1、 圆锥曲线1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点 F ，F 的距离的和等于常数 ，122a且此常数 一定要大于 ，当常数等于 时，轨迹是线段 F F ，当常数小于 时，无2a21F21F1F轨迹；双曲线中，与两定点 F ，F 的距离的差的绝对值等于常数 ，且此常数 一定要小于|F Faa1|，定义中的“绝对值”与 |F F |不可忽视。若 |F F |，则轨迹是以 F ，F 为端点的2 a12122两条射线，若 |F F |，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。122.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对
2、称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在 轴上时 （ ） ，焦点在 轴上时 1（x12bya0ay2bxa） 。方程 表示椭圆的充要条件是什么？（ABC0，且 A，B，C 同号，0ab2AByCAB ） 。（2）双曲线：焦点在 轴上： =1，焦点在 轴上： 1（ ） 。方x2byay2bxa0,程 表示双曲线的充要条件是什么？（ABC0，且 A，B 异号） 。xy（3）抛物线：开口向右时 ，开口向左时 ，开口向上时2(0)px2()p，开口向下时 。2()py3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由 , 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。x2y（2）
3、双曲线：由 , 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。提醒：在椭圆中， 最大， ，在双曲线中， 最大， 。a22bcc22ab4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以 （ ）为例）：范围： ；焦点：12yx0,xy两个焦点 ；对称性：两条对称轴 ，一个对称中心（0,0） ，四个顶点(,0)c,xy，其中长轴长为 2 ，短轴长为 2 ；准线：两条准线 ； 离心率：,abab2ac，椭圆 ， 越小，椭圆越圆； 越大，椭圆越扁。e1ee（2）双曲线（以 （ ）为例）： 范围： 或 ；焦点：2xyab0,xa,yR两个焦点 ；对称性：
4、两条对称轴 ，一个对称中心（0,0） ，两个顶点 ，其(,0)cxy(,0)a中实轴长为 2 ，虚轴长为 2 ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 ；准线：两条准线 ； 离心率： ，双曲线 ，等轴双2,0xyk2axccea1e曲线 ， 越小，开口越小， 越大，开口越大； 两条渐近线： 。ee byx（3）抛物线（以 为例）：范围： ；焦点：一个焦点 ，其中2()ypx0,xyR(,0)2p的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴 ，没有对称中心，只有一个顶点p （0,0） ；准线：一条准线 ； 离心率： ，抛物线 。2cea1e5、点 和椭圆 （ ）的关系
5、：（1）点 在椭圆外0(,)Pxy2byax0a0(,)Pxy；（ 2）点 在椭圆上 1；（3）点 在椭圆内201ab0(,)2byx,2xy6直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交： 直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不00一定有 ，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故 是直0线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件； 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 ，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故 也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。（2）相切： 直线与椭圆相切； 直线与双曲线相切； 直线与抛物线0
6、0相切；（3）相离： 直线与椭圆相离； 直线与双曲线相离； 直线与抛物线0相离。提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时 ,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线 1 外一点 的直线与双曲线只2byax0(,)Pxy有一个公共点的情况如下：P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共
7、四条；P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题： ，当 即 为短轴端点时， 的最大值为 bc；对于双曲线 。20tan|Sbcy0|bPmaxS2tan2bS如 （1）短轴长为 ，58、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设 AB 为焦点弦， M 为准线与 x 轴的交点，则AMFBMF；（3）设 AB 为焦点弦，A、B
8、 在准线上的射影分别为 A ，B ，若 P 为 A B 的中点，则 PAPB；（4）若 AO 的延长线交准线于 C，则 BC11平行于 x 轴，反之，若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点，则 A，O，C 三点共线。 9、弦长公式：若直线 与圆锥曲线相交于两点 A、B ，且 分别为 A、B 的横坐标，则ykb12,x ，若 分别为 A、B 的纵坐标，则 ，若弦 AB 所AB21kx12, 21yk在直线方程设为 ，则 。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的y21ky弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。抛物线：在双曲线 中，以 为中
