圆锥曲线中的最值问题.doc_文客久久网wenke99.com

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1、1圆锥曲线中的最值问题一、圆锥曲线定义、性质1.(文)已知 F 是椭圆 1 的一个焦点，AB 为过其中心的一条弦，则ABF 的面积最大值为( )x225 y29A6 B15 C20 D12答案 D 解析 S |OF|y1y 2| |OF|2b12.12 122、若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为 1，则椭圆长轴长的最小值为( )A1 B. C2 D22 2解析：设椭圆 1(ab0) ，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆x2a2 y2b2短轴端点， S 2cbbc1 .a22.a .长轴长 2a2 ，故选 D.12 b2 c22 a22 2 23、(文)(2011

2、山东省临沂市质检)设 P 是椭圆 1 上一点，M、N 分别是两圆：(x4) 2y 21 和(x4) 2y 21 上的x225 y29点，则|PM| |PN|的最小值、最大值分别为( )A9,12 B8,11 C8,12 D10,12解析：由已知条件可知两圆的圆心恰是椭圆的左、右焦点，且|PF 1|PF 2|10，(|PM| |PN|)min1028，(|PM|PN|) max10212，故选 C.点评：圆外一点 P 到圆上所有点中距离的最大值为|PC|r，最小值为|PC|r，其中 C 为圆心， r 为半径，故只要连接椭圆上的点 P 与两圆心 M、N，直线 PM、PN 与两圆各交于两点处取得

3、最值，最大值为|PM|PN|两圆半径和，最小值为|PM| PN|两圆半径和4、(2010福州市质检) 已知 P 为抛物线 y24x 上一个动点，Q 为圆 x2(y4) 21 上一个动点，那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )A5 B8 C. 1 D. 217 5答案 C 解析抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0)，圆 x2(y4) 21 的圆心为 C(0,4)，设点 P 到抛物线的准线距离为 d，根据抛物线的定义有 d|PF|， |PQ|d|PQ|PF|(|PC|1) |PF| |CF|1 1.175、已知点 F 是双曲线 1 的左焦点，定点 A

4、的坐标为(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为x24 y212_解析如图所示，根据双曲线定义 |PF|PF|4，即 |PF|4| PF|.又|PA|PF|AF|5，将|PF|4|PF |代入，得| PA|PF|45，即| PA|PF|9，等号当且仅当 A，P，F三点共线，即 P 为图中的点 P0时成立，故 |PF| PA|的最小值为 9.故填 9.答案 96、已知直线 1:36lxy和直线 2:1lx，抛物线 24yx上一动点到直线1l和直线 2的距离之和的最小值是（）A.2 B.3 C. 5 D. 3716 【解析 1】直线 2:1lx为抛物线 24yx的准

5、线，由抛物线的定义知， P 到 2l的距离等于P 到抛物线的焦点 )0,(F的距离，故本题化为在抛物线 24yx上找一个点使得到点 )0,1(F和直线 2l的距离之和2最小，最小值为 )0,1(F到直线 1:4360lxy的距离，即 25|604|mind，故选择 A。【解析 2】如图，由题意可知 2|d【答案】A二、目标函数法1、椭圆 1 上的一点 P 到两焦点的距离的乘积为 m，则当 m 取最大值时，点 P 的坐x29 y225标是_解析：设椭圆上点 P 到两焦点的距离分别为 u、v，则 uv10，uv m；设F 1PF2，由余弦定理可知 cos ，即 u2v 22uvcos64m ，

6、显然，当 P 与 A 或 B 重合时，u2 v2 2c22uv 181 cosm 最大答案：( 3,0)或(3,0)2、设 F1、F 2 分别是椭圆 y 2 1 的左、右焦点x24(1)若 P 是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；PF1 PF2 解析 (1)由已知得：F 1( ，0)，F2( ，0)，3 3设点 P(x，y)，则 y 21，且2x2.所以 x 23y 2x 231 x22，x24 PF1 PF2 x24 34当 x0，即 P(0，1)时，( )min2；当 x2，即 P(2,0)时，( )max1.PF1 PF2 PF1 PF2 3(2011长安一中、高新一中、交大附

