1、专题强化八 带电粒子(带电体)在电场中运动的综合问题专题解读 1.本专题主要讲解带电粒子( 带电体)在电场中运动时动力学和能量观点的综合运用，高考常以计算题出现.2.学好本专题，可以加深对动力学和能量知识的理解，能灵活应用受力分析、运动分析特别是曲线运动(平抛运动、圆周运动 )的方法与技巧，熟练应用能量观点解题 .3.用到的知识：受力分析、运动分析、能量观点.一、带电粒子在电场中运动1.分析方法：先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程(平衡、加速或减速，轨迹是直线还是曲线)，然后选用恰当的力学规律如牛顿运动定律、运动学公式、动能定理、能量守恒定律解题.2.受力特点：在讨论带电粒子或其他带电体
2、的静止与运动问题时，重力是否要考虑，关键看重力与其他力相比较是否能忽略.一般来说，除明显暗示外，带电小球、液滴的重力不能忽略，电子、质子等带电粒子的重力可以忽略，一般可根据微粒的运动状态判断是否考虑重力作用.二、用能量观点处理带电体的运动对于受变力作用的带电体的运动，必须借助于能量观点来处理.即使都是恒力作用的问题，用能量观点处理也常常显得简洁.具体方法常有两种：1.用动能定理处理思维顺序一般为：(1)弄清研究对象，明确所研究的物理过程.(2)分析物体在所研究过程中的受力情况，弄清哪些力做功，做正功还是负功.(3)弄清所研究过程的始、末状态( 主要指动能).(4)根据 WE k 列出方程求解.
3、2.用包括电势能和内能在内的能量守恒定律处理列式的方法常有两种：(1)利用初、末状态的能量相等( 即 E1E 2)列方程.(2)利用某些能量的减少等于另一些能量的增加( 即 E E)列方程.3.两个结论(1)若带电粒子只在电场力作用下运动，其动能和电势能之和保持不变.(2)若带电粒子只在重力和电场力作用下运动，其机械能和电势能之和保持不变.命题点一 带电粒子在交变电场中的运动1.常见的交变电场常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等.2.常见的题目类型(1)粒子做单向直线运动(一般用牛顿运动定律求解 ).(2)粒子做往返运动(一般分段研究 ).(3)粒子做偏转运动(一般根据交变电
4、场特点分段研究 ).3.思维方法(1)注重全面分析(分析受力特点和运动规律 )：抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的边界条件.(2)从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系.(3)注意对称性和周期性变化关系的应用.例 1 如图 1(a)所示，两平行正对的金属板 A、B 间加有如图 (b)所示的交变电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间 P 处.若在 t0 时刻释放该粒子，粒子会时而向A 板运动，时而向 B 板运动，并最终打在 A 板上.则 t0 可能属于的时间段是
5、( )图 1A.0t 0 B. t 0T4 T2 3T4C. t 0T D.Tt 03T4 9T8答案 B解析 设粒子的速度方向、位移方向向右为正.依题意知，粒子的速度方向时而为正，时而为负，最终打在 A 板上时位移为负，速度方向 为负.分别作出 t00、 、 时粒子运动的 vt 图T4T2 3T4象，如图所示.由于 vt 图线与时间轴所围面积表示粒子通过的位移，则由图象知，0t 0与 t 0T 时粒子在一个周期内的总位移大于零， t 0 时粒子在一个周期内的总位移T4 3T4 T4 3T4小于零；t 0T 时情况类似.因粒子最终打在 A 板上， 则要求粒子在每个周期内的 总位移应小于零，对照
6、各项可知 B 正确.变式 1 如图 2 所示，A、B 两金属板平行放置，在 t0 时将电子从 A 板附近由静止释放(电子的重力忽略不计).分别在 A、B 两板间加上下列哪种电压时，有可能使电子到不了 B 板( )图 2答案 B变式 2 ( 多选)(2015山东理综20) 如图 3 甲所示，两水平金属板间距为 d，板间电场强度的变化规律如图乙所示.t0 时刻，质量为 m 的带电微粒以初速度 v0 沿中线射入两板间，0时间内微粒匀速运动，T 时刻微粒恰好经金属板边缘飞出.微粒运动过程中未与金属板接触.T3重力加速度的大小为 g.关于微粒在 0T 时间内运动的描述，正确的是( )图 3A.末速度大小
