1、常微分方程试卷答案一、问答题：（每题 6 分，共 30 分）1常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义?答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。常微分方程，自变量的个数只有一个。偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。2举例阐述常数变易法的基本思想。答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。例：求 ()dyPxQ的通解。首先利用变量分离法可求得其对应的线
2、性齐次方程的通解为 ()Pxdyc，然后将常数 c变易为 x的待定函数 ()cx，令 ()Pxdyc，微分之，得到() (PdPdxdy，将上述两式代入方程中，得到() ()()xdPxdPxccQ即 ()()dxd积分后得到 ()Pxcc进而得到方程的通解()()Pxddy3高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答： n阶线性微分方程的初值问题 ()(1)1()0020.(),nnnxatatxtft其中 12().()nttf， 是区间 tb上的已知连续函数， 0,tab，2,.n是已知常数。它可以化为线性微分方程组的初值问题12100100()()()()()nnnx xattat
3、atftt 但是需要指出的是每一个 阶线性微分方程可化为 个一阶线性微分方程构成的方程组，反之却不成立。4若常系数线性方程组 Ax和 Bx有相同的基本解矩阵， 则A与 B有什么关系？答：设常系数方程组 x的基解为 1()eptAt， xt的基解为2()eptt，由于两个常系数线性方程组有相同的基解矩阵，根据的解的性质知12()C，则可得 epxAtCBt， 为非奇异 n的常数矩阵。5写出线性微分方程组的皮卡逐次逼近序列。 001(),()()1,2)tkkt atbAsfsdk 常微分方程期中测验试卷(3)班级_姓名_学号_得分_1辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1） （
4、2） （3）2dxyyxysind 0d2d234xyxy（4） （5） （6）t 231)(srsr 22、填空题(8%)（1） 方程 的所有常数解是_.yxtand（2） 若 y=y1(x)，y=y 2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为_.（3）.若方程 M(x, y)dx + N(x, y)dy= 0 是全微分方程，同它的通积分是_.（4）.设 M(x0, y0)是可微曲线 y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在 x 轴和 y 轴上的截距分别是_.3、单选题(14%)（1） 方程 是（ ）.0d)ln(dlyxy(A)可分离变量方程 （B ）线性方程
5、(C)全微分方程 （D ）贝努利方程（2） 方程 ，过点（0，0）有（ ）.)(dyx(A) 一个解 （B ）两个解(C) 无数个解 （D ）三个解（3） 方程 x(y2 1)dx+y(x2 1)dy=0 的所有常数解是（ ）.(A)y=1, x=1, (B) y=1(C) x=1 (D) y=1, x=1（4） 若函数 y(x)满足方程 ，且在 x=1 时，y=1, 则在 x = e 时0ln2y=( ).(A) (B) (C)2 (D) ee2（5） 阶线性齐次方程的所有解构成一个（ ）线性空间n（A） 维 （B） 维 （C） 维 （D ） 维1n1n2n（6）. 方程 （ ）奇解dyx（
6、A）有三个 （B）无 （C）有一个 （D） 有两个（7） 方程 过点 （ ） 32x)0,(（A）有无数个解 （B）只有三个解（C）只有解 （D）只有两个解y4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）. 2dx（2）. ye3（3）. 0)d(d)(3223 yxyx（4）. （5）. 1)ln(yx5. 计算题(10%)求方程 的通解5si6证明题（16%）设 在整个 平面上连续可微，且 求证：方程),(yxfxoy0),(yxf),(dyxf的非常数解 ，当 时，有 ，那么 必为 或 )(xy00(y0x参考答案：1辨别题（1）一阶，非线性 （2）一阶，非线性 （3）四阶，线性（
7、4）三阶，非线性 （5）二阶，非线性 （6）一阶，非线性2填空题（1） （2） ,210,ky )()(121xyxyC（3） （4） yxxNM00 0d),(d),( 00,3单选题（1） B （2） C （3） A （4） B （5） . A （6）. B 7. A4. 计算题（1） 解 当 时，分离变量得0yxd12等式两端积分得Cyln)l(ln2即通解为21xC（2） 解 齐次方程的通解为xCy3e令非齐次方程的特解为x3)(代入原方程，确定出 Cx5e1原方程的通解为+ xCy3e2（3） 解 由于 ，所以原方程是全微分方程 NyM取 ，原方程的通积分为)0,(,(0yx1032
8、3dCyxyx 即 44（4）. 令 ，则 ，代入原方程，得xuyxuyd， 2d2当 时，分离变量，再积分，得0Cxu2，ln1ln1即： Cxyl5. 计算题令 ，则原方程的参数形式为pyypxln1由基本关系式 ，有xdppy)d1(2 )(积分得 Cpyln得原方程参数形式通解为pyxln15计算题解 方程的特征根为 ，0152齐次方程的通解为 xCy1e因为 不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为ii5xBAxy5cossin)(1代入原方程，比较系数得0251确定出 ， 01AB原方程的通解为 )5sin(co501e21 xCyx6 . 证明题证明 由已知条件，方程在整个 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件，y因此，它的任一解都可延展到平面的无穷远。 （2分）又由已知条件，知 是方程的一个解。 （4 分）0y假如方程的非常数解 对有限值 有 ，那么由已知条件，该)(x00)(lim0yx解在点 处可向 的右侧（或左侧）延展这样，过点 就有两个不同解),(0yx0 ),和 这与解的唯一性矛盾，因此 不能是有限值 0x