9、点的弦所在直线的斜率 k= ；在抛物线21xyab0(,)Pxy 02yaxb中，以 为中点的弦所在直线的斜率 k= 。2(0)yp, p提醒：因为 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验 ！11了解下列结论（1）双曲线 的渐近线方程为 ；12byax02byax（2）以 为渐近线（即与双曲线 共渐近线）的双曲线方程为 为1(2byax参数， 0）。（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 ；21mxny（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为 ，焦准距（焦点到相应准线的2ba距离）为 ，抛物线的通径为 ，焦准距为 ；
10、2bc2pp（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（6）若抛物线 的焦点弦为 AB， ，则2(0)yx12(,)(,)AxyB ；1|ABxp2211,4yp（7）若 OA、OB 是过抛物线 顶点 O 的两条互相垂直的弦，则直线 AB 恒经过定点()x(2,0)p12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1） 给出直线的方向向量 或 ；ku,1nm,（2）给出 与 相交,等于已知 过 的中点;OBABA（3）给出 ,等于已知 是 的中点;0PNMPMN（4）给出 ,等于已知 与 的中点三点共线;Q,（5） 给出以下情形之一： ；存在实数 ；若存在实数C/,ABC且,等于已知 三
11、点共线.,1,C且 ,（6） 给出 ,等于已知 ,即 是直角,给出 ,等于已0BABA0mM知 是钝角, 给出 ,等于已知 是锐角,m（8）给出 ,等于已知 是 的平分线/MP（9）在平行四边形 中，给出 ，等于已知 是菱形;ABCD0)()(ADBAABCD（10） 在平行四边形 中，给出 ，等于已知 是矩形;|（11）在 中，给出 ，等于已知 是 的外心（三角形外接圆的22OC圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点） ；（12） 在 中，给出 ，等于已知 是 的重心（三角形的重心是0三角形三条中线的交点） ；（13）在 中，给出 ，等于已知 是 的垂心（三角ABCAB OABC形的
12、垂心是三角形三条高的交点） ；（14）在 中，给出 等于已知 通过 的内OAP()|C)(RP心；（15）在 中，给出 等于已知 是 的内心（三角形内AB,0cBba AB切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点） ；FAPHBQ （16） 在 中，给出 ,等于已知 是 中 边的中线; ABC12DABCADBC（3）已知 A,B 为抛物线 x2=2py(p0)上异于原点的两点， ，点 C 坐标为（0，2p）O（1）求证：A,B,C 三点共线； （2）若 （ ）且 试求点 M 的轨迹方程。MR0O（1）证明：设 ，由 得221(,)(,)ABpAB，又221120,4xxp2211(
13、,),(,)xxCpAp， ，即 A,B,C 三点共线。21 1()(0p /（2）由（1）知直线 AB 过定点 C，又由 及 （ ）知 OMAB，0OMBBMR垂足为 M，所以点 M 的轨迹为以 OC 为直径的圆，除去坐标原点。即点 M 的轨迹方程为 x2+(y-p)2=p2(x0，y0)。13.圆锥曲线中线段的最值问题： 例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为2_ (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为 。 分析：（1）A 在抛物线外，如图，连 PF
14、，则 ，因而易发PH现，当 A、P、 F 三点共线时，距离和最小。（2）B 在抛物线内，如图，作 QRl 交于 R，则当 B、Q、R 三点共线时，距离和最小。 解：（1） （2， ） （2） （ ）1,41、已知椭圆 C1的方程为 ，双曲线 C2的左、右焦点分别为 C1的左、右顶点，而 C2的左、14yx右顶点分别是 C1的左、右焦点。(1) 求双曲线 C2的方程；(2) 若直线 l： 与椭圆 C1及双曲线 C2恒有两个不同的交点，且 l 与 C2的两个交点kxyA 和 B 满足 (其中 O 为原点)，求 k 的取值范围。6解：（）设双曲线 C2的方程为 ，则12byax .1,314222
15、bcaa得再 由故 C2的方程为 （II）将1.3xy.0428)4(422 kxkkxy得代 入由直线 l 与椭圆 C1恒有两个不同的交点得即 ,)1(6)(6)8( 2221 k 21.由直线 l 与双曲线 C2恒有两个0963322 kxkyxxy得代 入将不同的交点 A，B 得 22222210, 1.3(6)(1)().k k 即 且229(,), ,31,()()ABABABABABBkxyxxkOyk设 则由 得 而22221)96(3137.1Axxkk解此不等式得 223756,0.13kk于 是 即 221.53k或由、得 .153422或故 k 的取值范围为 11(,)(
16、,)(,)(,)35在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1)，B 点在直线 y = -3 上，M 点满足 MB/OA， MAAB = MBBA，M 点的轨迹为曲线 C。（）求 C 的方程；（）P 为 C 上的动点，l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。()设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以 =（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).MABAB再由愿意得知（ + ） =0,即（-x,-4-2y） (x,-2)=0.MAB所以曲线 C 的方程式为 y= x -2. ()设 P(x ,y )为曲线 C：y= x