7、为 v02B.末速度沿水平方向C.重力势能减少了 mgd12D.克服电场力做功为 mgd答案 BC解析 因 0 时间内微粒匀速运动，故 E0qmg；在 时间内，粒子只受重力作用，做平T3 T3 2T3抛运动，在 t 时刻的竖直速度 为 vy1 ，水平速度为 v0；在 T 时间内，由牛 顿第二定2T3 gT3 2T3律 2E0qmgma，解得 ag ，方向向上， 则在 tT 时刻，v y2v y1g 0，粒子的竖直速度T3减小到零，水平速度为 v0，选项 A 错误， B 正确；微粒的重力势能减小了 Epmg mgd，d2 12选项 C 正确；从射入到射出，由动能定理可知， mgdW 电 0，可知
8、克服 电场力做功为12mgd，选项 D 错误；故选 B、C.12命题点二 用“等效法”处理带电粒子在电场和重力场中的运动1.等效重力法将重力与电场力进行合成，如图 4 所示，则 F 合 为等效重力场中的“重力” ，g 为等F合m效重力场中的“等效重力加速度” ，F 合 的方向等效为“重力”的方向，即在等效重力场中的竖直向下方向.图 42.物理最高点与几何最高点在“等效力场”中做圆周运动的小球，经常遇到小球在竖直平面内做圆周运动的临界速度问题.小球能维持圆周运动的条件是能过最高点，而这里的最高点不一定是几何最高点，而应是物理最高点.几何最高点是图形中所画圆的最上端，是符合人眼视觉习惯的最高点.而
9、物理最高点是物体在圆周运动过程中速度最小(称为临界速度)的点.例 2 如图 5 所示，半径为 r 的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，环上套有一质量为 m、带电荷量为q 的珠子，现在圆环平面内加一个匀强电场，使珠子由最高点 A 从静止开始释放(AC、BD 为圆环的两条互相垂直的直径) ，要使珠子沿圆弧经过 B、C 刚好能运动到 D.(重力加速度为 g)图 5(1)求所加电场的场强最小值及所对应的场强的方向；(2)当所加电场的场强为最小值时，求珠子由 A 到达 D 的过程中速度最大时对环的作用力大小；(3)在(1)问电场中，要使珠子能完成完整的圆周运动，在 A 点至少应使它具有多大的初动能？答案 见
10、解析解析 (1)根据题述，珠子运 动到 BC 弧中点 M 时速度最大，作过 M 点的直径 MN，设电场力与重力的合力为 F，则其方向沿 NM 方向，分析珠子在 M 点的受力情况，由图可知，当 F 电 垂直于 F 时，F 电 最小，最小值为：F 电 minmgcos 45 mg22F 电 minqE min解得所加电场的场强最小值 Emin ，方向沿 AOB 的角平分线方向指向左上方.2mg2q(2)当所加电场的场强为最小值时，电场力与重力的合力为 Fmgsin 45 mg22把电场力与重力的合力看做是“等效重力” ，对珠子由 A 运动到 M 的过程，由动能定理得F(r r) mv2022 12
11、在 M 点，由牛顿第二定律得：F NFmv2r联立解得 FN( 1) mg322由牛顿第三定律知，珠子对环 的作用力大小为FNF N( 1)mg.322(3)由题意可知，N 点为等效最高点，只要珠子能到达 N 点，就能做完整的圆周运动，珠子在N 点速度为 0 时，所需初动能最小，此过程中，由动能定理得：F(r r)0E kA22解得 EkA mgr.2 12变式 3 (2018 陕西西安质检)如图 6 所示的装置是在竖直平面内放置的光滑绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，带负电荷的小球从高为 h 的 A 处由静止开始下滑，沿轨道 ABC运动并进入圆环内做圆周运动.已知小球所受电场力是其重力的
12、，圆环半径为 R，斜面倾角34为 60 ，s BC2R.若使小球在圆环内能做完整的圆周运动，h 至少为多少？(sin 370.6，cos 370.8)图 6答案 7.7R解析 小球所受的重力和电场力都为恒力，故可将两力等效为一个力 F，如图所示.可知F1.25mg，方向与竖直方向成 37角.由图可知，小球做完整的圆周运动的临界点是 D 点，设小球恰好能通过 D 点，即到达 D 点时圆环对小球的弹力恰好为零.由圆周运动知识得：F ，即：1.25mgmmvD2R vD2R小球由 A 运动到 D 点，由动能定理结合几何知识得：mg(hR Rcos 37) mg( 2RRsin 37) mvD2，联立
13、解得 h7.7R.34 htan 12命题点三 电场中的力电综合问题1.力学规律(1)动力学规律：牛顿运动定律结合运动学公式.(2)能量规律：动能定理或能量守恒定律.2.电场规律(1)电场力的特点：FEq，正电荷受到的电场力与场强方向相同 .(2)电场力做功的特点：W AB FLABcos qU ABE pAE pB.3.多阶段运动在多阶段运动过程中，当物体所受外力突变时，物体由于惯性而速度不发生突变，故物体在前一阶段的末速度即为物体在后一阶段的初速度.对于多阶段运动过程中物体在各阶段中发生的位移之间的联系，可以通过作运动过程草图来获得.例 3 (2017全国卷 25)真空中存在电场强度大小为
