1、解决与三角形相关的取值范围问题例 1：在锐角 中， ，则 的取值范围是 ABC2cb例 2：若 的三边 成等比数列， 所对的角依次为 ，ABC,abc,abc,ABC则 的取值范围是 sinco例 3：在 中，角 的对边分别为 ，且ABC, ,abc成等差数列。 （1）求 的大小。cos,cosab B（2）若 ，求 周长的取值范围。5例 4：在 中， ，若 的外接圆半径为 ，ABC223abcaABC32则 的面积的最大值为 例 5：（2008，江苏）满足 的 的面积的最大值2,ABCABC是 例 6：已知角 是 三个内角， 是各角的对边，向量,ABC,abc， ，且(1cos)s)2m 5
2、(,cos)82ABn98mn（1）求 的值。tan（2）求 的最大值。22sibc通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二次函数、向量等知识综合考查。这一类问题有利于考查学生对知识的综合运用能力，是高考命题的热点。理顺这些基本知识以及技巧和方法可以提高我们解题的能力。希望本文能对同学们复习备考有所帮助。巩固练习 1在 中， ，则 的取值范围为 ABC2,1acC2若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为 ，则 的取值范围是 m3在 中， ，且 所对的边 满足 ，则 RtABC 2,ABC,a
3、bcbxc实数 的取值范围为 x4在锐角 中， ， ，则 的取值范围是 A15在锐角 中，三个内角 成等差数列，记 ，BC,ABCcosMAC则 的取值范围是 M6已知锐角三角形的边长分别为 ，则 的取值范围是 1,3a7已知 外接圆的半径为 ，若面积 且ABC622()ABCSabc，则 ， 的最大值为 4sin3sin8在 中， ，且(,cos),(s,in)mACsinmBC（1）求证： 为直角三角形 B（2）若 外接圆的半径为 ，求 的周长的取值范围AC1AB9在 中 所对的边分别为 ，已知, ,abc2sin3cosA（1）若 ，求实数 的值22acbmc（2）若 ，求 面积的最大值
4、。3ABC解决与三角形相关的取值范围问题例 1：在锐角 中， ，则 的取值范围是 ABC2cb解析：由 022AB且 0得 ，所以 ，64 2sini3sincosin4cos1ic Bb又 所以23cos(,)B24o1(,)点评：本题易错在求 的范围上，容易忽视“ 是锐角三角形”BABC这个条件。本题涉及三角形边角之间的关系，考察边角互化，化多元为一元，体现了解题的通性通法。例 2：若 的三边 成等比数列， 所对的角依次为 ，ABC,abc,abc,ABC则 的取值范围是 sinco解析：由题设知 ，又余弦定理知2c2 21cosacbaacB所以 ，又 所以03 7sinosin()44
5、12BB且即 的取值范围是 。2sin()(1,24c(,点评：本题将数列、基本不等式、三角函数、解三角形等知识结合起来，有利于提高学生解题的综合能力。例 3：在 中，角 的对边分别为 ，且ABC, ,abc成等差数列。 （1）求 的大小。cos,cosab B（2）若 ，求 周长的取值范围。5解析：（1）由题意知 ，cso2csaCAb由正弦定理得 sincosic2sincoACAB所以 ，于是si()2B1,3（2）由正弦定理 ，所以0sinisinabc1010121i5i5i()sin510sin()3633abcACAA又由 得 ，所以226。510sin()(10,5abc点评：
6、对三角函数式的处理常常借助于同角三角函数间关系、诱导公式以及恒等变换式等实施变形，达到化简、求值域的目的。例 4：在 中， ，若 的外接圆半径为 ，ABC223abcaABC32则 的面积的最大值为 解析：又 及余弦定理得 ，所以223abca221cos3abc，sin3C又由于 ，所以 即2sin4cR22coscabC2163abab所以 ，又由于 ，故当且仅当1ab1sin43SC时， 的面积取最大值23AB2点评：先利用余弦定理求 的大小，再利用面积公式结合基本不cos等式，求面积的最大值，要注意正弦定理与余弦定理的综合应用。例 5：（2008，江苏）满足 的 的面积的最大值2,AB