17、-2 上一点，因为 y = x,142014212所以 的斜率为 x 因此直线 的方程为 ，即 。l20l 01(2yx200yx则 O 点到 的距离 .又 ，所以l20|4ydx0 20202014(),4dxx当 =0 时取等号，所以 O 点到 距离的最小值为 2.20xl设双曲线21yab（a0,b0）的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切，则该双曲线的离心率等于( )设双曲线 2x的一条渐近线，则双曲线的离心率为( ). 过椭圆 21yab( 0)的左焦点 1F作 x轴的垂线交椭圆于点 P， 2F为右焦点，若1260FP，则椭圆的离心率为已知双曲线 )0(12byx的左、右焦点分别是
18、1、 2，其一条渐近线方程为 xy，点),3(0P在双曲线上.则 1PF 2( )0已知直线 20ykx与抛物线 2:8Cyx相交于 AB、 两点， F为 C的焦点，若|FAB，则 ( )已知直线 1:4360lxy和直线 2:1lx，抛物线 24yx上一动点 P到直线 1l和直线 2l的距离之和的最小值是（ ）设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为 F(1，0)，直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B 两点。若 AB 的中点为（2，2） ，则直线 l 的方程为 _.椭圆219xy的焦点为 12,F，点 P 在椭圆上，若 1|4P，则 2|F ； 12FP的大小为 .过抛物线 2(0)yp
19、x的焦点 F 作倾斜角为 45的直线交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 的长为8，则 _ 【解析】设切点 0(,)P，则切线的斜率为 0|2xy.由题意有 02yx又 201解得: 2 201,1()5bbxeaa双曲线 2by的一条渐近线为 xy,由方程组 21byxa,消去 y,得 210bxa有唯一解,所以= 2()40a,所以 a,22()5cabea由渐近线方程为 xy知双曲线是等轴双曲线， 双曲线方程是 2yx，于是两焦点坐标分别是（2，0）和（2，0） ，且 )1,3(P或 ),(.不妨去 )1,3(P，则1F， ,2F. 2 01)3()1,3)(,( 【解析】设抛物线 2
20、:8Cyx的准线为 :2lx直线 0ykx恒过定点 P,0 .如图过 AB、 分 别作AMl于 , BNl于 , 由 |2|FAB,则 |2|MN,点 B 为 AP 的中点.连结 OB,则1|2OF,| 点 的横坐标为 1, 故点 的坐标为02(1,)1()3k, 故选 D21121121212124,4yxAxyBxyxy则 有 ，两 式 相 减 得 ， ，直 线 l的 方 程 为 -=x,即一、椭 圆1. 点 P 处的切线 PT 平分PF 1F2在点 P 处的外角.2. PT 平分PF 1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端
21、点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若 在椭圆 上，则过 的椭圆的切线方程是 .0(,)Pxy21xyab0P021xyab6. 若 在椭圆 外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P 2，则切点弦 P1P2的,2直线方程是 .01ab7. 椭圆 (ab0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 ，2xy 12F则椭圆的焦点角形的面积为 .12tanFPSb8. 椭圆 （ab0）的焦半径公式：21xy, ( , ).10|MFaex20|aex1)Fc2(,0)0,)Mxy9. 设过椭
22、圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF.10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A2Q 交于点M，A 2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11. AB 是椭圆 的不平行于对称轴的弦，M 为 AB 的中点，则 ，2xyab),(0yx 2OMABbka即 。02KAB12. 若 在椭圆 内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 .0(,)Pxy21xyab 2002xyxyab13. 若 在椭圆 内，则过 Po
23、 的弦中点的轨迹方程是 .0,2 022二、双曲线1. 点 P 处的切线 PT 平分PF 1F2在点 P 处的内角.2. PT 平分PF 1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若 在双曲线 （a0,b0）上，则过 的双曲线的切线方程是0(,)xy21xyb0.21ab6. 若 在双曲线 （a0,b0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为0(,)Pxy2xyP1、P 2，则切点弦 P1P2的直线方程是 .21xyb7. 双曲线 （a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一点b，则双曲线的焦点角形的面积为 .12F12tPSco8. 双曲线 （a0,bo）的焦半径公式：( , 1xy (0)2(,)