14、 E1 的匀强电场，一带电油滴在该电场中竖直向上做匀速直线运动，速度大小为 v0，在油滴处于位置 A 时，将电场强度的大小突然增大到某值，但保持其方向不变.持续一段时间 t1 后，又突然将电场反向，但保持其大小不变；再持续同样一段时间后，油滴运动到 B 点.重力加速度大小为 g.(1)求油滴运动到 B 点时的速度；(2)求增大后的电场强度的大小；为保证后来的电场强度比原来的大，试给出相应的 t1 和 v0应满足的条件.已知不存在电场时，油滴以初速度 v0 做竖直上抛运动的最大高度恰好等于B、A 两点间距离的两倍.答案 见解析解析 (1)油滴带电性质不影响结果.设该油滴带正电，油滴质量和电荷量分
15、别为 m 和 q，油滴速度方向向上为正.油滴在电场强度大小为 E1 的匀强电场中做匀速直线运动，故匀强电场方向向上.在 t0 时，电场强度突然从 E1 增加至 E2，油滴做竖直向上的匀加速运动，加速度方向向上，大小 a1满足qE2mgma 1 油滴在 t1时刻的速度为v1v 0a 1t1 电场强度在 t1时刻突然反向，之后油滴做匀变速直线运动，加速度方向向下，大小 a2满足qE2mgma 2 油滴在 t22t 1时刻，即运动到 B 点时的速度为v2v 1a 2t1 由式得v2v 02gt 1 (2)由题意，在 t0 时刻前有qE1mg 油滴从 t0 到 t1时刻的位移为x1v 0t1 a1t1
16、2 12油滴在从 t1时刻到 t22t 1时刻的时间间隔内的位移为x2v 1t1 a2t12 12由题给条件有 v 2g2h4gh 20式中 h 是 B、A 两点之间的距离.若 B 点在 A 点之上，依 题意有x1x 2h 由式得E222 ( )2E1 v0gt1 14v0gt1为使 E2E 1，应 有22 ( )21 v0gt1 14v0gt1解得 0t 1(1 ) 32v0g或 t1(1 ) 32v0g条件式和式分别对应于 v20 和 v20 两种情形.若 B 在 A 点之下，依 题意有x2x 1h 由式得E222 ( )2E1 v0gt1 14v0gt1为使 E2E1，应有22 ( )2
17、1 v0gt1 14v0gt1解得 t1( 1) 52 v0g另一解为负，不符合题意，舍去.变式 4 (2017 全国卷25)如图 7 所示，两水平面(虚线)之间的距离为 H，其间的区域存在方向水平向右的匀强电场.自该区域上方的 A 点将质量均为 m，电荷量分别为 q 和q( q0)的带电小球 M、N 先后以相同的初速度沿平行于电场的方向射出.小球在重力作用下进入电场区域，并从该区域的下边界离开.已知 N 离开电场时的速度方向竖直向下；M 在电场中做直线运动，刚离开电场时的动能为 N 刚离开电场时的动能的 1.5 倍.不计空气阻力，重力加速度大小为 g.求：图 7(1)M 与 N 在电场中沿水
18、平方向的位移之比；(2)A 点距电场上边界的高度；(3)该电场的电场强度大小.答案 (1)31 (2) H (3)13 2mg2q解析 (1)设小球 M、N 在 A 点水平射出时的初速度大小为 v0，则它们进入电场时的水平速度仍然为 v0.M、N 在电场中运动 的时间 t 相等，电场力作用下产生的加速度沿水平方向，大小均为 a，在电场中沿水平方向的位移分 别为 s1 和 s2.由题给条件和运 动学公式得v0at0 s1v 0t at2 12s2v 0t at2 12联立式得3 s1s2(2)设 A 点距电场上边界的高度为 h，小球下落 h 时在竖直方向的分速度为 vy，由运动学公式vy22gh
19、 Hv yt gt2 12M 进入电场后做直线运动，由几何关系知 v0vy s1H联立式可得h H 13(3)设电场强度的大小为 E，小球 M 进入电场后做直线运动，则 v0vy qEmg设 M、N 离开电场时的动能分 别为 Ek1、Ek2，由 动能定理得Ek1 m(v02v y2)mgHqEs 1 12Ek2 m(v02v y2)mgHqEs 2 12由已知条件Ek11.5E k2 联立式得E 2mg2q变式 5 如图 8 所示，在 E10 3 V/m 的竖直匀强电场中，有一光滑半圆形绝缘轨道 QPN与一水平绝缘轨道 MN 在 N 点平滑相接，半圆形轨道平面与电场线平行，其半径 R40 cm，N 为半圆形轨道最低点，P 为 QN 圆弧的中点，一带负电 q10 4 C 的小滑块质量m10 g，与水平轨道间的动摩擦因数 0.15，位于 N 点右侧 1.5 m 的 M 处，g 取 10 m/s2，求：图 8(1)要使小滑块恰能运动到半圆形轨道的最高点 Q，则小滑块应以多大的初速度 v0 向左运动？(2)这样运动的小滑块通过 P 点时对轨道的压力是多大？答案 (1)7 m/s (2)0.6 N解析 (1)设小滑块恰能到达 Q 点时速度为 v，由牛顿第二定律得 mgqE mv2R小滑块从开始运动至到达 Q 点过程中，由动能定理得