7、中、师大附中、西安中学一模)已知双曲线 x2 1 的左顶点为 A1，右焦点为y23F2， P 为双曲线右支上一点，则的最小值为( )PA1 PF2 A2 B C1 D08116答案 A 解析由已知得 A1(1,0) ，F2(2,0)设 P(x，y)(x1)，则 (1x，y)(2 x，y)4x 2x5.PA1 PF2 令 f(x) 4x2x 5，则 f(x)在 x1 上单调递增，所以当 x1 时，函数 f(x)取最小值，即取最小值，最小值为2.PA1 PF2 4(2011安徽模拟) 点 A、B 分别为椭圆 1 长轴的左、右端点，点 F 是椭圆的右焦点，点 P 在椭圆上，且位于 xx236

8、y220轴上方，PAPF.(1)求点 P 的坐标；(2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点，M 到直线 AP 的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值解析 (1)由已知可得点 A(6,0)，F(4,0)，设点 P 的坐标是(x ，y)，则 (x 6， y)， (x4，y)由已知得Error!AP FP 消去 y 得，2x 29x 180， x 或 x632由于 y0，只能 x ，于是 y ，所以点 P 的坐标是( ， )32 532 32 532(2)直线 AP 的方程是 x y6033设点 M 的坐标是(m,0)，则 M 到直线 AP 的距离是，于是 |m6|，|m

9、6|2 |m 6|2又6m6，解得：m2椭圆上的点(x ，y)到点 M 的距离是 d，d2(x2) 2y 2x 24x420 x2 (x )215，59 49 92由于6x6，所以当 x 时 d 取最小值 .92 155(文)已知点 A(2,0)、B(4,0)，动点 P 在抛物线 y24x 上运动，则取得最小值时的点 P 的坐标是_AP BP 答案 (0,0) 解析设 P ，则( y24 ，y) ，， y 2 y288，当且仅当 y0 时取等号，此时点 P 的AP ( y24 2，y) BP ( y24 4，y) AP BP ( y24 2)( y24 4) y416 52坐标为(0,0

10、)6、如图，已知抛物线 2:Ex与圆 22:()(0)Mxr相交于A、B、C、D 四个点。（）求 r 的取值范围（）当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 AC、BD 的交点P 的坐标。解：（）将抛物线 2:yx代入圆 22:(4)(0)xyr的方程，消去 2y，整理得 27160r抛物线 :Ex与圆 2:()()Myr相交于 A、 B、 C、 D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根 0167)(49222rx即 425r或。解这个方程组得 425r5(,)2.（II ）设四个交点的坐标分别为 1(,)Ax、 1(,)Bx、 2(,)Cx、 2(,)Dx。则由（I）根据韦达

11、定理有 212127,6r， 5,4则 21212|()|()Sxxx2 212()4)76(415)r令 16rt，则 22(7)Stt 下面求 2S的最大值。方法 2：设四个交点的坐标分别为 1,Ax、 1(,)Bx、 2(,)Cx、 2(,)Dx4则直线 AC、BD 的方程分别为 )(),( 11211121 xxyxxy 解得点 P 的坐标为 )0,(21x。设 21t，由 26rt及（）得 )4,0(t 由于四边形 ABCD 为等腰梯形，因而其面积 |)(2121xxS则 4)(2( 21212112 xxS将 721，t代入上式，并令 tf，等 )20(349828)7()2()3

