挑战中考数学压轴题.doc

1、 挑战压轴题 马学斌编著1目 录第一部分 函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题 例 1 2015年上海市宝山嘉定区中考模拟第 24题例 2 2014年武汉市中考第 24题例 3 2012年苏州市中考第 29题例 4 2012年黄冈市中考第 25题例 5 2010年义乌市中考第 24题例 6 2009年临沂市中考第 26题1.2 因动点产生的等腰三角形问题例 1 2015年重庆市中考第 25题例 2 2014年长沙市中考第第 26题例 3 2013年上海市虹口区中考模拟第 25题例 4 2012年扬州市中考第 27题例 5 2012年临沂市中考第 26题例 6 2011年盐

2、城市中考第 28题1.3 因动点产生的直角三角形问题例 1 2015年上海市虹口区中考模拟第 25题例 2 2014年苏州市中考第 29题例 3 2013年山西省中考第 26题例 4 2012年广州市中考第 24题例 5 2012年杭州市中考第 22题例 6 2011年浙江省中考第 23题例 7 2010年北京市中考第 24题1.4 因动点产生的平行四边形问题例 1 2015年成都市中考第 28题例 2 2014年陕西省中考第 24题例 3 2013年上海市松江区中考模拟第 24题例 4 2012年福州市中考第 21题例 5 2012年烟台市中考第 26题例 6 2011年上海市中考第 24题

3、例 7 2011年江西省中考第 24题1.5 因动点产生的梯形问题例 1 2015年上海市徐汇区中考模拟第 24题例 2 2014年上海市金山区中考模拟第 24题例 3 2012年上海市松江中考模拟第 24题例 4 2012年衢州市中考第 24题 例 5 2011年义乌市中考第 24题1.6 因动点产生的面积问题例 1 2015年河南市中考第 23题例 2 2014年昆明市中考第 23题挑战压轴题 马学斌编著2例 3 2013年苏州市中考第 29题例 4 2012年菏泽市中考第 21题例 5 2012年河南省中考第 23题例 6 2011年南通市中考第 28题例 7 2010年广州市中考第 2

4、5题1.7 因动点产生的相切问题例 1 2015年上海市闵行区中考模拟第 24题例 2 2014年上海市徐汇区中考模拟第 25题例 3 2013年上海市杨浦区中考模拟第 25题1.8 因动点产生的线段和差问题例 1 2015年福州市中考第 26题例 2 2014年广州市中考第 24题例 3 2013年天津市中考第 25题例 4 2012年滨州市中考第 24题第二部分 图形运动中的函数关系问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题例 1 2015年呼和浩特市中考第 25题例 2 2014年上海市徐汇区中考模拟第 25题例 3 2013年宁波市中考第 26题例 4 2012年上海市徐汇区中考模拟第

5、25题2.2 由面积公式产生的函数关系问题例 1 2015年上海市徐汇区中考模拟第 25题例 2 2014年黄冈市中考第 25题例 3 2013年菏泽市中考第 21题例 4 2012年广东省中考第 22题 例 5 2012年河北省中考第 26题 例 6 2011年淮安市中考第 28题第三部分 图形运动中的计算说理问题3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例 1 2015年北京市中考第 29题例 2 2014年福州市中考第 22题例 3 2013年南京市中考第 26题3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例 1 2015年杭州市中考第 22题例 2 2014年安徽省中考第 23题例 3 2

6、013年上海市黄浦区中考模拟第 24题第四部分 图形的平移翻折与旋转4.1图形的平移挑战压轴题 马学斌编著3例 1 2015年泰安市中考第 15题例 2 2014年江西省中考第 11题4.2图形的翻折例 1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第 18题例 2 2014年上海市中考第 18题4.3图形的旋转例 1 2015年扬州市中考第 17题例 2 2014年上海市黄浦区中考模拟第 18题4.4三角形例 1 2015年上海市长宁区中考模拟第 18题例 2 2014年泰州市中考第 16题4.5四边形例 1 2015年安徽省中考第 19题例 2 2014年广州市中考第 8题4.6圆例 1 201

7、5年兰州市中考第 15题例 2 2014年温州市中考第 16题4.7函数图像的性质例 1 2015年青岛市中考第 8题例 2 2014年苏州市中考第 18题声 明选自东师范大学出版社出版的挑战压轴题中考数学:精讲解读篇（含光盘）一书。该书收录当年全国各地具有代表性的中考数学压轴题， 并把它们分为 4部分、24 小类。该书最大的特色是用几何画板和超级画板做成电脑课件，并为每一题录制了视频讲解，让你在动态中体验压轴题的变与不变，获得清晰的解题思路，完成满分解答，拓展思维训练。挑战压轴题中考数学:精讲解读篇自出版以来广受读者欢迎，被评为优秀畅销图书,成为“中考压轴题”类第一畅销图书。在上海、北京、江

