 。,2121()xyB3解析：设 ， 的中点为 ， ，而 ，故12(,)(,)AxyBA0,Mxy1201mxnyA02yx。故选 。02myn4解析：
7、由双曲线的离心率 ，虚轴长为 ，得半实轴长 ， ，由2e63a21BFa成等差数列知 。所以 。故选 。22,AFB2ABF4AC5解析：化曲线的方程为标准形式，因为 ，故选 。1kC6解析：方程 表示焦点在 轴上的椭圆，所以 ，解得 。故选 。2xkyy2k01kD7解析：焦点为 ，渐近线为 ，距离 。故选 。5,0F43yx20341dC8解析：利用点差法可求出直线的斜率为 ，再用直线的点斜式求出方程即可。选 。2kD9解析：由 得 ，即点 到点 的距221034xyxy2221134xy,Pxy1,2离和到直线 的距离之比为 ，故选 。3412A10解析：方程 表示双曲线，所以 ，解得
8、。故225xym250m25m或选 。C11解析：弦 的方程 ，把它与 联立得关于 的一元二次方程，注意到AB2pyx2()ypxy，用韦达定理可以求得结果。选 。124ABOpSyA12解析：抛物线的焦点 ，准线为 ，设椭圆短轴的右端点为 ， ，则中心10,8F18y,Mxy0为 ，然后由椭圆的离心率 的几何意义和椭圆的定义求解，故选 。0,ye C13解析：将原方程变形为： ，表示椭圆。则 ，所以22141xykk4102kkkA，所以填 。23k或 2,3,14解析： ， ， ，点 的坐标为 ，设点 的坐标为 ， 点的坐21abc1F3,0P1(,)xyM标为 ，则由中点坐标公式得 ，把
9、 代入椭圆方程，得 ，所以点0,y31,2yxm1xm132的纵坐标为 。M34y15解析： ， ， ， ，所以椭圆的方程为 。1C20A5224bac2154xy16解析：。表示的图形是一个点 ； ；渐近线的方程为 。1,03e717解析：设 的方程为 代入 ，得 。设Bcot2pxyA2x22cot0ypyA，则 。12(,)(,)Axy 4cot21sinp18解析：证明：设 为抛物线 上的任一条焦点弦， 为 的中点，过 分别2(0)pxCB,C向准线 作垂线，垂足分别为 ，由抛物线的定义知 ，于是l ,MND,AFMN， ，又 ，所以 是以 为直径的圆的2rABF2ABCrDllA切线
10、。19解析：设 ，椭圆的焦点的坐标为 ， ，由余弦定理得0,Pxy13,0F23,0， ，2221112cos 0F2200024303xyxyA，又由 得 ，代入解得2220003343xyxy 0164220064xy。04620解析：设 ，则cos,inPabOPABSS四 边 形 B1sinco2ab。当 时，四边形的面积取得最大值 ，此时， 。2sin4b4 2,Pab21解析：假设存在实数 满足题意，则直线 与直线 垂直，故 ，又设a2yx1a在双曲线上，故 ，两式相减得： ，12(,)(,)AxyB213,xy23112123xyxyA设 是 的中点，则 ，则 在直线 上，则 ，
11、故0,Mxy,AB121200xyM2yx02yx，而 且 是不可能的，所以假设不成立。即不存在。02332aa322解析：（1）设 ，则 ， ， 在椭圆上，12(,)(,)AxyB124x12y,AB，两式相减得： ，221xyab121212120ab，即 ，又 ， 。椭圆的离心率212ABMNykkxa14222ac2bc为 ，设椭圆的右准线为 ，过 作 于 ，则由双曲线的定义及题设知ellN。 （2） ， 或 。当2 4Na2ea32a时， ，椭圆的方程为 ，当 时，椭圆的方程为 ，而此时点32a29b2189xy21xy在椭圆外，不可能是椭圆弦的中点，舍去。故所求的椭圆的方程为 。 （3）由题设知,1M2189： ，椭圆的方程为 ，联立 得 ，AB3yx220xya2230yxa22180xa应有 ，即 ，即 ，由（2）知 ， 。22180a6e6且当 时， ，解得 ， ；当 时，6a1ea622a解得 ， ，长轴长 的取值范围是21e2a22。6,4,4