12、 tttttf， )76(9564)(2ttttf ，令 )(tf得 67t，或 2t（舍去）当 70t时， 0)(tf；当 t时 0)(tf；当 2t时， 0)(tf故当且仅当 6t时， )(tf有最大值，即四边形 ABCD 的面积最大，故所求的点 P 的坐标为 ),67(。 7、已知直线 20xy经过椭圆2:1(0)xyCab的左顶点 A 和上顶点 D，椭圆的右顶点为 B，点 S和椭圆 C上位于 x轴上方的动点，直线， ,S与直线 0:3lx分别交于 ,MN两点。（I）求椭圆 C的方程；（）求线段 MN 的长度的最小值；（解方法一（I）由已知得，椭圆 C的左顶点为 (2,0)A上顶点为

13、(0,1)2,1Dab故椭圆的方程为214xy（）直线 AS 的斜率 k显然存在，且 0k，故可设直线 AS的方程为 (2)ykx，从而 106(,)3kM由 2()14yx得 222(4)164x0设 1(,)Sxy则21(,4k得218k，从而 12ky 5即2284(,),1kS又 (,0)B，由1(2)43yxk得103yk1(,)3Nk故 6|3kMN，又 16168,|23kMN 当且仅当 1，即 14时等号成立 4时，线段 MN的长度取最小值 38、已知以原点 O为中心的双曲线的一条准线方程为 5x，离心率 5e（）求该双曲线的方程；（）如题（20）图，点 A的坐标为 (5,

15、曲线右支上，故 x由方程组24x解得 42542,33y 所以 M点的坐标为 542(,)3. 9、如图所示，抛物线 y2=4x 的顶点为 O，点 A 的坐标为(5 ，0)，倾斜角为的直线 l 与线段 OA 相交4(不经过点 O 或点 A)且交抛物线于 M、N 两点，求AMN 面积最大时直线 l 的方程和AMN 的最大BNMAoyx6面积头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解法一头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由题意，可设 l 的方程为 y=x+m,其中5m0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 由方程组 ,消去 y

16、,得 x2+(2m4)x+m 2=0 直线 l 与4抛物线有两个不同交点 M、N，方程的判别式 =(2m4) 24m 2=16(1m)0,解得 m1,又5m0,m 的范围为(5，0)设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=42m，x 1x2=m2,|MN|=4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 点 A 到直线 l 的距离为 d= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j )(5 =2(5+m) ,从而 S832542 S ,当且仅当 22m=5+m,即 m=1 时取等号头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 故直线 l 的方程为 y=x1，AM

17、N 的最大面积为 8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 810、设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1) 是它的两个顶点，直线 ykx (k0)与椭圆相交于 E，F 两点，求四边形 AEBF 面积的最大值解依题设得椭圆的方程为 y 21.直线 AB，EF 的方程分别为 x2y2，ykx( k0) x24设 E(x1， kx1)，F(x 2，kx 2)，其中 x1x 2，且 x1，x 2 满足方程 (14k 2)x24，故 x2x 1 .21 4k2根据点到直线的距离公式和式，得点 E，F 到 AB 的距离分别为h1 ，h 2 ，|x1 2kx1 2|5 21 2k 1

18、 4k251 4k2 |x2 2kx2 2|5 21 2k 1 4k251 4k2又|AB| ，所以四边形 AEBF 的面积为22 1 5S |AB|(h1h 2) 2 2 ，12 12 5 41 2k51 4k2 21 2k1 4k2 1 4k2 4k1 4k2 2当 2k1 ，即 k 时，取等号所以四边形 AEBF 面积的最大值为 2 .12 2三、切线法【例 2】求椭圆 y 21 上的点到直线 yx2 的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标x22 3解设椭圆的切线方程为 yx b ，代入椭圆方程，得 3x24bx 2b220.由 (4b) 243(2b 22) 0，得 b