7、CABC是 解析：设 ，则 ，BCx2Ax根据面积公式得 21sin1cosBCSB由余弦定理得22 24()4cosxxA代入式得22418()1()6ABCxS由三角形三边关系有 ，所以 ，x且 22x故当 时， 取得最大值 。23xABCS2点评：本题结合函数的知识，以学生熟悉的三角形为载体，考察了面积公式、余弦定理等知识，是一道考察解三角形的好题。例 6：已知角 是 三个内角， 是各角的对边，向量,ABC,abc， ，且(1cos)s)2m 5(,cos)82ABn98mn（1）求 的值。tan（2）求 的最大值。22sibc解析：由 ， ，且 得(1o),cs)2ABm 5(,cos
8、)82ABn98mn，所以 ，2591cos)s88AB4(即 ，所以9in1ta9（2）由余弦定理得 ，而22sisintaco2bCCbtat 3tan()(tat)n1n884ABBABAB即 有最小值 ，又 ，34n(所以 有最大值 （当且仅当 时取等号）taC1tat3所以 的最大值为22sinbc8通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二次函数、向量等知识综合考查。这一类问题有利于考查学生对知识的综合运用能力，是高考命题的热点。理顺这些基本知识以及技巧和方法可以提高我们解题的能力。希望本文能对同学们复习备考
9、有所帮助。巩固练习 1在 中， ，则 的取值范围为 ABC2,1acC2若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为 ，则 的取值范围是 m3在 中， ，且 所对的边 满足 ，则 RtABC2,ABC,abcbxc实数 的取值范围为 x4在锐角 中， ， ，则 的取值范围是 A15在锐角 中，三个内角 成等差数列，记 ，BC,ABCcosMAC则 的取值范围是 M6已知锐角三角形的边长分别为 ，则 的取值范围是 1,3a7已知 外接圆的半径为 ，若面积 且ABC622()ABCSabc，则 ， 的最大值为 4sin3sin8在 中， ，且(,cos),(s,in)mACs
10、inmBC（1）求证： 为直角三角形 B（2）若 外接圆的半径为 ，求 的周长的取值范围AC1AB9在 中 所对的边分别为 ，已知, ,abc2sin3cosA（1）若 ，求实数 的值22acbmc（2）若 ，求 面积的最大值。3ABC参考答案1 1sini,(0,262 (,)3 14同例 1 知 ，由正弦定理64Bsini2cos(2,3)ACB5易知 ，则,3C 2coscos()3MACA211311cosincosin2i464AA由于 ，所以 ，故03726611sin(2)(,64M6.设 所对的角分别为 ，由三角形三边关系有,a,ABC，故 ，易知 ，要保证 为锐角1331且
11、24aABCA三角形，只需 ，即 ，解得cos0,B2222131003a且21a7由 ，得22()ABCSbc22sin(2)Aabc由余弦定理得 ，故有 ，易得osacos为锐角，且 ，即 ，故有22sin44cA217sin8i0A，8sin17A则 42(sin)1263bcRBC（当且仅当 时取125(71ABCAbcS8bc等号）即 的最大值为ABC25618 （1）由 ，且(sin,co),(s,in)mACBAsinmBC得 ，sincoi由正弦定理得 ，scaBb由余弦定理得222acb整理得 22()0bcac又由于 ，故 ，即 是直角三角形02bABC（或者：由 得，si
12、ncosicsinABsinco()()C化简得 ，由于 ，故 ，s(is0si0BCcos0A即 是直角三角形）AB（2）设 内角 所对的边分别为C,AB,abc由于 外接圆的半径为 ， ，所以 ，122sinRA所以 (sinco)(sinco)()4bcRB又 ，故 ，因而02B344Bsi,故 4abc即 的周长的取值范围为AC(,29 （1）由 两边平方得2sin3cosA2sin3cosA即 ，解得(2cos1)(2)0A1cos2A由 得2abmc2amb即 ，所以1cos1（2）由（1）知 ，则 ，cos2A3sin2又 ，所以 ，即 ，21bca2bcab2ca故 23sin24ABCS
