复合函数的零点问题.doc

1、复合函数的零点问题I题源探究黄金母题【例 1】设函数 （ 为常数1,0,(),1xaf x且 ） 0,1a若 是 的零点但不是 的零点，则称xfxfx为 的二阶周期点，求函数 的二阶周期点0()()【答案】函数 有且仅有两个二阶周期点，f， 12ax21xa【解析】 2222,0,(),1(),1,(),.1xxafxxaax当 时，由 解得 ，由于 ，20xa2x00f故 不是 的二阶周期点；f当 时，由 解得2ax1()ax因22(,)，22211() 1afaa故 是 的二阶周期点； 2x()fx当 时，由 解得12()xa，因2xa2(,)故 不是112f a1xa精彩解读【试题来源】

2、2013 年高考江西卷改编【母题评析】本题以新定义的形式考查复合函数、分段函数的零点，难度较大新定义（信息题）是近几年来高考的一个热点【思路方法】理解定义，写出复合函数的解析式，再利用函数与方程思想、分类分类讨论思想、数形结合思想解题的二阶周期点； ()fx当 时， 解得21a1()xa，因2x2(,22211()1afaa， 故 是 的二阶周期点 2x()fx综上：函数 有且仅有两个二阶周期点，f， 12ax21xaII考场精彩真题回放【例 2】 【2017 年高考江苏卷】设 是定义在 且周期为()fxR1 的函数，在区间 上， 其中集合0,1)2,Df，则方程 的解的个数,*nDxN()l

3、g0fx是 【答案】8【解析】由于 ，则需考虑 的情况()0,1fx10x在此范围内， 且 时，设QZ，且 互质*,2qxpN,pq若 ，则由 ，可设lglg(01)x，且 互质*,nxm,mn因此 ，则 ，此时左边为整数，右边10qp()nqp非整数，矛盾，因此 lgxQ因此 不可能与每个周期内 对应的部分相等，只lgxD需考虑 与每个周期 的部分的交点，画出函数图象，图中交点除 外其它交点横坐标均为无理数，属于每个1,0周期 的部分，且 处 ，xD1x1lg1ln0lx【命题意图】本题主要考查复合函数的零点本题能较好的考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力等【考试方向】这类试题在考查

4、题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，综合性强，难度大【难点中心】解答此类问题，关键在于 “抽茧剥丝” ，把复合函数问题转化为单函数问题，准确作出函数图象，利用图象解决问题则在 附近仅有一个交点，一次方程解的个数为 81x【例 3】 【2015 年高考天津】已知函数函数 ，2,xf2gxbfx其中 ，若函数 恰有 4 个零点，则bRyf的取值范围是 （ ）A B C D7,47,470,4,2【答案】D【解析】由 得 ，2,xf2,0()xfx，即22,()40(),yfxx2,(),58,f，所以(2)yfxgfxb恰有 4 个零点等价于方程有 4 个不同的解，即函数 与()2)0fb

5、yb函数 的图象的 4 个公共点，由图象可(yfx知 74864246815055105III理论基础解题原理1复合函数定义：设 ， ，且函数 的值域为 定义域的子集，那么 通过 的yftgxgxftyt联系而得到自变量 的函数，称 是 的复合函数，记为 x y2复合函数函数值计算的步骤：求 函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值yf例如：已知 ，计算 2,xfgx2g【解析】 ， 2441f3已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到x求出 的值例如：已知 ， ，若 ，求 x2xf2g0gfxx由上例可得，要想求出 的根，则需要先将 视为

6、整体，先求出 的值，再求对应0gfxfxfx的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义x4函数的零点：设 的定义域为 ，若存在 ，使得 ，则称 为 的一个fD00f0f零点5复合函数零点问题的特点：考虑关于 的方程 根的个数，在解此类问题时，要分为两层xgfx来分析，第一层是解关于 的方程，观察有几个 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层f的值求出每一个 被几个 对应，将 的个数汇总后即为 的根的个数fxx 0gfxIV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，一般综合性强，难度大【技能方法】求解复合函数 零点问题的技巧：ygfx（

7、1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出 的图像,fxg（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于 的方程 中 解的个数，再根据fx0gfxfx个数与 的图像特点，分配每个函数值 被几个 所对应，从而确定 的取值范围，进而决定fxif i参数的范围【易错指导】1函数零点忽视单调性的存在例如：若函数 f(x)在区间2，2上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在(2，2)内有一个零点，则 f(2)f（2）的值 ( )A大于 0 B小于 0 C等于 0 D不能确定解答：若函数 f(x)在(2，2)内有一个零点，该零点可分两种情况：（1）该零点是变号零点，则f(2)f（2）0，因此

8、选 D易错警示： 警示 1：错误认为该零点是变号零点；警示 2：不知道非变号零点这种情况方法剖析：方程的根或函数零点的存在性问题，可以根据区间端点处的函数值的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处函数值的正负，作出正确判断本题的解答错误在于没有正确理解函数零点的含义及存在性，事实上，当 f(x)在(2，2)内有一个零点时，f(2)f（2）的符号不能确定2要注意对于在区间a，b上的连续函数 f(x)，若 x0是 f(x)的零点，却不一定有 f(a)f