8、苏、浙江等省市的名牌初中的毕业班学生中，几乎人手一本，成为冲刺名牌高中必备用书。由于格式问题，该书最具特色的电脑课件和视频文件在此无法一并附上，敬请原谅。挑战压轴题 马学斌编著4第一部分 函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题 例 1 2015 年上海市宝山区嘉定区中考模拟第 24 题如图 1，在平面直角坐标系中，双曲线（k0）与直线 yx2 都经过点 A(2, m) （1）求 k 与 m 的值；（2）此双曲线又经过点 B(n, 2)，过点 B 的直线 BC 与直线 yx2 平行交 y 轴于点C，联结 AB、AC，求ABC 的面积；（3）在（2）的条件下，设直线 yx2 与

9、 y 轴交于点 D，在射线 CB 上有一点 E，如果以点 A、C、E 所组成的三角形与ACD 相似，且相似比不为 1，求点 E 的坐标图 1 动感体验请打开几何画板文件名“15 宝山嘉定 24”，拖动点 E 在射线 CB 上运动，可以体验到，ACE 与ACD 相似，存在两种情况思路点拨1直线 AD/BC，与坐标轴的夹角为 452求ABC 的面积，一般用割补法3讨论ACE 与ACD 相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程满分解答（1）将点 A(2, m)代入 yx 2，得 m4所以点 A 的坐标为 (2, 4)将点 A(2, 4)代入 ，得 k8（2）将点 B(n, 2)，代入

10、 ，得 n4x所以点 B 的坐标为(4, 2) 设直线 BC 为 yxb，代入点 B(4, 2)，得 b2所以点 C 的坐标为(0,2)由 A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0, 2)，可知 A、B 两点间的水平距离和竖直距离都是 2，B、C 两点间的水平距离和竖直距离都是 4所以 AB ，BC ，ABC 90 4图 2所以 SABC 8 12A2（3）由 A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,2)，得 AD ，AC 210挑战压轴题 马学斌编著5由于DACACD45，ACEACD45，所以DACACE所以ACE 与ACD 相似，分两种情况：如图 3，当 时，CE AD CEA

11、D2此时ACDCAE，相似比为 1如图 4，当 时， 解得 CE 此时 C、E 两点间的0102水平距离和竖直距离都是 10，所以 E(10, 8)图 3 图 4考点伸展第（2）题我们在计算ABC 的面积时，恰好ABC 是直角三角形一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法如图 5，作ABC 的外接矩形 HCNM，MN/y 轴由 S 矩形 HCNM24，S AHC 6，S AMB 2，S BCN 8，得 SABC 8图 5例 2 2014 年武汉市中考第 24 题如图 1，Rt ABC 中，ACB90，AC6 cm，BC8 cm，动点 P 从点 B 出发，在BA 边上以每秒 5 cm 的

12、速度向点 A 匀速运动，同时动点 Q 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒4 cm 的速度向点 B 匀速运动，运动时间为 t 秒（0t2 ） ，连接 PQ（1）若BPQ 与ABC 相似，求 t 的值；（2）如图 2，连接 AQ、CP，若 AQCP，求 t 的值；（3）试证明：PQ 的中点在 ABC 的一条中位线上挑战压轴题 马学斌编著6图 1 图 2动感体验请打开几何画板文件名“14 武汉 24”，拖动点 P 运动，可以体验到，若BPQ 可以两次成为直角三角形，与ABC 相似当 AQCP 时，ACQCDPPQ 的中点 H 在 ABC 的中位线 EF 上思路点拨1BPQ 与ABC 有公共角，按照

13、夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程2作 PDBC 于 D，动点 P、Q 的速度，暗含了 BDCQ3PQ 的中点 H 在哪条中位线上？画两个不同时刻 P、Q、H 的位置，一目了然满分解答（1）Rt ABC 中，AC6，BC8，所以 AB10BPQ 与ABC 相似，存在两种情况： 如果 ，那么 解得 t1BPAQC504t 如果 ，那么 解得 8t324图 3 图 4（2）作 PDBC，垂足为 D在 Rt BPD 中，BP 5t，cosB ，所以 BDBPcos B 4t，PD3t45当 AQCP 时，ACQCDP所以 ，即 解得 ACQP6843tt78t图 5 图 6（3）如图 4，过

14、PQ 的中点 H 作 BC 的垂线，垂足为 F，交 AB 于 E挑战压轴题 马学斌编著7由于 H 是 PQ 的中点，HF/PD，所以 F 是 QD 的中点又因为 BDCQ4t，所以 BFCF因此 F 是 BC 的中点，E 是 AB 的中点所以 PQ 的中点 H 在ABC 的中位线 EF 上考点伸展本题情景下，如果以 PQ 为直径的 H 与ABC 的边相切，求 t 的值如图 7，当H 与 AB 相切时， QPAB ，就是 ， BPCQA3241如图 8，当H 与 BC 相切时，PQBC，就是 ，t1如图 9，当H 与 AC 相切时，直径 ，222(3)8)Dt半径等于 FC4所以 22(3)8)

