1、1作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法-二次函数教学反思最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀” ，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图 1，过 ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫 ABC 的“水平宽”( a)，中间的这条直线在 ABC 内部线段的长度叫 ABC 的“铅垂高( h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法： ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 . ahSABC21例 1 （2013 深圳）如图，在直角坐
2、标系中，点 A 的坐标为（2，0） ，连结 OA，将线段 OA 绕原点O 顺时针旋转 120，得到线段 OB.（1）求点 B 的坐标；（ 2）求经过 A、 O、 B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使BOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点 P 是（2）中的抛物线上的动点，且在 x 轴的下方，那么PAB 是否有最大面积？若有，求出此时 P 点的坐标及PAB 的最大面积；若没有，请说明理由.解：（1）B（1， ）3（2）设抛物线的解析式为 y=ax(x+a)，代入点 B（1, ） ，得 ，因此33a23yx（3）如图
3、，抛物线的对称轴是直线 x=1，当点 C 位于对称轴与线段 AB 的交点时，BOC 的周长最小.设直线 AB 为 y=kx+b.所以 ，因此直线 AB 为 ，当 x=1 时，3,320.2kkb解 得 32yx，因此点 C 的坐标为（1， /3）.3y3（4）如图，过 P 作 y 轴的平行线交 AB 于 D.BC铅垂高水平宽h a 图 1CBA OyxDBA OyxP2221()()133331938PABDPBDPBASSyxxx 当 x= 时，PAB 的面积的最大值为 ，此时 .293813,24P例 2(2014 益阳) 如图 2，抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x 轴于点 A(3
4、,0)，交 y 轴于点 B.(1)求抛物线和直线 AB 的解析式；(2)点 P 是抛物线(在第一象限内) 上的一个动点，连结 PA，PB，当 P 点运动到顶点 C 时，求CAB 的铅垂高 CD 及 ；(3)是否存在一点 P，使 SPAB = SCAB ，若存在，求出 P 点CABS 89的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)设抛物线的解析式为： 把 A（3,0）代入解4)1(21xay析式求得 所以 设直线 AB 的1a 3)(2解析式为： 由 求得 B 点的坐标为 bkxy21xy ),0(把 ， 代入 中 解得：)0,3(A),(Bk2所以1bk3xy(2)因为 C 点坐标为(,4)所以
5、当 x时，y 14，y 22 所以 CD4-22 (平方单位)2ABS(3)假设存在符合条件的点 P，设 P 点的横坐标为 x，PAB 的铅垂高为 h，则由 SPAB = SCAB 得 化简xxyh 3)()3( 221 89389)(3212x得： 解得， 将 代入 中，解得 P 点坐标为0942 21xy 415,(例 3 （2015 江津）如图，抛物线 cbxy2与 x 轴交于 A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交 y 轴于 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得QAC 的周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说
6、明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P，使 PBC 的面积最大？，若存在，求出点 P 的坐标及 PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.图-2xCOyABD113(3)xyABCPE OxyABCQO(2)解：(1)将 A(1，0)，B(3，0)代 中得 2yxbc1093bc 23b抛物线解析式为： 23(2)存在。 理由如下：由题知 A、B 两点关于抛物线的对称轴 对称1x直线 BC 与 的交点即为 Q 点， 此时AQC 周长最小 1x 23yxC 的坐标为：(0，3) 直线 BC 解析式为： Q 点坐标即为 的解 3yx Q( 1，2)2xy（3）答：存在。理由
7、如下：设 P 点 若2(3) (0)xx， 92BPCBOCPBPCOSS四 边 形 四 边 形有最大值，则 就最大，BCOS四 边 形 BPCS EOERt四 边 形 直 角 梯 形1()2E 221(3)3(3)xxx2397()8x当 时， 最大值 最大 BPCOS四 边 形 978BPCS当 时， 点 P 坐标为2x254x15( )24，4同学们可以做以下练习：1 （2015 浙江湖州）已知如图，矩形 OABC 的长 OA= ，宽 OC=1，将AOC 沿 AC 翻折得APC。3（1）填空：PCB=_度，P 点坐标为（ ， ） ；（2）若 P，A 两点在抛物线 y= x2+bx+c 上