19、 .3当 b 时，直线 yx 与 yx2 的距离 d1 ，将 b 代入方程 3x24bx2b 220，3 3 362 3解得 x ，此时 y ，即椭圆上的点到直线 yx2 的距离最小，最小值是；233 33 ( 233，33) 3 62当 b 时，直线 yx 到直线 yx2 的距离 d2 ，将 b 代入方程 3x24bx2b 220，3 3 3362 3解得 x ，此时 y ，即椭圆上的点到直线 yx2 的距离最大，最大值是 .233 33 (233， 33) 3 3628圆锥曲线中的最值问题一、圆锥曲线定义、性质1.(文)已知 F 是椭圆 1 的一个焦点，AB 为过其中心的一条弦，则A

20、BF 的面积最大值为( )x225 y29A6 B15 C20 D122、若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为 1，则椭圆长轴长的最小值为( )A1 B. C 2 D22 23、(文)(2011山东省临沂市质检)设 P 是椭圆 1 上一点， M、N 分别x225 y29是两圆：( x4) 2y 21 和( x4) 2y 21 上的点，则| PM| PN|的最小值、最大值分别为( )A9,12 B8,11 C8,12 D10,124、(2010福州市质检)已知 P 为抛物线 y24x 上一个动点， Q 为圆 x2(y4) 21 上一个动点，那么点P 到点 Q 的距离与点 P 到抛

21、物线的准线距离之和的最小值是( )A5 B8 C. 1 D. 217 55、已知点 F 是双曲线 1 的左焦点，定点 A 的坐标为(1,4) ，P 是双曲线右支上的动点，则| PF|PA|x24 y212的最小值为_6、已知直线 1:360lxy和直线 2:1lx，抛物线 24yx上一动点到直线 l和直线 2的距离之和的最小值是（）A.2 B.3 C. 5 D. 3716 二、目标函数法1、椭圆 1 上的一点 P 到两焦点的距离的乘积为 m，则当 m 取最大值x29 y225时，点 P 的坐标是_2、设 F1、F 2 分别是椭圆 y 21 的左、右焦点x24(1)若 P 是该椭圆上的一个动

22、点，求的最大值和最小值；PF1 PF2 3(2011长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模) 已知双曲线 x2 1 的左顶点为 A1，右焦点为 F2，P 为双曲线右支上一点，则的最小值为( )y23 PA1 PF2 A2 B C1 D081164(2011安徽模拟)点 A、B 分别为椭圆 1 长轴的左、右端点，点 F 是椭圆的右焦点，点 P 在x236 y220椭圆上，且位于 x 轴上方，PAPF.9(1)求点 P 的坐标；(2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点， M 到直线 AP 的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值5(文)已知点 A(2,0)、

23、B(4,0)，动点 P 在抛物线 y24x 上运动，则取得最小值时的点 P 的坐标AP BP 是_6、如图，已知抛物线 2:Eyx与圆 22:(4)(0)xr相交于A、B、C 、D 四个点。（）求 r 的取值范围（）当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线AC、BD 的交点 P 的坐标。7、已知直线 20xy经过椭圆2:1(0)xyCab的左顶点 A 和上顶点 D，椭圆的右顶点为 B，点 S和椭圆 C上位于轴上方的动点，直线， ,AS与直线 :3lx分别交于 ,MN两点。（I）求椭圆 C的方程；（）求线段 MN 的长度的最小值；8、已知以原点 O为中心的双曲线的一条准线方程为 5

24、x，离心率 5e（）求该双曲线的方程；（）如题（20）图，点 A的坐标为 (5,0)， B是圆22(5)1xy上的点，点 M在双曲线右支上，求 MA的最小值，并求此时点的坐标； 9、如图所示，抛物线 y2=4x 的顶点为 O，点 A 的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线 l 与线段 OA 相交(不经过点 O 或点 A)且交抛物线于 M、N 两点，4求AMN 面积最大时直线 l 的方程和AMN 的最大面积头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 10、设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线 ykx( k0)与椭圆相交于 E，F 两点，求四边形 AEBF 面积的最大值三、切线法求椭圆 y 21 上的点到直线 yx2 的距离的最大值和最小值，并求取得最值时x22 3椭圆上点的坐标BNMAoyx

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