15、tt解得 ，或 t0（如图 10，但是与已知 0t 2 矛盾） 1287t图 7 图 8 图 9 图 10例 3 2012 年苏州市中考第 29 题如图 1，已知抛物线 （b 是实数且 b2）与 x 轴的正半轴分别21()44yx交于点 A、B （点 A 位于点 B 是左侧） ，与 y 轴的正半轴交于点 C（1）点 B 的坐标为_，点 C 的坐标为_（用含 b 的代数式表示） ；（2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内

16、是否存在点 Q，使得QCO、QOA 和QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由图 1动感体验请打开几何画板文件名“12 苏州 29”，拖动点 B 在 x 轴的正半轴上运动，可以体验到，点 P 到两坐标轴的距离相等，存在四边形 PCOB 的面积等于 2b 的时刻双击按钮“第（3）题” ，拖动点 B，可以体验到，存在OQAB 的时刻，也存在 OQAB 的时挑战压轴题 马学斌编著8刻思路点拨1第（2）题中，等腰直角三角形 PBC 暗示了点 P 到两坐标轴的距离相等2联结 OP，把四边形 PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底

17、边可以用含 b 的式子表示3第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点 A 与 x 轴垂直的直线上满分解答（1）B 的坐标为(b, 0) ，点 C 的坐标为(0, )4b（2）如图 2，过点 P 作 PD x 轴，PEy 轴，垂足分别为 D、E，那么PDBPEC因此 PDPE 设点 P 的坐标为(x, x) 如图 3，联结 OP所以 S 四边形 PCOBS PCO S PBO 2b15248bxx解得 所以点 P 的坐标为( )165x6,5图 2 图 3（3）由 ，得 A(1, 0)，OA111()()44byxxb如图 4，以 OA、OC

18、 为邻边构造矩形 OAQC，那么OQCQOA当 ，即 时，BQA QOA BAQO2BA所以 解得 所以符合题意的点 Q 为( )2()1b83b1,23如图 5，以 OC 为直径的圆与直线 x1 交于点 Q，那么 OQC 90。因此OCQQOA当 时，BQA QOA此时OQB90BAQ所以 C、Q、B 三点共线因此 ，即 解得 此时 Q(1,4)BOAC14b4A图 4 图 5考点伸展挑战压轴题 马学斌编著9第（3）题的思路是，A、C、 O 三点是确定的，B 是 x 轴正半轴上待定的点，而QOA 与QOC 是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况这样，先根据QOA 与QOC

19、相似把点 Q 的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点 B 的位置如图中，圆与直线 x1 的另一个交点会不会是符合题意的点 Q 呢？如果符合题意的话，那么点 B 的位置距离点 A 很近，这与 OB4OC 矛盾例 4 2012 年黄冈市中考模拟第 25 题如图 1，已知抛物线的方程 C1： (m0)与 x 轴交于点 B、C，与(2)yxy 轴交于点 E，且点 B 在点 C 的左侧（1）若抛物线 C1 过点 M(2, 2)，求实数 m 的值；（2）在（1）的条件下，求BCE 的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BHEH 最小，求出点H 的坐标；（4）在第四象限

20、内，抛物线 C1 上是否存在点 F，使得以点 B、C 、F 为顶点的三角形与BCE 相似？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由图 1动感体验请打开几何画板文件名“12 黄冈 25”，拖动点 C 在 x 轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，EC 与 BF 保持平行，但是BFC 在无限远处也不等于 45观察右图，可以体验到，CBF 保持 45，存在BFC BCE 的时刻思路点拨1第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当 H 落在线段 EC 上时，BHEH 最小2第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线 BF，作CBFEBC45，或者作 BF/EC再用含 m 的式子表示点 F 的坐标然后根据夹

21、角相等，两边对应成比例列关于 m 的方程满分解答（1）将 M(2, 2)代入 ，得 解得 m41(2)yxm124()（2）当 m4 时， 所以 C(4, 0)，E(0, 2) 4x所以 SBCE 62BCOE（3）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x1，当 H 落在线段 EC 上时，BHEH 最小设对称轴与 x 轴的交点为 P，那么 EOC因此 解得 所以点 H 的坐标为 4HP323(,)2（4）如图 3，过点 B 作 EC 的平行线交抛物线于 F，过点 F 作 FFx 轴于 F由于BCEFBC，所以当 ，即 时，BCE FBCB挑战压轴题 马学斌编著10设点 F 的坐标为 ，由 ，得 1(,2)(xxmFEOBC1(2)xm解得 xm2所以 F(m2, 0)由 ，得 所以 COBE242(4)由 ，得 2 2()整理，得 016此方程无解图 2 图 3 图 4如图 4，作CBF45交抛物线于 F，过点 F 作 FFx 轴于 F，由于EBCCBF，所以 ，即 时，BCE BFCBEC2BE在 Rt BFF中，由 FFBF ，得 1()xm解得 x2m所以 F 所以 BF2m 2， (2,0) (2)由 ，得 解得 BCE 综合、，符合题意的 m 为 考点伸展第（4）题也可以这样求 BF 的长：在求得点 F、F 的坐标后，根据两点间的距离公式求 BF 的长