8、，求 b，c 的值，并说明点 C 在此抛物线上；43（3）在（2）中的抛物线 CP 段（不包括 C，P 点）上，是否存在一点 M，使得四边形 MCAP 的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时 M 点的坐标；若不存在，请说明理由。2 （湖北省十堰市 2014）如图， 已知抛物线 32bxay（a0）与 x轴交于点 A(1，0) 和点B (3， 0)，与 y 轴交于点 C(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与 轴交于点 M ，问在对称轴上是否存在点 P，使CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由(3) 如图 ，若点 E 为第二象限抛
9、物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求此时 E 点的坐标图 图53.(2015 年恩施) 如图 11，在平面直角坐标系中，二次函数 cbxy2的图象与 x 轴交于 A、 B两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0） ，与 y 轴交于 C（0，-3）点，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式（2）连结 PO、PC ， 并把POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POP /C， 那么是否存在点 P，使四边形POP /C 为菱形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 AB
10、PC 的面积最大并求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积.解：（1）将 B、 C 两点的坐标代入得 30cb 解得： 32cb 所以二次函数的表达式为： 32xy （2）存在点 P，使四边形 POP /C 为菱形设 P 点坐标为（x，3x） ，PP /交 CO 于 E 若四边形 POP /C 是菱形，则有PCPO连结 PP / 则 PE CO 于 E，OE=EC = 23 y= 32x= 解得 1x= 0， 2x= 10（不合题意，舍去）P 点的坐标为（ ， 3）（3）过点 P 作 y轴的平行线与 BC 交于点 Q，与 OB 交于点 F，设 P（x， 32x） ，易得，直线 BC
11、的解析式为 3x则 Q 点的坐标为（x ，x3）. EBQOCABSSCPBACBP 2121四 边 形 )(421x= 87532x图 116当 23x时，四边形 ABPC 的面积最大此时 P 点的坐标为 415,，四边形 ABPC 的面积 875的 最 大 值 为25 （2015 绵阳）如图，抛物线 y = ax2 + bx + 4 与 x 轴的两个交点分别为 A（4，0） 、B（2，0） ，与 y 轴交于点 C，顶点为 DE（1，2）为线段 BC 的中点，BC 的垂直平分线与 x 轴、y 轴分别交于F、G（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D 的坐标；（2）在直线 EF 上求一点 H
12、，使CDH 的周长最小，并求出最小周长；（3）若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动，当 K 运动到什么位置时， EFK 的面积最大？并求出最大面积CEDGAxyO BF【解析】 （1）由题意，得 解得 ，b = 1,04216ba2a所以抛物线的解析式为 ，顶点 D 的坐标为（ 1， ） xy 9（2）设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M因为 EF 垂直平分 BC，即 C 关于直线 EG 的对称点为 B，连结BD 交于 EF 于一点，则这一点为所求点 H，使 DH + CH 最小，即最小为DH + CH = DH + HB = BD = 而 1322B 25)49(12 CDH 的周长最小值
13、为 CD + DR + CH = 5设直线 BD 的解析式为 y = k1x + b，则 解得 ，b1 = 3,2901bk21k所以直线 BD 的解析式为 y = x + 3由于 BC = 2 ，CE = BC2 = ，Rt CEGCOB，255得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5G（0，1.5） 同理可求得直线 EF 的解析式为 y = x 21+ 23联立直线 BD 与 EF 的方程，解得使 CDH 的周长最小的点 H（ ， ） 43815KNCEDGAxyO BF7（3）如图所示，设 K（t， ） ，xFtxE过 K 作 x 轴的垂线交 EF 于 N421t则 KN = yK yN = （ t + ）= 325312t所以 SEFK = SKFN + SKNE = KN（t + 3）+ KN（1t）= 2KN = t 23t + 5 =（t + ） 2 +3429即当 t = 时，EFK 的面积最大，最大面积为 ，此时 K（ ， ） 34292385