9、(b)0，即f(a)f(b)0 仅是 f(x)在a，b上存在零点的充分条件，而不是必要条件注意以下几点：满足零点存在性定理的条件的零点可能不唯一；不满足零点存在性定理条件时，也可能有零点由函数 )(xfy在闭区间 ,ab上有零点不一定能推出 )(af bf0，如图所示所以 )(af)(bf0是 在闭区间 上有零点的充分不必要条件 注意：如果函数 在区间 ,ab上的图象是连续不断的曲线，并且函数 在区间 ,ab上是一个fx fx单调函数，那么当 )( f0时，函数 在区间 ),(ba内有唯一的零点，即存在唯一的fx(,)cab，使 cf如果函数 在区间 ,ab上的图象是连续不断的曲线，并且有 )

10、(f bf0，那么，函数x在区间 ),(内不一定没有零点f如果函数 在区间 ,上的图象是连续不断的曲线，那么当函数 在区间 ),(a内有零点时不f fx一定有 )(a b0，也可能有 )(af bf0V举一反三触类旁通【例 1】 【2018 四川绵阳一诊】函数 满足 ，且当 时， 若函数的图象与函数 （ ，且 ）的图象有且仅有 4 个交点，则 的取值集合为（ ）A B C D【答案】C【例 2】 【2018 南宁高三毕业班摸底联考】设函数 是定义在 上的偶函数，且 ，当时， ，若在区间 内关于 的方程 （ 且 ）有且只有 4 个不同的根，则实数 的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析

11、】由题意可得函数 f(x)的对称轴为 x=2，周期为 T=4，原方程变形为 ，所以只需画出 ，两个函数在区间(-2，6)的图像，根据图像求 a 的范围，图像如下， 一定过（-1，0）点，当 时，显然只有一个交点，所以 ，只需要对数从点 B，点 C 下面穿过就有 4 个零点，所以 解得 ，选 D【点睛】对于求不同类的两个函数构成的方程，我们常把方程变形为 f(x)=g(x)，然后根据 y=f(x)与y=g(x)的两个图像交点个数来判断原方程根的个数如本题把方程 变形为，再画出两个函数的图像，根据两个图像有 4 个交点，求出参数 a 的范围【例 3】 【2018 河南天一大联考】已知函数 若关于

12、的方程有 3 个实数根，则实数 的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】作图如下：因此要使方程 有 3 个，实数 的取值范围是 ，选 D【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等【例 4】 【2018 广西桂林柳州高三综合模拟】已知函数 ，若函数3log,0 4xf有三个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）2hxfmxmA B C D1,21,1,21,2【答案】AA（0，2） ，B（3，

13、1） ，C（4， 0） ，则 g（x）的图象介于直线 AB 和 AC 之间，介于 kABm kAC，可得 m1故答案为：（ ，1） 22点睛:函数 h（x）= f（x）mx+2 有三个不同的零点，即为 f（x） mx+2=0 有三个不同的实根，可令y=f（x） ， y=g（x）= mx2，分别画出 y=f（x）和 y=g（x）的图象，通过图象观察，结合斜率公式，即可得到 m 的范围【例 5】 【2018 广东珠海一中等六校第一次联考】已知函数 ，则函数2,1 logxf的零点个数是（ ）32FxffxA4 B5 C6 D7【答案】A【解析】解：令 t=f（x） ，F（x）=0，则 f（t）2t

14、 =0，32【名师点睛】本题关键是找出内外层函数的对应关系，找准一个 t 对应几个 x【例 6】 【2018 安徽阜阳临泉一中上学期二模】已知 ，若关于 的方程恰好有 个不相等的实数根，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】 ， ，当 或 时， ，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增可作出 大致函数图象如图所示：令 ，则当 时，方程 有一解；当 时，方程 有两解； 时，方程 有三解关于 的方程 ，恰好有 4 个不相等实数根关于 的方程 在 和 上各有一解 ，解得 ，故答案为【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式

15、，再通过解不等式确定参数的范围；分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解【例 7】 【2018 湖南株洲醴陵第二中学、醴陵第四中学高三上学期两校期中联考】已知函数，若 0 a b c，满足 f（ a）= f（ b）= f（ c） ，则 的范围为_2log,0 xf abf【答案】 （1，2），满足 ， ，即 ，0abc fafbfc22loglab1a， ，故 ，故答案为 21f121fcf2，【名师点睛】画出函数 的图象，由图象可知有相等时的取值范围，这里 的图象和计算得fx 2logx由，可以

16、当作结论，这样三个未知数就只剩下 ，由反比例即可求出结果1ab c【例 8】 【2018 江西宜春丰城九中、高安二中、宜春一中、万载中学、樟树中学、宜丰中学六校联考】已知函数 ， 的四个零点 ， ， ， ，且 ，则ln1|fxfxm1x234x12341kx的值是_ke【答案】 2【例 9】 【2018 山西山大附中等晋豫名校第四次调研】已知函数 ，把方程21,0 xff的根按从小到大顺序排成一个数列，则该数列的前 项和 _0fx nS【答案】 12n【解析】当 时，有 ，有 ，0x10x12xfxf当 时，有 ，有 1 1xf 当 时，有 ，有 23123f当 时，有 ，有 4x3x2xfx依次类推，当 时，则 ，nN1nf所以 ，故 ，所以通项公式 ， 12xngxf21na na12nS【点睛】本题考查对分段函数的处理方法，分段函数要分段处理，根据分段函数的解析式找出各段函数的零点，从而得出各个零点与项数的关系，写出数列的通项公式，根据数列是特殊的等差数列，利用等差数列求和公式，求出数列的前 项的和n